les suites (suite), Schémas de Mathématiques

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Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants

les suites (suite)

Méthodes de résolution

15 octobre 2019

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants

table des matières

1 ordre d'une suite récurrente

2 suites usuelles

suites arithmétiques

suites géométriques

arithmetico-géométrique

3 suites récurrentes linéaires à coecients constants

suites récurrentes linéaires homogènes à coecient

constant

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants

exemple

La suite de Fibonacci est récurrente d'ordre 2

F 0 = 0

F 1 = 1

Fn+ 1 = Fn + Fn− 1

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants

Il existe des suites récurrentes dont l'expression fait intervenir

l'ensemble des termes qui précédent, et pas seulement un

nombre donné d'entre-eux.

On rencontrera un tel exemple un peu plus loin

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles suites arithmétiques suites géométriques arithmetico- géométrique

suites récurrentes linéaires à coecients constants

exemple

un = 4 n + 5

soit n xé :

un+ 1 − un = ( 4 (n + 1 ) + 5 ) − ( 4 n + 5 ) = 4

vrai pour tout entier n la suite u est une suite arithmétique de

raison 4

exemple

v 0 = 12

vn+ 1 = vn + 8

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles suites arithmétiques suites géométriques arithmetico- géométrique

suites récurrentes linéaires à coecients constants

Théorème

Si u est une suite arithmétique de premier terme a et de raison

r alors pour tout entier naturel n, on a un = a + n × r

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles suites arithmétiques suites géométriques arithmetico- géométrique

suites récurrentes linéaires à coecients constants

exemple

un = 5 × 4

n

soit n xé : un+ 1

un

=

5 × 4

n+ 1

5 × 4 n^

= 4

vrai pour tout entier n la suite u est une suite géométrique de

raison 4

exemple

v 0 = 12

vn+ 1 = 8 vn

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles suites arithmétiques suites géométriques arithmetico- géométrique

suites récurrentes linéaires à coecients constants

Théorème

Si u est une suite géométrique de premier terme a et de raison

q alors pour tout entier naturel n, on a un = a × q

n

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles suites arithmétiques suites géométriques arithmetico- géométrique

suites récurrentes linéaires à coecients constants

exemple

La méthode de résolution est de se ramener à une suite

géométrique. On résout l'équation : (on cherche une suite

constante qui satisfait la relation de récurrence)

l = 4 l + 6

l = − 2

Puis on pose pour tout entier n : un = l + vn cela nous donne la

relation suivante pour vn :

v 0 = 1 − (− 2 ) = 3

vn+ 1 = un+ 1 − l = 4 un + 6 − (− 2 ) = 4 un + 8 = 4 (un + 2 ) = 4 vn

Donc la suite v est géométrique, de premier terme 3 et de raison

4, on connait donc l'expression du terme général de vn et par

conséquent, on en déduit l'expression du terme général de un.

vn = 3 × 4 n

un = 3 × 4 n^ − 2

Suites

ordre d'une suite récurrente

suites usuelles suites arithmétiques suites géométriques arithmetico- géométrique

suites récurrentes linéaires à coecients constants

Cas général

u 0 = a

un+ 1 = q × un + r si q = 1 c'est une suite arithmétique voir avant. si q 6 = 1. On cherche l tel que l = q × l + r.

l =

r 1 − q On pose un − l = vn

v 0 = a −

r 1 − q

vn+ 1 = un+ 1 − l = (q × un + r ) − (q × l + r ) = q(un − l) = qvn la suite v est géométrique de raison q. on connait son premier terme. vn =

a −

r 1 − q

qn

donc un =

r 1 − q

a −

r 1 − q

qn

Il n'est pas indispensable d'apprendre par c÷ur cette formule, en revanche la méthode pour exprimer le terme général d'une suite arithmético-géométrique est à comprendre, et à savoir refaire.

Suites

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suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants suites récurrentes linéaires homogènes à coecient constant

exemple

exemple du 1er ordre

Si r = 1 , alors on retrouve les suites géométriques vues

précédemment.

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suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants suites récurrentes linéaires homogènes à coecient constant

exemple

exemple du second ordre

La suite de Fibonacci est linéaire homogéne a coecient

constant d'ordre 2

F 0 = 0

F 1 = 1

Fn+ 2 = Fn+ 1 + Fn

ici

r = 2

a 0 = 0

a 1 = 1

q 0 = 1

q 1 = 1

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suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants suites récurrentes linéaires homogènes à coecient constant

Ici : r 2 = r + 1 C'est une équation du second degré (car r = 2,

plus généralement elle est de degré r )

plusieurs situations sont possibles.

deux solutions réelles.

une racine double.

pas de racines réelles. (mais dans ce cas deux racines

complexes conjuguées, on se ramène au premier cas) n

ici

r 2 − r − 1 = 0

On calcule le discriminant : ici a = 1 b = −1 et c = −1.

∆ = b^2 − 4 ac = 1 − 4 × ( 1 ) × (− 1 ) = 1 + 4 = 5 > 0

on est dans le premier cas

r 1 =

−b −

2 a

r 2 =

−b +

2 a

Suites

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suites usuelles

suites récurrentes linéaires à coecients constants suites récurrentes linéaires homogènes à coecient constant

Le premier cas est le plus facile, on a trouvé deux suites

géométriques de raisons diérentes, il est facile de vérier

qu'elles sont linéairement indépendantes, et forment une base

de l'ensemble des solution. donc toutes les suites s'expriment

comme combinaison linéaire de ces deux suites. Il ne reste plus

qu'à trouver les coecients.

∀n ∈ N Fn = k × r

n

1 +^ l^ ×^ r^

n

En particulier pour n = 0 et n = 1, ce qui nous donne un moyen

de trouver k et l à l'aide des condition initiales pour F.

F 0 = 0 = k × r

1 +^ l^ ×^ r^

2 =^ k^ +^ l

F 1 = 1 = k × r

1 +^ l^ ×^ r^

2 =^ k^

1 −

√ 5

2

• l

1 +

√ 5

2