Lois dévolution et électrocinétique, Notes de Physique classique

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S1 MPI-PCST Universit´e Paris-Sud 11

Phys101 Centre d’Orsay

Lois d’´evolution

en physique

(R´esum´e du cours)

S1 MPI-PCST Phys101 2012-

LOIS D’´EVOLUTION EN PHYSIQUE (R´esum´e du cours)

I- Principes g´en´eraux

1. Objectifs et m´ethodes de la physique Le but de la physique est de d´ecrire et de comprendre les ph´enom`enes de la nature et de l’univers. Long d´eveloppement historique depuis l’antiquit´e. Rˆole de Galil´ee (1564-1642) dans la clarification des m´ethodes de la physique moderne.
   1. Rassembler le plus que possible des donn´ees et des observations au sujet d’un ph´enomene, afin de d´elimiter le nombre de grandeurs qui entrent dans sa description. D´eterminer les variables pertinentes et le nombre de degr´es de libert´e correspondant. Mais cette d´emarche d´epend de la pr´ecision recherch´ee. N´ecessit´e de d´efinir un systeme isol´e.
   2. Par des exp´eriences r´ep´et´ees, rassembler des donn´ees quantitatives sur le ph´enom`ene avec les grandeurs retenues.
   3. Par le travail de la d´eduction et de l’imagination, trouver une loi math´ematique qui puisse correspondre aux donn´ees relev´ees.
   4. Confronter la loi trouv´ee `a d’autres exp´eriences. a) La loi continue d’ˆetre v´erifi´ee ; son domaine d’applicabilit´e s’´elargit. b) Un nouveau type d’exp´erience peut invalider la loi ; dans ce cas, il faut la modifier ou la compl´eter ou d´elimiter son domaine d’applicabilit´e.
2. D´eveloppement historique Progr`es d´ecisif avec Newton (1642-1727), qui introduit le calcul infinit´esimal et l’ana- lyse (1669), en d´efinissant les notions de fonctions continues et de d´eriv´ees. Leibniz (1646-

1716. introduit le calcul diff´erentiel (1684). Newton ´enonce ses trois lois (Principia, 1687). 1) La loi d’inertie. 2) Equation du´ mouvement : Masse×acc´el´eration=Force ext´erieure appliqu´ee. 3) Egalit´´ e de l’action et de la r´eaction. Newton d´ecouvre aussi la loi de la gravitation. Les lois de la m´ecanique et de la physique s’´ecrivent d´esormais sous la forme d’´equations diff´erentielles.

3. Grandeurs fondamentales Pour d´ecrire les divers ph´enom`enes et ´ev´enements, la physique a besoin de d´efinir des grandeurs fondamentales ou ´el´ementaires, en fonction desquelles toutes les autres grandeurs peuvent ˆetre exprim´ees. Les grandeurs fondamentales, au nombre de sept, sont irr´eductibles entre elles. On d´efinit aussi les unit´es de r´ef´erence de ces grandeurs.
   1. La longueur [L]. D´efinit l’espace. Unit´e de r´ef´erence : le m`etre (m).

dy est la diff´erentielle de y. dx est une quantit´e qu’on peut choisir aussi petite qu’on veut. On voit que si dx → 0, alors dy → 0, mais en g´en´eral leur rapport est fini et ´egal `a la d´eriv´ee. D´eriv´ee d’un produit :

y(x) = u(x)v(x); y′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x).

En ´ecrivant les d´eriv´ees en fonction des diff´erentielles, on obtient :

dy = vdu + udv.

La primitive d’une fonction y(x) est la fonction Y (x) dont la d´eriv´ee est y(x) : Y ′(x) = y(x). Comme la d´eriv´ee d’une constante est nulle, la primitive est d´efinie a une constante additive pres. L’int´egrale ind´efinie d’une fonction y(x), not´ee

∫ (^) x dx′^ y(x′), est la primitive de y(x) : ∫ (^) x dx′^ y(x′) = Y (x).

L’int´egrale d´efinie de la fonction y(x) entre les points d’abscisses a et b est la diff´erence entre les valeurs de la primitive de y(x) aux points d’abscisses b et a : ∫ (^) b a

dx′^ y(x′) = Y (b) − Y (a).

G´eom´etriquement, elle est ´egale `a l’aire de la surface comprise entre la courbe y(x) et l’axe des x pour x compris entre a et b. L’int´egrale d’une d´eriv´ee y′^ est y, puisque y est la primitive de y′^ : ∫ (^) x dx y′(x) = y(x);

∫ (^) b a

dx y′(x) = y(b) − y(a).

Int´egration par parties : c’est une cons´equence directe de la formule de la d´eriv´ee d’un produit et de la primitive d’une d´eriv´ee : ∫ (^) b a^ dx u

′(x)v(x) = u(b)v(b) − u(a)v(a) −

∫ (^) b a^ dx u(x)v

′(x).

III- ´Electrocin´etique

1. D´echarge d’un condensateur dans une r´esistance Circuit constitu´e d’un condensateur de capacit´e C et d’un r´esistor de r´esistance R. q(t) : charge d’une des plaques du condensateur `a l’instant t ; la plaque oppos´ee porte alors la charge −q(t). L’intensit´e du courant dans le circuit est d´esign´e par i(t) ; i(t) se dirige

des charges positives vers les charges n´egatives ; repr´esente le sens oppos´e `a la vitesse des ´electrons. Relation entre l’intensit´e du courant et la charge q(t) :

i(t) = dq dt

Elle signifie que la charge q(t) se trouve sur la plaque ou arrive le courant i ; en effet un accroissement infinit´esimal dq de la charge pendant un temps dt est alors ´egala idt. Le choix du sens positif du courant est arbitraire ; seule la solution du probleme d´etermine le sens r´eel du courant d’apres son signe par rapport `a la convention initiale.

C

R

i

uR

uC

Tensions aux bornes des dipˆoles. Dipˆole avec extr´emit´es A et B. Le courant i entre par A et sort par B. VA et VB sont les potentiels ´electriques ou tensions en A et B respectivement. Convention r´ecepteur. La tension aux bornes du dipˆole, d´esign´ee par u, est ´egale a la diff´erence de potentiel entre les points d’entr´ee et de sortie du courant : u = VA − VB. Elle est repr´esent´ee sur les figures par une fleche dirig´ee de B (sortie) vers A (entr´ee).

A B

u

i

Convention g´en´erateur. La tension aux bornes du dipˆole est ´egale `a la diff´erence de potentiel entre les points de sortie et d’entr´ee du courant : u = VB − VA.

initiale a t = t 0 ). On suppose que la charge q de l’armature consid´er´ee du condensateur est ´egalea q 0 `a l’instant initial t = 0. On obtient :

q(0) = C = q 0.

D’ou : q(t) = q 0 e−t/τ. L’intensit´e du courant est : i(t) = dq dt = −q τ^0 e−t/τ. La fonction exponentielle ´etant toujours positive, on remarque que q(t) garde toujours le mˆeme signe que celui de q 0 , alors que l’intensit´e i(t) est de signe oppos´ee. Si, par exemple, q 0 est positive, i(t) = dq dt est n´egative et q(t) est une fonction d´ecroissante au cours du temps et tend rapidement vers 0. i(t), dont la valeur initiale est ´egalea −q 0 /τ , est une fonction croissante et tend aussi vers 0. Les propri´et´es de croissance et de d´ecroissance sont interchang´ees lorsque q 0 est n´egative.

q 0

q

t

−q τ^0

i

t

2. Charge d’un condensateur On ajoute dans le circuit un g´en´erateur de force ´electromotrice E constante.

uC

uE

C

R

uR E

i

En convention r´ecepteur, on a : uE = −E. Loi des mailles : uR + uC + uE = 0, qui s’´ecrit aussi R dq dt + (^) Cq = E. dq dt +^

q RC =^

E

R.

C’est une ´equation diff´erentielle du premier ordre lin´eaire avec second membre constant (E/R). M´ethode de r´esolution simple dans ce cas. On effectue un changement de fonction en posant :

Q = q − EC; =⇒ dQ dt = dq dt.

L’´equation de Q devient : dQ dt =^ −

Q

τ. Solution g´en´erale : Q(t) = Ke−t/τ.

K : constante arbitraire. La solution en q devient :

q(t) = EC + Ke−t/τ.

On fixe K par la condition initiale q(0) = q 0 :

q(t) = EC + (q 0 − EC)e−t/τ.

Lorsque t ≫ τ , l’exponentielle devient n´egligeable et q tend vers une valeur limite constante q(t) (^) t→∞→ qlim ≡ qℓ = EC.

Pendant la phase de d´echarge :

q(t) = Ke−t/τ^ t 0 ≤ t.

K est fix´e par la condition de raccordement `a l’instant t = t 0 , en imposant la condition de continuit´e de q entre les deux solutions pr´ec´edentes :

Ke−t^0 /τ^ = qℓ + (q 0 − qℓ)e−t^0 /τ ,

d’o`u K = qℓet^0 /τ^ + (q 0 − qℓ) et

q(t) =

[ qℓet^0 /τ^ + (q 0 − qℓ)

] e−t/τ , t 0 ≤ t,

i(t) = dq dt

τ

[ qℓet^0 /τ^ + (q 0 − qℓ)

] e−t/τ.

q est continue en t = t 0 , mais i y est discontinue.

q 0

qℓ

0 t 0

q

t

(^1) τ (qℓ − q 0 )

0 t 0

i

t

4. M´ethode g´en´erale de r´esolution d’une ´equation diff´erentielle du 1erordre avec second membre Lorsque le second membre de l’´equation diff´erentielle n’est pas une constante, la m´ethode pr´ec´edente de changement de fonction par translation n’est plus applicable. Il faut utiliser ume m´ethode plus g´en´erale. Soit f (t) le second membre de l’´equation diff´erentielle : (^) dq

dt +^

q τ =^ f^ (t). Soit q 1 (t) une solution particuliere de cette ´equation, qu’on arrivea deviner ou a trouver d’apres l’expression de f. Une solution particuliere ne d´epend pas de constante arbitraire, contrairementa la solution g´en´erale, laquelle en d´epend. La solution particuli`ere v´erifie l’´equation dq 1 dt +^

q 1 τ =^ f^ (t). Consid´erons la diff´erence de la solution g´en´erale q et de la solution particuli`ere q 1. Elle v´erifie l’´equation : d(q − q 1 ) dt

• (q^ −^ q^1 ) τ

Donc (q − q 1 ) est la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre :

q^ ˜ ≡ q − q 1 ; dq˜ dt

q˜ τ

D’ou : q = q˜ + q 1. La solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle avec second membre est ´egalea la somme de la solution g´en´erale de l’´equation sans second membre et d’une solution parti- culiere de l’´equation avec second membre. Elle d´epend toujours d’une constante arbitraire qu’il faut fixera partir de la condition initiale (appliqu´ee a q et nona q˜). M´ethode facilement applicable lorsque le second membre est une constante. Dans ce cas, la solution particuliere est aussi une constante. On peut l’appliquer au cas ou f = E/R. Solution particuliere : q 1 = Eτ /R = EC. Solution g´en´erale de l’´equation sans second membre : q˜ = Ke−t/τ^. D’ou la solution g´en´erale : q(t) = EC + Ke−t/τ^ , la mˆeme que trouv´ee pr´ec´edemment. Autres exemples. Lorsque le second membre est une fonction exponentielle, on peut chercher la solution particuliere sous la forme d’une fonction exponentielle. Lorsque le second membre est une fonction sinuso¨ıdale, du type A cos(ωt) ou B sin(ωt), on cherche la solution particuliere sous la forme d’une combinaison de fonctions cosinus et sinus. On consid`ere ce dernier cas.

f (t) = E R^0 cos(ωt).

Propri´et´es de la radioactivit´e.

1. Ph´enomene spontan´e, impr´evisible dans le temps au niveau d’un noyau. Chaque noyau se d´esint´egrea un moment ou `a un autre, mais on ne peut pr´edire par avance le moment exact de sa d´esint´egration.
2. On ne peut qu’associer une probabilit´e de d´esint´egration par unit´e de temps (appel´ee aussi densit´e de probabilit´e temporelle) `a chaque noyau. On d´esigne par λ la probabilit´e de d´esint´egration par unit´e de temps d’un type de noyau donn´e. 1) λ est la mˆeme pour tous les noyaux d’un mˆeme type. 2) λ est une constante dans le temps ; c’est une cons´equence de l’homog´en´eit´e du temps ; λ ne d´epend pas de l’ˆage du noyau. Si λ est la probabilit´e de d´esint´egration par unit´e de temps d’un noyau, sa probabilit´e ∆P de d´esingration dans un intervalle de temps ∆t petit est :

∆P = λ∆t.

Si un ´echantillon contient N noyaux a l’instant t (N est tres grand), ceci signifie que pendant l’intervalle de temps ∆t qui va suivre, |∆N| noyaux vont se d´esint´egrer, ou ∆N repr´esente la variation de N pendant le temps ∆t. |∆N| est ´egala N∆P = N(t)λ∆t. Comme N diminue au cours du temps, sa variation ∆N est n´egative :

∆N(t) = −N(t)∆P = −N(t)λ∆t.

En prenant la limite du continu, N(t) → fonction continue, et la limite infinit´esimale, ∆t → dt, ∆N → dN, on obtient :

dN(t) = −λN(t)dt,

ou (^) dN

dt =^ −λN. C’est une ´equation diff´erentielle du premier ordre (d´eriv´ee premiere), lin´eaire (N et dN dt apparaissent lin´eairement),a un degr´e de libert´e (N), sans second membre (pas de terme ind´ependant de N). Taux instantan´e de croissance : (^) N^1 (dN dt ) (quantit´e alg´ebrique ; ici, n´egative ´egale `a −λ).

2. R´esolution de l’´equation Equation similaire `^ ´ a celle de la d´echarge d’un condensateur dans une r´esistance. So- lution en fonction exponentielle :

N(t) = Ce−λt,

ou C est une constante arbitraire, qui ne peut ˆetre fix´ee que si on pr´ecise la valeur initiale de N. On suppose que le nombre des noyauxa t = 0 est N 0. On obtient :

N(0) = C = N 0.

D’o`u : N(t) = N 0 e−λt.

On a en g´en´eral : dN dt < 0 ; la courbe est constammenet d´ecroissante. P´eriode ou demi-vie T : temps au bout duquel N diminue de moiti´e :

N(t + T ) = N 2 (t ).

T = ln 2 λ.

T d´efinit l’unit´e naturelle de temps (ou l’´echelle de temps ou l’unit´e adapt´ee de temps) du processus de radioactivit´e (a ne pas confondre avec l’unit´e de r´ef´erence du temps du Systeme International qui est la seconde).

N 0 / 2

N 0

0 T

N

t

Activit´e A : nombre de d´esint´egrations par unit´e de temps.

A = λN = λN 0 e−λt.

Unit´es : Becquerel (Bq) ; 1 Bq=1 d´es./s. Curie (Ci) ; 1 Ci=3, 7 × 1010 d´es./s ; correspond approximativement `a l’activit´e de 1 g de radium 226. Dur´ee de vie moyenne τ par noyau : Dur´ee de vie totale de tous les noyaux divis´ee par le nombre total N 0 des noyaux.

τ = λ^1.

Echelle semi-logarithmique.^ ´

ln N(t) = ln N 0 − λt.

Droite avec pente n´egative donn´ee par −λ.

4. R´esolution num´erique d’une ´equation diff´erentielle. M´ethode d’Euler Equation `^ ´ a r´esoudre : y˙ = dy dt = f (y).

f (y) est une fonction connue de y. (Dans le cas de la radioactivit´e, f (N) = −λN.) Diviser l’axe du temps en intervalles discrets de valeur ∆t petite devant celle du temps caract´eristique τ ou T du probl`eme (∆t ≪ τ ). Instant initial : t = t 0 = 0 ; t 1 = ∆t,.. ., tn = n∆t. Condition initiale : y(0) = y 0. On fait l’approximation du passage du continu au discret par l’utilisation du d´eveloppement limit´e :

y(t + ∆t) ≃ y(t) + ˙y(t)∆t = y(t) + f (y)∆t.

On applique cette formule pas `a pas.

y(t 1 ) = y 1 = y(t 0 + ∆t) = y 0 + f (y 0 )∆t,

y(t 2 ) = y 2 = y(t 1 + ∆t) = y 1 + f (y 1 )∆t, y(t 3 ) = y 2 = y(t 2 + ∆t) = y 2 + f (y 2 )∆t, y(tn) = yn = y(tn− 1 + ∆t) = yn− 1 + f (yn− 1 )∆t.

On obtient ainsi toutes les valeurs de yi. On trace la courbe continue qui passe par ces points. Plus ∆t est petit, plus la pr´ecision est grande. Exemple de la fonction exponentielle. dy dt =^ −λy;^ =⇒^ f^ (y) =^ −λy.

yn = yn− 1 − λyn− 1 ∆t = yn− 1 (1 − λ∆t) = yn− 1 (1 − ∆t τ

On v´erifie que la r´esolution num´erique reproduit la suite g´eom´etrique :

yn yn− 1

= 1 − ∆t τ

= r.

V- Filiation radioactive

En physique on rencontre souvent des ´equations coupl´ees entre plusieurs grandeurs physiques en ´evolution. C’est le cas notamment lorsque plusieurs particules ou plusieurs grandeurs interagissent mutuellement. On obtient dans ce cas un systeme d’´equations diff´erentielles coupl´ees faisant intervenir plusieurs variables ind´ependantes ou plusieurs degr´es de libert´e. La r´esolution de tels systemes d’´equations n’est g´en´eralement pas pos- sible analytiquement ; mais dans certains cas simples on arrive `a d´ecoupler les ´equations

d’une fa¸con syst´ematique et a les r´esoudre analytiquement. C’est le cas notamment des d´esint´egrations radioactives en chaˆıne qu’on traitera dans la suite. G´en´eralement les noyaux radioactifs donnent naissance par d´esint´egrationa d’autres noyaux radioactifs qui a leur tour se d´esint´egrent par radioactivit´e. On assistea une chaˆıne de d´esint´egrations, qu’on appelle filiation radioactive. L’uranium 23892 U, par exemple, produit par d´esint´egration une chaˆıne de 13 noyaux interm´ediaires radioactifs successifs, avant que ne se produise le dernier noyau stable de la chaˆıne, le plomb 20682 P b :

(^23892) U −→ X 1 −→ X 2 −→... −→ X 13 −→ 20682 P b.

Nous ´etudierons le cas le plus simple d’une chaˆıne avec trois ´el´ements :

A −→ B −→ C,

le noyau C ´etant stable. NA, NB , NC : nombre des noyaux respectivement du type A, B, C, a l’instant t. Il faut utiliser la loi de conservation du nombre total des noyaux. Chaque noyau A qui se d´esintegre donne naissance a un noyau B ; chaque noyau B qui se d´esintegre donne naissance a un noyau C. λA, λB : constantes radioactives respectivement des noyaux du type A et B. Par unit´e de temps, il y a λANA noyaux A qui se d´esintegrent, donc une mˆeme quantit´e de noyaux B qui se cr´eent ; de mˆeme, λB NB noyaux B qui se d´esint`egrent par unit´e de temps et un nombre ´egal de noyaux C qui se cr´eent.

dNA dt =^ −λANA, dNB dt =^ −λB^ NB^ +^ λANA, dNC dt

= +λB NB. On v´erifie que d dt

( NA + NB + NC

) = 0,

impliquant

( NA + NB + NC

) = const., ce qui traduit la conservation du nombre total des noyaux de tous types au cours du temps. Solution de la premi`ere ´equation, avec la condition initiale NA(0) = NA 0 :

NA(t) = NA 0 e−λAt.

On reporte cette solution dans l’´equation de NB :

dNB dt =^ −λB^ NB^ +^ λANA^0 e

−λAt.

NA 0

0 t 0 2 t 0 t

NA

NB

NC

Activit´e A : nombre de d´esint´egrations par unit´e de temps.

AA = λANA, AB = λB NB , AC = 0.

L’´equation de NB s’´ecrit aussi : dN dtB = −AB + AA. A t = t 0 , dN dtB est nul, ce qui entraˆıne l’´egalit´e des activit´es des noyaux du type A et du type B `a cet instant.

VI- Mouvement amorti

1. Action d’un milieu fluide sur un corps plong´e en son sein Milieu fluide (gaz ou liquide) ´electriquement neutre et au repos. Exerce une action de r´esistance au corps plong´e en son int´erieur. 1) Une force statique, qui ne d´epend pas de la vitesse du corps et est repr´esent´ee par la pression exerc´ee sur le corps. Exemple : la force d’Archimede. Force orthogonalea la surface du corps en chacun de ses points. 2) Une force non-statique, qui se manifeste uniquement lorsque le corps est en mouvement. Elle tend a freiner le mouvement du corps. Cette force d´epend des caract´eristiques du milieu, de la g´eom´etrie du corps (mais non de sa masse) et de sa vitesse. Elle se d´ecompose en une composante parallele a la vitesse et de sens oppos´e, appel´ee traˆın´ee et en une composante orthogonalea la vitesse, appel´ee portance. On s’int´eresse d´esormais a la force de traˆın´ee, qui joue un rˆole plus important. Dans cette cat´egorie, on peut distinguer essentiellement deux types de forces. a) Une force de frottement, appel´ee force de viscosit´e ; c’est une fonction lin´eaire homogene de la vitesse, mais de sens oppos´e `a celle-ci. b) Une force inertielle, due au fait que le corps, pour se mouvoir, doit d´eplacer un volume ´equivalent

de fluide ; c’est une fonction quadratique homogene de la vitesse, dirig´ee en sens oppos´ea celle-ci et agissant frontalement contre le corps en mouvement.

2. Viscosit´e du milieu fluide La force de viscosit´e d´epend d’un parametre caract´eristique du fluide appel´e coefficient de viscosit´e. Le coefficient de viscosit´e dynamique, μ ou η, appel´e aussi viscosit´e dynamique, est homogene `a une pression multipli´ee par une longueur et divis´ee par une vitesse :

[μ] = ML−^1 T −^1.

Unit´e : kg m−^1 s−^1 = Pa s. La viscosit´e cin´ematique, ν, est obtenue `a partir de μ en le divisant par la masse volumique ρ du fluide : ν =

μ ρ. [ν] = L^2 T −^1.

Unit´e : m^2 s−^1.

3. La force de freinage On assimile le corps a uns sphere de rayon a. En tenant compte de la dimension du coefficient de viscosit´e μ, la force de viscosit´e prend la forme :

Ff 1 = −k 1 μav,

k 1 ´etant un coefficient sans dimension positif. L’existence de plusieurs grandeurs dimensionn´ees nous permet de construire d’autres expressions de forces. La force inertielle, qui ne d´epend pas de la viscosit´e, prend la forme :

Ff 2 = −k 2 ρa^2 |v|v,

k 2 ´etant un coefficient sans dimension positif. En comparant les deux forces pr´ec´edentes, on conclut que la force de viscosit´e sera dominante pour des vitesses faibles, tandis que la force inertielle sera dominante pour des vitesses grandes. La possibilit´e de construire plusieurs expressions de forces de freinage est due a l’exis- tence d’un parametre sans dimension, appel´e nombre de Reynolds. Il est d´efini comme suit : R =^2 a|v| ν

=^2 a|v| μ/ρ

, [R] = [1].

On peut ainsi construire une expression g´en´erale de la force de freinage par la formule

Ff = −μavf (R),