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Université Mohammed V- Agdal Année universitaire 06- Département de Physique
Examen de Mécanique Quantique SM- SMI 3
I- 10 points
B- A la date t=0, on considère un paquet d’onde ψ(x,0) à une dimension, de position moyenne x 0 et d’impulsion moyenne p 0 , défini par : (^022) 0
ipx ψ(x , 0 )=e f(x−x ) = σ
x^2
- h avecf(x) Ce
La transformée de Fourier de la fonction f(x) a pour expression:
C e
p^2
- (^) 2 2 2 ~ ipx e f(x)dx 2
T. F.(f(x)) f(p) h h h h
+∞^ σ
−∞
− (^) σ
π
1- Déterminer l’expression de ( , 0 ) ( ( , 0 ))
~ ψp =TFψ x
2- Si l’écart quadratique moyen ∆x 0 est tel que: 2
x (^0) σ ∆ = , Que vaut alors la valeur limite de
l’écart quadratique moyen ∆p 0.
3- Le paquet d’onde évolue librement. On note 2 m
p H
2 = l’hamiltonien du système.
Montrer que la T. F.( (x,t)) (p,t) e (p, 0 )
~ iH(p) ~ ψ =ψ = ψ
− (^) h t
4- L’approximation, à l’ordre 1 en p, de H nous donne:
(^0 0) p)pp 0
H
H( p) H(p ) (p p )( = ∂
≈ + − On posera : p 0 = mvet mv^2 2
E =
Déterminer l’expression de ψ(x,t)
Interpréter physiquement le résultat obtenu.
TSVP
II- 10 points A- On considère le potentiel défini par V(x) tel que :
pour x
pour 0 x
pourx
x
x L
0 L
V(x)
1- Résoudre l’équation de Schrödinger dans les différentes zones. 2- Montrer que l’énergie est quantifiée et déterminer son expression Enx
On normalisera les fonctions d’ondes à l’unité.
B- On considère deux boites quantiques bidimensionnelles comme le montre la figure ci- dessous. Chacune d’elle contient un électron.
Ly=L
Lx=L Ly= L/
Lx=2 L
Boite N° 1 Boite N° 2
1- Déterminer l’expression de l’énergie E^ nx ,ny pour chacune des deux boites en utilisant les
résultats de la partie A.
2- Laquelle des deux boites correspond à l’état fondamental de plus basse énergie? Y’a-t-il des niveaux dégénérés? Justifier votre réponse
3- Déterminer les énergies des deux premiers états excités pour chacune des boites. Laquelle des deux boites correspond au premier état excité de plus basse énergie? Justifier votre réponse
4- Si la longueur d’onde du photon émis quand l’électron passe de l’état excité à l‘état fondamental dans la boite 1 est égale à 650 nm, quelle est la longueur d’onde du photon émis quand l’électron passe de l’état excité à l‘état fondamental dans la boite 2? A quel domaine de rayonnement électromagnétique appartient-elle?
