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Les identités remarquables
Les identités remarquables sont des sortes formules magiques, qui nous servent le plus souvent pour la factorisation ou la résolution d'équations algébriques.
Rappelons certaines notions qui ont déjà été vues dans le chapitre de théorie des ensembles de la section d'arithmétique (nous supposons le concept d'élément neutre connu puisque déjà défini):
Commutativité:
et (8.31)
Associativité:
et (8.32)
Distributivité:
(8.33)
Les mêmes observations sont valables avec l'opération de soustraction bien évidemment dans les domaines de définition adéquats.
Nous pouvons vérifier avec des valeurs numériques (en remplaçant chaque nombre abstrait par un nombre choisi au hasard), ou par distribution (ce serait mieux, ainsi vous êtes sûr d'avoir compris ce dont quoi nous parlions), que les identités algébriques suivantes sont vérifiées (ce sont les plus connues):
- Identité du second degré:
- Identité du troisième degré:
(8.35)
Remarque: Nous pouvons très bien poser que où nous avons bien
évidemment posé que (nous faisons un "abstrait d'abstraction" ou plus couramment: un
"changement de variable")...:
Nous pouvons remarquer que pour calculer le développement de , nous utilisons le
développement de , c'est-à-dire calculé avec la valeur précédente den. Nous remarquons les propriétés suivantes poura etb:
P1. Les puissances dea décroissent den à 0 ( , donc il n'est pas noté dans le dernier terme)
P2. Les puissances deb croissent de 0 àn ( , donc il n'est pas noté dans le dernier terme) P3. Dans chaque terme, la somme des puissances dea etb est égal àn P4. Les coefficients multiplicateurs devant chaque terme se calculent en faisant la somme des coefficients multiplicateurs de deux termes du développement obtenu avec la valeur précédente deb (voir la figure ci-dessous). Les coefficients binomiaux peuvent alors êtres obtenus par construction du "triangle de Pascal" ci- dessous:
Dont chaque élément est donné par (cf. chapitre de Probabilités):
avec.
Nous pouvons alors démonter que:
ce qui constitue le fameux "binôme de Newton" (que nous réutiliserons à de multiples endroits sur le site). Démonstration:
Cette relation se démontre simplement par récurrence en supposant la relation précédente vraie et en la calculant pour le rang 1 :
Montrons que si elle est vraie pourn alors elle est vraie pourn+1:
et autre cas très fréquent:
Remarque: Lorsqu'à partir du terme de droite (sous forme numérique simplifiée) le professeur
demande à ses élèves en tant qu'exercice d'obtenir la factorisation à gauche de l'égalité, il n'existe
pas d'autres moyens que de procéder par essais successifs.
Bien sûr, il y en a encore un beaucoup plus grand nombre de relations utiles (dont une partie découle d'une généralisation de celle présentées ci-dessus) que le lecteur découvrira par ses propres raisonnements et en fonction de sa pratique.
Remarque: Il est bien sûr possible de multiplier des polynômes entre eux et de distribuer les termes
multiplicatifs. Inversement, il est souvent demandé aux élèves des petites classes de faire la
procédure inverse ("factoriser" ou "décomposer" un polynôme) afin qu'ils s'habituent à la
manipulation des identités remarquables. Décomposer en un produit de facteurs est une opération
importante en mathématiques, puisqu'il est ainsi possible de réduire l'étude d'expressions
compliquées à l'étude de plusieurs expressions plus simples.
