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Chapitre 2 : Probabilité conditionnelle et indépendance Mathématiques
Première Spécialité 2023
FICHE D’EXERCICES
Probabilité conditionnelle et indépendance
Exercice n°1 : Quand on lance un dé à 6
faces, on considère les événements :
A
: « Le résultat est pair. »
B
: « Le résultat est 2
C
: « Le résultat est inférieur ou égal à
1. a) Décrire la probabilité P
C
( B ) par une phrase.
b) Même question pour P
A
( B ).
2. a) Ecrire la probabilité que le résultat soit pair sachant qu’il est inférieur ou égal à 4
avec la notation des probabilités conditionnelles.
b) Même question pour la probabilité que le résultat soit inférieur ou égal à 4
sachant
qu’il est pair.
Exercice n°2 : Un professeur de Mathématiques a trié sa bibliothèque dans laquelle figurent
manuels de différents niveaux, certains étant conformes aux programmes actuels et
d’autres, plus vieux, n’y étant pas conformes.
La répartition de ces manuels est donnée par le tableau ci-dessous :
Il prend un de ces manuels au hasard et on considère les événements :
- C : « Le manuel est conforme aux programmes actuels. »
S
: « Le manuel est un manuel de Seconde. »
T
: « Le manuel est un manuel de Terminale. »
1. Calculer
P ( C ) ,P ( S )
et
P ( T )
2. Calculer P
T
( C ) et P
C
( T ).
3. Calculer P
C
( S ) et P
S
( C ).
Exercice n°3 :
1. On considère deux événements
A
et
B
tels que
P ( A )= 0 , 2
et P
A
( B )= 0 , 8.
Calculer P ( A ∩ B ).
2. On considère deux événements
C
et
D
tels que
P ( C )= 0 , 1
et
P ( C ∩ D )= 0 , 06
Calculer
P
C
( D )
3. On considère deux événements U et V tels que P ( V )=
et P ( U ∩ V )=
Calculer P
V
( U ).
Exercice n°4 :
Dans une ville, 80 %
des logements sont des appartements, occupés à 45 %
par une seule
personne et à 55 %
par plusieurs personnes.
Le reste des logements sont des maisons.
Quand on prend un logement au hasard dans cette ville, on considère les événements
suivants :
A :
« Le logement est un appartement. »
S
: « Le logement est occupé par une seule personne. »
1. a) Déterminer P ( A ) et P
A
( S ) en utilisant l’énoncé.
b) En déduire la probabilité que le logement que le logement soit un appartement
occupé par une seule personne.
2. Par ailleurs, 17 % des logements de cette ville sont des maisons occupées par
plusieurs personnes.
a) Traduire cette information en une probabilité en utilisant les événements A
et S
b) Déterminer P ( A ) en utilisant l’énoncé.
c) En déduire la probabilité que le logement soit occupé par plusieurs personnes
sachant que c’est une maison.
Exercice n°7 : Le matin, Alaïs boit du café avec une probabilité
ou du thé avec une
probabilité
. Lorsqu’elle boit du café, elle y met du sucre la moitié du temps alors que
quand elle boit du thé, elle y met du sucre 90 %
du temps.
On appelle
C
l’événement : « elle boit du café ce matin »,
T
l’événement : « elle boit du thé
ce matin » et
S
l’événement : « elle met du sucre dans sa boisson ce matin ».
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation. 2. Quelle est la probabilité qu’elle boive un café sucré ce matin? 3. Déterminer la probabilité qu’elle ne mette pas de sucre dans sa boisson ce matin.
Exercice n°8 : La répartition des poivrons chez un
maraîcher :
de poivrons verts dont 60 %
sont bio.
de poivrons rouges dont 50 %
sont bio.
- 15 % de poivrons jaunes dont 80 % sont bio.
Nino achète un de ces poivrons au hasard et on note :
V
l’événement « Le poivron est vert ».
R
l’événement « Le poivron est rouge ».
J
l’événement « Le poivron est jaune ».
- B l’événement « Le poivron est bio ». 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessus représentant la situation. 2. Calculer la probabilité qu’il achète un poivron jaune bio.
3. Calculer P ( B ) puis P ( B )
Exercice n°9 :
Lors d’un match de football, l’entraîneur d’une des deux équipes s’intéresse particulièrement
aux performances de son capitaine.
Celui-ci a la capacité de tirer à la fois du pied droit et du pied gauche.
- L’entraîneur remarque alors que 70 %
de ses tirs ont été effectués du pied droit, et les
autres du pied gauche.
- Parmi les tirs réalisés du pied gauche, 40 % sont cadrés.
- La probabilité qu’un tir soit cadré et réalisé du pied droit est égal à
On considère les événements suivants :
D :
« le tir a été effectué du pied droit »
G :
« le tir a été effectué du pied gauche »
C :
« le tir est cadré »
- C :« le tir n’est pas cadré » 1. a) Relever dans l’énoncé les probabilités suivantes :
P ( D )
; P
G
( C ) et
P ( D ∩ C )
b) Recopier et compléter l’arbre suivant : (on complétera l’arbre tout au long de
l’exercice) :
2. a) Montrer que P
D
( C )= 0 , 8
b) En déduire la probabilité que le tir ne soit pas cadré sachant qu’il a été tiré du pied
droit.
- R : « Teddy réussit sa technique ».
On prend au hasard une technique faite par Teddy.
1. Construire un arbre pondéré représentant la situation. 2. Montrer que la probabilité que Teddy réussit sa technique est égale à
3. Sachant que Teddy réussit sa technique, quelle est la probabilité qu’il ait fait
Osotogari?
Exercice n°12 :
1. On considère deux événements indépendants
E
et
F
tels que
P ( F )= 0 , 53
et
P ( E ∩ F )= 0 ,25.
Calculer
P ( E )
2. On considère deux événements indépendants
C
et
D
tels que
P ( C ∪ D )= 0 , 23
et
P ( C )= 0 , 11. Calculer P ( D ).
Exercice n°13 : Le cuisinier d’une colonie de vacances a confectionné des beignets pour le
goûter :
des beignets sont à l’ananas, les autres sont aux pommes ;
des beignets à l’ananas sont aromatisés à la cannelle, ainsi que 45 %
des
beignets aux pommes.
On choisit un beignet au hasard et on définit les événements A : « Le beignet choisi est à
l’ananas » et
C
: « Le beignet choisi est aromatisé à la cannelle ».
1. Recopier et compléter l’arbre probabilité ci-dessus.
2. Les événements A et C sont-ils indépendants? Justifier la réponse.
Exercice n°14 : Dans un magasin de meubles, il y a 55 %
de canapés dont 14 %
en cuir,
de fauteuils dont 20 %
en cuir et le reste est constitué de poufs dont 42 %
en cuir.
Un client se présente et choisit un meuble.
On considère les événements :
- F : « Le meuble choisi est un fauteuil ».
C
: « Le meuble choisi est en cuir ».
Montrer que ces deux événements sont indépendants
Exercice n°15 : Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus
de fruits sur une période d’un mois.
des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d’orange ;
des bouteilles de jus d’orange vendues possèdent l’appellation « pur jus ».
Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d’orange, la proportion des bouteilles de « pur jus»
est notée
x
, où
x
est un réel de l’intervalle
[ 0 , 1 ].
Par ailleurs, 20 %
des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l’appellation « pur jus ».
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les événements
suivants :
R : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d’orange ;
J : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».
1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré. 2. Déterminer la valeur exacte de x. 3. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ».
Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d’orange.
Exercice n°16 : Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9
fois sur 10
Lorsque la journée n’est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10.
La probabilité qu’une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée
p
Pour une journée donnée, on note :
E
l’événement : « La journée est ensoleillée »
V
l’événement : « Romane se déplace à vélo »
1. Construire l’arbre pondéré représentant la situation.
