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[ Baccalauréat C Grenoble juin 1976 \
EXERCICE 1
On considère la fonction f de R dans R définie par :
f ( x ) = Log ( x − 1) + Log ( x + 1) − 1
où Log désigne le logarithme népérien.
1. Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative dans un repère ortho- normé
O,
ı ,
. Préciser l’abscisse du point d’intersection de cette courbe avec la droite
O,
ı
2. Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque g. Préciser le do- maine de définition et l’ensemble des valeurs de g ; expliciter cette fonction.
EXERCICE 2
Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et
ı ,
k
une base de E.
On considère l’application linéaire f de E dans lui-même définie par :
f
ı
k f
ı − 4
k f
k
ı + 2
1. Déterminer le noyau de f et en donner une base. 2. Déterminer l’image P de f. On en donnera une équation cartésienne et une base. 3. On considère l’application linéaire f 1 de P dans lui-même définie par
u ∈ P, f 1
u
= f
u
Quelle est la nature de f?
PROBLÈME
Soit A et B les deux matrices suivantes :
A =
et^ B^ =
Partie A
On désigne par M l’ensemble des matrices λA + μB où ( λ ; μ ) décrit R^2.
1. Montrer que M est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre deux et que ( A , B ) en est une base. 2. Calculer A^2 , B^2 , A × B et B × A et en déduire le produit de deux matrices quel- conques de M. 3. Montrer que M , muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau commutatif et unitaire. Quels en sont les éléments inversibles?
Le baccalauréat de 1976 A. P. M. E. P.
Partie B
Soit P un plan affine euclidien et
O,
ı ,
un repère orthonormé de ce plan. Pour
toute valeur réelle de λ , on considère l’application affine fλ de P dans lui-même définie de la façon suivante :
- l’application linéaire associée à fλ a pour matrice Mλ = λA + B relativement à la base
ı ,
ı
- l’image de O par fλ est le point O′^ de coordonnées 1
xλ =
( λ + 1)
yλ =
( λ + 1)^2
relativement au repère
O,
ı ,
1. Pour quelle valeur de λ l’application fλ est·elle non bijective? Quelle est alors l’image de P par fλ? 2. Montrer que l’application fλ admet une droite de points invariants unique- ment pour λ = −1 et λ = 2. Écrire une équation cartésienne de cette droite dans chacun de ces cas. 3. Soit s l’application fλ correspondant à λ = −1. Montrer que s est une isométrie affine que l’on précisera. 4. Soit g l’application fλ correspondant à λ = 2. On désigne par M ′^ l’image par g d’un point M de P. a. Montrer que le vecteur
M M ′^ appartient à une direction indépendante de M. b. Soit H le symétrique de M ′^ par rapport à M. Quel est l’ensemble des points H? En déduire une construction géométrique de M ′^ à partir de M.
Partie C
Soit M 0 le point de coordonnées (3 ; 1) relativement au repère de P
O,
ı ,
. On
considère la suite de points ( Mn ) n ∈N de P définis par
Mn + 1 = g ( Mn ).
On appelle xn et yn les coordonnées de Mn.
1. Montrer que les points Mn appartiennent tous à une même droite dont on écrira une équation cartésienne. En déduire une relation liant xn + 1 et xn pour tout entier naturel n. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n , xn et yn sont : - soit tous deux divisibles par 5 ; - soit premiers entre eux. 3. Montrer que :
∀ n ∈ N, xn = 2 n +^1 + 1.
Établir que xn est divisible par 5 si et seulement si xn + 4 est divisible par 5. En déduire les valeurs de n pour lesquelles xn et yn sont tous deux divisibles par
Grenoble 2 juin 1976
