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[ Baccalauréat C Dijon septembre 1976 \
EXERCICE 1
1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul
12 + 22 + ... + n^2 =
n ( n + 1)(2 n + 1) 6
2. Soit P un plan affine rapporté à un repère
O,
ı ,
. On note J l’ensemble {1, 2, ... , n − 1} des n premiers entiers naturels non nuls. On appelle M ( m ; p ) le point de coordonnées ( m ; p ) dans le repère
O,
ı ,
, ( m ; p ) appartenant à J × J. On affecte chaque point M ( m ; p ) du coefficient m ; on note
M ( m ; p ), m
le point pondéré obtenu. a. Déterminer, dans le repère
O,
ı ,
les coordonnées du barycentre G 1 du système
M (1 ; p ), 1
; p ∈ J
, obtenu pour m = 1. Déterminer, dans le repère
O,
ı ,
, les coordonnées du barycentre Gm 0 du système
M (1 ; p ), 1
; p ∈ J
, obtenu pour m = m 0. b. En déduire les coordonnées du barycentre G du système {( M ( m ; p ), m
; ( m ; p ) ∈ J × J
c. Quel est l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles les coordonnées de G sont entières?
EXERCICE 2
Soit P un plan affine euclidien, rapporté à un repère orthonormé direct
O,
e 1 ,
e 2
À tout point M de coordonnées ( x ; y ) on fait correspondre son affixe z = x + i y , où i est un nombre complexe tel que i^2 = −1. On appelle s la suite, application de N, ensemble des entiers naturels, dans C en- semble des nombres complexes, définie par :
{ z 0 = 0 (∀ n ∈ N) zn + 1 =
zn + 1
1. Montrer que zn s’exprime comme somme des n premiers termes d’une suite géométrique. Calculer zn en fonction de n. 2. Soit Mn l’image du nombre complexe zn , n ∈ N. Par quelle transformation af- fine simple passe-t-on de Mn à Mn + 1? 3. Soit A le point de coordonnées
. Calculer en fonction de n la norme du
vecteur
A Mn. Trouver la limite de cette norme quand n tend vers +∞. Représenter les points A, M 0 , M 1 , M 2 , M 3 , M 4 dans le repère
O,
e 1 ,
e 2
PROBLÈME
Partie A
Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.
Soient f et g les fonctions numériques de la variable réelle t définie par :
f ( t ) =
e t^ + e− t 2
, g ( t ) =
e t^ − e− t 2
e étant la base des logarithmes népériens.
1. Étudier les variations de la fonction g. Étudier les variations de la fonction f. Tracer les courbes représentatives dans un même repère orthonormé. 2. Démontrer que g est une bijection de R sur R et déterminer g −^1 , fonction ré- ciproque de g. 3. Établir les identités suivantes :
(∀ t ∈ R), f^2 ( t ) − g^2 ( t ) = 1 où f^2 ( t ) = f ( t ) × f ( t )
(∀ t ∈ R)(∀ t ′^ ∈ R), f ( t ) × f ( t ′) + g ( t ) × g ( t ′) = f ( t + t ′)
(∀ t ∈ R )(∀ t ′^ ∈ R), g ( t ) × f ( t ′) + f ( t ) × g ( t ′) = g ( t + t ′)
Partie B
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension 2 et B =
ı ,
une base or- thonormée de E. On note L ( E ) l’ensemble des applications linéaires de E dans lui- même (endomorphismes de E ). On note GL ( E ) l’ensemble des applications linéaires bijectives de E sur lui-même (transformations linéaires de E ou automorphismes de E ). On appelle ψ l’application de E × E dans R définie par :
(∀
u ,
v
∈ E × E ) ( ψ
u ,
v
= 4 xx ′^ − y y ′)
( x ; y ) et ( x ′^ ; y ′) étant les coordonnées de
u et
v dans la base B. On définit l’application N de E dans R par :
(∀
u ∈ E )
N
u
= ψ
u ,
u
On note ϕa , b l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est
a^
b 2 2 b a
1. Démontrer que ψ est une application bilinéaire symétrique. Quel est l’en- semble des vecteurs
u tels que N
u
ψ est-il un produit scalaire sur E?
2. On dit que ϕa , b conserve N si et seulement si ( ∀
u ∈ E
N
ϕa , b
u
= N
u
Démontrer que ϕa , b conserve N si et seulement si a^2 − b^2 = 1. Démontrer que l’ensemble F des applications linéaires ϕa , b qui conserve N est un groupe commutatif pour la composition des applications (notée ◦).
Dijon 2 septembre 1976
