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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Besançon juin 1976 \
EXERCICE 1 points
r est un nombre réel strictement positif et α un réel de ] − π ; π ].
1. Résoudre dans C l’équation :
z^2 − 2 r cos αz + r^2 = 0.
On appellera z 1 et z 2 les solutions et on précisera le module et l’argument de chacune.
2. Calculer zn 1 et z 2 n pour tout n ∈ N⋆^ et déterminer Pn = z 1 n + zn 2.
Cas particulier : r =
, α =
2 π 3
Trouver une relation indépendante de n entre Pn et Pn + 3 dans ce cas ; quelle est alors (^) n lim→+∞ Pn?
EXERCICE 2 points
n est un nombre entier strictement positif. Soit In =
0
xn^ e− x^ d x , où e est la base du
logarithme népérien.
1. Démontrer que le nombre In existe pour tout n de N⋆^ et qu’il est strictement positif. Calculer I 1. 2. Démontrer que, pour tout n de N⋆, In + 1 = −
e
- ( n + 1) In. (On pourra utiliser une intégration par parties). Calculer alors I 2 et I 3.
3. Utiliser les résultats précédents pour calculer :
I =
0
− x^3 + 2 x^2 − x
e− x^ d x.
PROBLÈME points
Partie A
Soit un espace vectoriel réel E de dimension n 6 3. On se propose de déterminer la
dimension de E pour qu’il existe un endomorphisme ϕ de E tel que ϕ ◦ ϕ = −IdE (1) où IdE désigne l’application identique de E.
1. Montrer que l’image par ϕ d’une droite vectorielle D est une droite vectorielle ϕ (D), et que l’intersection de D et de ϕ (D) est le vecteur nul (on pourra vérifier, → − u étant un vecteur définissant D, que les réels α et β tels que α
u = βϕ
u
sont nécessairement nuls compte-tenu de (1)). En déduire, si un tel endomor-
phisme existe, que n > 2.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
2. D étant une droite vectorielle engendrée par le vecteur
u non nul, quelle est la dimension du sous-espace vectoriel F D engendré par
u et ϕ
u
? Quelle est l’image de F D par ϕ?
3. Soit n = 2.
u étant un vecteur non nul de E, montrer, si ϕ existe et vérifie (1), que
u , ϕ
u
est une base de E ; quelle est la matrice de ϕ dans cette base? Existe t-il des endomorphismes de E, de dimension 2, vérifiant la condition (1)?
4. Soit n = 3. On suppose qu’il existe un endomorphisme ϕ de E vérifiant (1).
u étant un vecteur non-nul, montrer qu’il existe un vecteur
(^ v^ tel que −→ u , ϕ
u
v
soit une base de E. Compte-tenu de l’expression de ϕ
v
dans cette base, quelle est la matrice de ϕ dans cette base? En déduire une contra- diction. Que peut-on en conclure?
Partie B
P étant un espace affine associé à E espace vectoriel euclidien de dimension 2, on
note
O,
ı ,
un repère orthonormé de P.
1. Déterminer, à l’aide des matrices, les endomorphismes ϕ de E tels que ϕ ◦ ϕ = −IdE. Préciser ceux qui sont orthogonaux. 2. Soit f 1 l’application de P dans P qui au point M de coordonnées ( x ; y ) associe le point M?
x ′^ ; y ′
tel que : { x ′^ = − y + 1 y ′^ = x − 1
a. Démontrer que f 1 est une rotation affine dont l’endomorphisme associé ϕ est tel que ϕ ◦ ϕ = −IdE. Préciser le centre A et l’angle de f 1. b. Soit (Γ) le cercle de centre B(0 ; 1) et de rayon 1. Déterminer l’image (Γ′) de (Γ) par f 1. c. Soit I le milieu du segment [ M , M ?]. Déterminer l’ensemble décrit par I lorsque M décrit (Γ). (On pourra calculer les coordonnées de I ou définir géométriquement une application par laquelle I est image de M ).
3. Soit f 2 l’application de P dans P qui au point M de coordonnées ( x ; y ) associe le point M ′^
x ′^ ; y ′
telle que : { x ′^ = − x + 2 y + 1 y ′^ = − x + y + 1 a. Démontrer que f 2 est une application affine dont l’endomorphisme as- socié ϕ est tel que ϕ est tel que ϕ ◦ ϕ = −IdE. b. Quel est l’ensemble des points invariants? c. Par quelle transformation passe-t-on de M à M ′′^ = f 2 ◦ f 2 ( M )? d. Soit la fonction de R dans R qui à x fait correspondre :
y = x − 1 +
p x^2 − 2 x + 4 3
Étudier cette fonction et la représenter dans le repère
O,
ı ,
. On ap- pelle ( C ) la représentation graphique. e. Déterminer l’image ( C ′) de ( C ) par f 2. Tracer la dans le repère
O,
ı ,
après avoir reconnu cette courbe ( C ′).
N. B. - Les parties A, B, C peuvent être traitées de façon indépendante.
Besançon 2 juin 1976
