Télécharge Sciences math - examen 7 et plus Examens au format PDF de Algorithmes avancés sur Docsity uniquement!
Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Étranger groupe I septembre 1975 \
EXERCICE 1
On considère l’intégrale
I =
∫e
1
(Log x ) n^ d x
dans laquelle n désigne un entier naturel, e la base des logarithmes népériens et Log x le logarithme népérien de x.
1. Pour tout x réel de l’intervalle [1 ; e], comparer
(Log x ) n −^1 et (Log x ) n^.
Montrer que la suite de terme général In est décroissante et minorée.
2. En utilisant une intégration par parties, trouver une relation de récurrence entre In − 1 et In. Calculer I 0 , I 1 , I 2 et I 3
EXERCICE 2
Dans un plan affine rapporté à un repère cartésien donné, on note M ( x ; y ) le point de coordonnées x et y. Soit les points A(−1 ; 1), B(1 ; −1), C(1 ; 1). Déterminer le couple ( x ; y ) pour que M ( x ; y ) soit le barycentre de A affecté du coefficient x , B affecté du coefficient y et C affecté du coefficient 1.
PROBLÈME
N. B. : Toutes les courbes seront tracées dans un plan (P ) orienté rapporté à un repère orthonormé d’axes
x ′O x , y ′O y
1. On considère la fonction f de R+ dans R définie par :
x 7 −→ f ( x ) = x + 1 −
p x.
a. Étudier les variations de la fonction f. Construire la courbe représenta- tive ( C 1 ) des variations de cette fonction. b. Déterminer les points communs à ( C 1 ) et aux axes de coordonnées. c. Déterminer l’aire du domaine (D), ensemble des points μ ( x ; y ) tels que :
1 4
6 x 6 4 et f ( x ) 6 y 6 0.
2. a. On désigne par ( C ) l’ensemble des points M ( x ; y ) du plan (P ) dont les coordonnées vérifient l’équation :
4 y^2 − 8 x y + 4 x^2 − 8 y − 17 x + 4 = 0 (1)
Montrer que ( C 1 ) est une partie de ( C ). Construire ( C ).
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
b. On désigne par (Γ) l’ensemble des points M ( x ; y ) du plan (P ) dont les coordonnées vérifient l’équation :
4 y^2 + 8 x y + 4 x^2 + 8 y − 17 x + 4 = 0 (2)
Construire (Γ).
3. Dans le plan complexe (P ), le point M ( x ; y ) a pour affixe z tel que z = x + i y. On désigne par z le nombre complexe conjugué de z (z = x - iy). On rappelle que i est le nombre complexe de module 1 et d’argument π 2
a. Exprimer, en fonction de z et de z , les nombres réels suivants :
x ; y ; x^2 + y^2 ; x y.
b. En déduire une relation nécessaire et suffisante, que vérifient z et d z , pour que le point M d’affixe z appartienne à ( C ). c. Soit le point N ( X ; Y ) d’affixe Z , tel que Z = X + i Y , transformé du point M dans la rotation de centre O et d’angle
π 4
. Exprimer Z en fonction de z. Trouver une relation nécessaire et suffisante que vérifient Z et Z pour que N appartienne à la courbe ( P ) transformée de la courbe ( C ) dans la rotation de centre O et d’angle
π 4
En déduire l’équation de la courbe ( P ) et la nature de la courbe ( C ).
4. On désigne par ( Cλ ) l’ensemble des points Q ( x ; y ) du plan (P ) dont les coor- données vérifient l’équation :
4 y^2 − 8 x y + 4 x^2 − 8 y + λx + 4 = 0 (3)
dans laquelle λ désigne un paramètre réel. a. En utilisant la relation (3) exprimer y en fonction de x. b. Montrer que pour λ = 8, ( Cλ ) est une droite dont on donnera l’équation. Dans toute la suite du problème, on supposera : λ 6 = 8. c. Montrer que, pour une valeur quelconque de λ différente de 8, la courbe ( Cλ ) est située dans un demi-plan de frontière y ′O y ; préciser lequel. Montrer que les courbes ( Cλ ) passent par un point fixe. d. Montrer que les courbes ( Cλ ) sont des paraboles.
Étranger groupe I 2 septembre 1975
