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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C juin 1975 Rouen \
EXERCICE 1
Soit le nombre complexe
z = 1 + cos ϕ − i sin ϕ
où ϕ désigne un nombre réel variable appartenant à l’intervalle [0 ; 2 π [.
Calculer en fonction de ϕ le module et l’argument de z et du nombre z ′^ =
z lorsqu’il
est défini. (On désigne par z le conjugué de z ). Préciser les ensembles (Γ) et (Γ′) des images respectives de z et z ′^ construites dans
le plan des complexes rapporté au repère orthonormé
O,
u ,
v
EXERCICE 2
Soit p un entier naturel premier.
1. Démontrer que si k est un entier naturel tel que 1 6 k 6 p − 1, le nombre C kp
est divisible par p. En déduire que, quel que soit l’entier n , le nombre ( n +1) P^ − np^ −1 est divisble par p.
2. Démontrer que, quel que soit l’entier naturel n ,
np^ ≡ n (mod p ).
(On pourra faire un raisonnement par rérurrence sur n ). Pour quelles valeurs de n a-t-on np −^1 ≡ 1 (mod p )?
PROBLÈME
f est la fonction définie par
f R → R x 7 −→ f ( x ) = x + 3 +
p 6 x^2 + 24 x
1. a. Étudier le comportement de la fonction f lorsque la variable devient in- finiment grande, et montrer que la courbe représentative (C) de la fonc- tion admet deux asymptotes dont on déterminera les équations, b. Étudier les variations de la fonction f. Est-elle dérivable dans tout son ensemble de définition? Calculer
lim x → 0 +
f ( x ) − f (0) x
, lim x →− 4 +
f ( x ) − f (−4) x + 4 Interpréter les résultats obtenus sur la courbe représentative ( C ). c. Construire la courbe représentative ( C ) de la fonction f , le plan affine euclidien étant rapporté à un repère orthonormé
O,
ı ,
Démontrer que la courbe ( C ) coupe l’axe des abscisses en un seul point, puis calculer l’abscisse de ce point.
Terminale C A. P. M. E. P.
2. Soit O′^ le point tel que
OO′^ = − 2
ı +
Écrire l’équation Y = F ( X ) de la courbe ( C ) rapportée au repère
O′,
ı ,
On désigne par ( C ′) la courbe représentant dans le repère
O′,
ı ,
la fonc- tion G définie par
G ( X ) = X −
6 x^2 − 24.
Montrer que ( C ′) est symétrique de ( C ) par rapport au point O′. Déduire de cette étude, l’ensemble (( Γ) des points du plan rapportée au repère O′,
ı ,
dont les coordonnées X et Y sont liées par la relation
X^2 − 2 Y^2 + 4 X Y − 12 = 0.
3. ϕ est l’endomorphisme du plan vectoriel euclidien P , défini par sa matrice dans la base orthonormée
ı ,
ı
M =
[
]
a. ϕ est-il un automorphisme du plan vectoriel? ϕ est-il involutif? b. Étant donné un nombre réel λ , on pose
E λ =
u ;
u ∈ P et ϕ
u
= λ
u
Montrer qu’il existe deux valeurs réelles de λ pour lesquelles E λ 6 =
0 P
(Ces valeurs seront notées λ 1 et λ 2 ; λ 1 > 0) Démontrer que E λ 1 et E λ 2 sont deux droites vectorielles orthogonales. Calculer
I ∈ E λ 1 et
J ∈ E λ 2 tels que
I ,
J
soit une base orthonormée.
4. ( X ; Y ) étant les coordonnées d’un point M du plan affine euclidien rapporté au repère
O′,
ı ,
et
X ′^ ; Y ′
les coordonnées du même point M dans le plan rapporté au repère
O′,
I ,
J
, exprimer X et Y en fonction de X ′^ et Y ′. Écrire l’équation de la courbe (Γ) de la deuxième question lorsque cette courbe est rapportée au repère
O′,
I ,
J
Reconnaître la courbe (Γ).
Rouen 2 juin 1975
