Facult´e d’´economie et de gestion S4
Math´ematiques 4 L. Bruasse
Feuille d’exercices 1
Espace vectoriel
Exercice 1 :
Les familles suivantes sont-elles des bases ou des familles g´en´eratrices de R3?
1. {(1,2,1),(1,3,2),(1,0,−1),(2,1,1),(1,3,4)}
2. {(1, x, µ),(0,1, λ),(0,0,1)}
Exercice 2 :
D´eterminer la dimension des sous-espaces vectoriels suivants et en donner une base :
1. V1={(x1, x2, x3)|2x1+x3= 0}
2. V3=V ect((1,0,1),(1,1,−1),(−1,−3,5)).
Exercice 3 :
D´eterminer le rang et le noyau des applications lin´eaires suivantes :
1. f(x, y, z) = (2x+ 3y , y + 2z)
2. f(x, y, z, t) = (x+y−z , 2x−y+ 3t, 3x−z+ 2t)
3. A7→ trace(A) o`u A∈Mn(R)
Exercice 4 :
D´eterminer avec le th´eor`eme du rang la dimension des sous-espaces vectoriels suivants :
1. V1={(x1, x2, x3)|x1+ 50x3= 0}
2. V2={(x1, x2, x3, x4)|x1−2x3= 0 et x1+x3+x4= 0}
Exercice 5 :
Ecrire la matrice dans la base canonique de R2de l’application lin´eaire donn´ee par
x
y→2x−y
x+ 7y
Quelle est la matrice de cette mˆeme application dans la base {1
0,1
1}?
Quel est son rang et la dimension de son noyau?
Exercice 6 :
On se place dans R2.
1. Soient v1, v2, v3trois vecteurs, 2 `a 2 lin´eairement ind´ependants, tels que v3=−v1−v2. Montrer
qu’il existe une application lin´eaire ftelle que f(v1) = v2, f(v2) = v3, f (v3) = v1.
2. Montrer que f◦f◦f=Id.
3. Trouver la matrice de fpour
v1=1
1, v2=−1
2, v3=0
−3.
1
