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Formulaire de trigonométrie circulaire
A
B
x
M H
K
cos(x)
sin(x)
tan(x)
cotan(x)
cos(x) = abscisse de M
sin(x) = ordonnée de M
tan(x) = AH
cotan(x) = BK
eix^ = zM
b
b b
b b
b
b
Pour x /∈
π
2
sin(x)
cos(x)
et pour x /∈ πZ, cotan(x) =
cos(x)
sin(x)
. Enfin pour x /∈
π
2
Z, cotan(x) =
tan(x)
Valeurs usuelles.
x en ◦^0 30 45 60
x en rd 0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin(x) 0
cos(x) 1
tan(x) 0
cotan(x) ∞
∀x ∈ R, cos^2 x + sin^2 x = 1
∀x /∈
π
2
cos^2 x
∀x /∈ πZ, 1 + cotan^2 x =
sin^2 x
addition d’un tour addition d’un demi-tour angle opposé angle supplémentaire
cos(x + 2π) = cos x cos(x + π) = − cos x cos(−x) = cos x cos(π − x) = − cos x sin(x + 2π) = sin x sin(x + π) = − sin x sin(−x) = − sin x sin(π − x) = sin x tan(x + 2π) = tan x tan(x + π) = tan x tan(−x) = − tan x tan(π − x) = − tan x cotan(x + 2π) = cotan x cotan(x + π) = cotan x cotan(−x) = − cotan x cotan(π − x) = − cotan x
angle complémentaire quart de tour direct quart de tour indirect
cos(
π
2
− x) = sin x cos(x +
π
2
) = − sin x cos(x −
π
2
) = sin x
sin(
π 2
− x) = cos x sin(x +
π 2
) = cos x sin(x −
π 2
) = − cos x
tan(
π 2
− x) = cotan x tan(x +
π 2
) = − cotan x tan(x −
π 2
) = − cotan x
cotan(
π
2
− x) = tan x cotan(x +
π
2
) = − tan x cotan(x −
π
2
) = − tan x
© c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr
Formules d’addition Formules de duplication
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(2a) = cos^2 a − sin
2 a cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b = 2 cos^2 a − 1 sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a = 1 − 2 sin^2 a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a sin(2a) = 2 sin a cos a
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a tan b
tan(2a) =
2 tan a
1 − tan^2 a
tan(a − b) =
tan a − tan b
1 + tan a tan b
Formules de linéarisation
cos a cos b =
(cos(a − b) + cos(a + b)) cos^2 a =
1 + cos(2a) 2
sin a sin b =
(cos(a − b) − cos(a + b)) sin^2 a =
1 − cos(2a)
2
sin a cos b =
(sin(a + b) + sin(a − b))
Formules de factorisation cos x, sin x et tan x Divers
en fonction de t=tan(x/2)
cos p + cos q = 2 cos
p + q 2
cos
p − q 2
cos x =
1 − t^2 1 + t^2
1 + cos x = 2 cos^2
x 2
cos p − cos q = − 2 sin
p + q
2
sin
p − q
2
sin x =
2t
1 + t^2
1 − cos x = 2 sin^2
x
2
sin p + sin q = 2 sin
p + q 2
cos
p − q 2
tan x =
2t 1 − t^2
cos(3x) = 4 cos^3 x − 3 cos x
sin p − sin q = 2 sin
p − q
2
cos
p + q
2
sin(3x) = 3 sin x − 4 sin^3 x
Résolution d’équations
cos x = cos a ⇔ sin x = sin a ⇔ tan x = tan a ⇔ ∃k ∈ Z/ x = a + 2kπ ∃k ∈ Z/ x = a + 2kπ ∃k ∈ Z/ x = a + kπ ou ou ∃k ∈ Z/ x = −a + 2kπ ∃k ∈ Z/ x = π − a + 2kπ
Exponentielle complexe
∀x ∈ R, eix^ = cos x + i sin x.
Valeurs usuelles
e^0 = 1 , eiπ/2^ = i, eiπ^ = − 1 , e−iπ/2^ = −i, e2iπ/3^ = j = −
2eiπ/4^ = 1 + i.
Propriétés algébriques
∀x ∈ R, |eix| = 1.
∀(x, y) ∈ R^2 , eix^ × eiy^ = ei(x+y),
eix eiy^
= ei(x−y),
eix^
= e−ix^ = eix
Formules d’Euler
∀x ∈ R, cos x =
eix^ + e−ix 2
et eix^ + e−ix^ = 2 cos x.
∀x ∈ R, sin x =
eix^ − e−ix
2i
et eix^ − e−ix^ = 2i sin x.
Formule de Moivre
∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, (eix)n^ = einx.
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