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Algebra & Logica

Appunti

Galizzi Francesco & Scandella Matteo

18 giugno 2014

Indice

• I. Algebra
• 1. Relazioni su un insieme
  • 1.1. Introduzione
  • 1.2. Grafo associato ad una relazione
  • 1.3. Proprietà
    • 1.3.1. Restrizione ad un sottoinsieme
  • 1.4. Relazioni di equivalenza
    • 1.4.1. Classi di equivalenza
    • 1.4.2. Insieme quoziente
    • 1.4.3. Congruenza modulo n
    • 1.4.4. Rappresentanti e buona definizione
    • 1.4.5. Somma e prodotto in Z /n Z
  • 1.5. Relazioni di ordine
    • 1.5.1. Ordine totale
    • 1.5.2. Estremanti
    • 1.5.3. Reticolo
    • 1.5.4. Proprietà dei reticoli
• 2. Strutture algebriche
  • 2.1. Leggi di composizione
    • 2.1.1. Definizione
    • 2.1.2. Proprietà
  • 2.2. Strutture con una lci
    • 2.2.1. Base
    • 2.2.2. Il monoide delle parole
    • 2.2.3. Sottogruppi
    • 2.2.4. Gruppo quoziente
  • 2.3. Gruppi finiti
    • 2.3.1. Elementi di ordine finito
    • 2.3.2. Gruppi finiti
  • 2.4. Morfismi
• 3. Aritmetica
  • 3.1. Richiami
  • 3.2. Ideali di Z
    • 3.2.1. Definizione
    • 3.2.2. Z è principale
    • 3.2.3. Intersezione e somma
    • 3.2.4. MCD, mcm
    • 3.2.5. Proprietà di MCD e mcm
    • 3.2.6. Teorema di Bezout Indice
  • 3.3. Equazioni diofantee
    • 3.3.1. Teorema cinese dei resti
    • 3.3.2. Equazioni diofantee
    • 3.3.3. Invertibili in Z /n Z
  • 3.4. Algoritmo di Euclide
• 4. Strutture algebriche (2)
  • 4.1. Applicazioni della teoria dei gruppi
    • 4.1.1. Teoremi di Fermat ed Eulero
    • 4.1.2. Diffie-Hellman
    • 4.1.3. RSA (Ronald Rivest, Adi Shanir, Leonard Adleman, 1978)
  • 4.2. Strutture algebriche con 2 lci
    • 4.2.1. Anello
    • 4.2.2. Proprietà
    • 4.2.3. Ideali
    • 4.2.4. Anelli di polinomi
    • 4.2.5. Campi
• II. Logica
• 5. Logica proposizionale
  • 5.1. Il linguaggio
    • 5.1.1. Base
    • 5.1.2. Induzione
    • 5.1.3. Albero sintattico
    • 5.1.4. Semantica
    • 5.1.5. Equivalenza semantica
    • 5.1.6. Completezza funzionale
    • 5.1.7. Dualità
  • 5.2. Forme normali
    • 5.2.1. Definizione
    • 5.2.2. Esistenza
  • 5.3. Sistemi deduttivi
    • 5.3.1. Idea
    • 5.3.2. Deduzione naturale
    • 5.3.3. Rappresentazione ad albero
    • 5.3.4. Interpretazione semantica
    • 5.3.5. Risoluzione a clausole
• 6. Logica dei predicati o del primo ordine
  • 6.1. Il linguaggio
    • 6.1.1. Base
    • 6.1.2. Sottoformule
    • 6.1.3. Principi di induzione
    • 6.1.4. Variabili libere e vincolate
    • 6.1.5. Semantica
    • 6.1.6. Soddisfacibilità, validità e modelli
      • 6.1.6.1. Definizione
      • 6.1.6.2. Chiusure Indice
      • 6.1.6.3. Proprietà delle chiusure
    • 6.1.7. Equivalenza semantica
    • 6.1.8. Forma normale prenessa
    • 6.1.9. Forma di Skolem
  • 6.2. Sistemi deduttivi
    • 6.2.1. Deduzione naturale
    • 6.2.2. Risoluzione
  • 6.3. Complementi
    • 6.3.1. Decidibilità
    • 6.3.2. Gödel
• III. Appendici
• A. La prova del
• B. Divertimenti

Parte I.

Algebra

1. Relazioni su un insieme

Simmetria Si dice che ρ è simmetrica se ∀ ( a, b ) ∈ A × A , a ρ b ⇒ b ρ a (cioè se ( a, b ) ∈ ρ allora ( b, a ) ∈ ρ ). Sul grafo per ogni freccia esiste quella nel verso opposto; posso tracciarne una sola togliendo l’estremità.

Transitività Si dice che ρ è transitiva se e solo se ∀ ( a, b, c ) ∈ A^3 , a ρ b ∧ b ρ c ⇒ a ρ c (se ( a, b ) ∈ ρ e ( b, c ) ∈ ρ allora ( a, c ) ∈ ρ ). Nel grafo significa che “ci sono le scorciatoie”; se si sa che ρ è transitiva non si indicano le freccie che conseguono dalle altre.

Antisimmetria Si dice che ρ è antisimmetrica se e solo se ∀ ( x, y ) ∈ A^2 , x ρ y ∧ y ρ x ⇒ x = y (cioè se ( x, y ) ∈ ρ e ( y, x ) ∈ ρ ⇒ x = y ). Non ci sono frecce in versi opposti, tranne eventuali cappi. N.B.: non è il contrario di simmetrico (una relazione può essere sia simmetrica che antisimmetrica, nel qual caso potrà contenere solo cappi).

Equivalenza Si dice che ρ è una relazione di equivalenza (o un’ equivalenza ) se e solo se è riflessiva, simmetrica e transitiva. Sul grafo si “chiudono i cerchi”.

Ordine Si dice che ρ è una relazione di ordine (o un ordine ) se e solo se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Sul grafo si dispongono gli elementi in modo che tutte le frecce siano rivolte verso l’alto e si omettono le estremità (albero).

Osservazione

• Esistono relazioni sia simmetriche che antisimmetriche (sono formate da soli cappi).
• L’ugualianza è l’unica relazione che possiede tutte le proprietà ed è sia un’equivalenza che un ordine.

Esempi A = N (Z).

= riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica, equivalenza, ordine

≤

{ ( a, b ) ∈ A × A | ∃ c ∈ R | b = a + c^2

}

R sia a ∈ A , allora con c = 0, a = a + c^2 , quindi è riflessiva S 2 ≤ 3 ma 3  2 T siano a, b, c ∈ A tali che a < b e b < c , allora: ∃ k, l ∈ R tali che b = a + k^2 e c = b + l^2 = a + k^2 + l^2. Dato che

k^2 + l^2 ∈ R, a ≤ c , quindi è transitiva A siano a, b ∈ A tali che a ≤ b e b ≤ a , allora: ∃ k, l ∈ R tali che b = a + k^2 e a = b + l^2 = a + k^2 + l^2 ⇒ k^2 = − l^2 ⇒ k = l = 0 ⇒ a = b , quindi è antisimmetrica quindi è un ordine

⊆ {( B, C ) ∈ P (X) × P (X) | ∃ Z ∈ P (X) | C = B ∪ Z }

R sia A ∈ P (X), allora con B = ∅ A = A ∪ B , quindi è riflessiva

1. Relazioni su un insieme

S A = { 1 , 2 } , B = { 2 } ⇒ B ⊆ A ma A * B quindi non è simmetrica T Siano A, B, C ∈ P( X ) tali che A ⊆ B e B ⊆ C , allora: ∃ X, Y ∈ P( X ) tali che B = A ∪ X e C = B ∪ Y = A ∪ X ∪ Y. Dato che X ∪ Y ∈ P( X ), A ⊆ C , quindi è transitiva A Siano A, B ∈ P( X ) tali che A ⊆ B e B ⊆ A , allora: ∃ X, Y ∈ P( X ) tali che B = A ∪ X e A = B ∪ Y = A ∪ X ∪ Y , quindi X ∪ Y = ∅ ⇒ X = Y = ∅ ⇒ B = A , quindi è antisimmetrica quindi è un ordine

< dato che la definizione di < non è facilmente formulabile è difficile trovare una dimostra- zione formale R S T A

′′ stessa ordinata ′′ (^) riflessiva, simmetrica, transitiva, antisimmetrica ((2 , 0) 6 = (4 , 0))

Le dimostrazioni si ricavano da quelle dell’ugualianza

| {( a, b ) ∈ A × A | ∃ k ∈ A | b = a · k }

R sia a ∈ A. Allora a = 1 · a , quindi a | a S 2 | 4 ma 4 | 2 perché ∀ k ∈ A , 4 k ≥ 4 se k > 0 , 4 k ≤ 0 se k < 0 quindi ∀ k ∈ A , 4 k 6 = 2 T siano a, b, c ∈ A tali che a | b e b | c ⇒ ∃ k, l ∈ A tali che b = k · a e c = l · b = l · k · a , l · k = m ∈ A , quindi a | c , quindi è transitiva A siano a, b ∈ A tali che a | b e b | a , cioè tali che ∃ k, l tali che b = k · a , a = l · b. Quindi a = l · k · a. Se a = 0, b = k · a = 0 = a. Se a 6 = 0, k · l = 1. Questo è possibile se e solo se k = l = ± 1. Per A = N, k = l = 1 quindi b = a e | è antisimmetrica. Per A = Z, a = 2 e b = − 2 sono tali che a | b e b | a con a 6 = b quindi | non è antisimmetrica. | è una relazione d’ordine per N ma non per Z

1.3.1. Restrizione ad un sottoinsieme

Definizione Sia R una relazione su un insieme A e sia B un sottoinsieme di A. La restrizio- ne di R a B è la relazione RB su B definita da RB = R ∩ ( B × B ), cioè ∀ b 1 , b 2 ∈ B , b 1 RB b 2 ⇔ b 1 R b 2.

Proposizione Siano A , B , R e RB come sopra, allora:

• Se R è riflessiva ⇒ RB è riflessiva
• Se R è simmetrica ⇒ RB è simmetrica
• Se R è transitiva ⇒ RB è transitiva
• Se R è antisimmetrica ⇒ RB è antisimmetrica

1. Relazioni su un insieme

Osservazione

• La relazione di equivalenza suddivide A in un certo numero di “pacchetti”, le classi di equivalenza.
• Due elementi sono in relazione se e solo se condividono una certa proprietà.

1.4.2. Insieme quoziente

Ciascuna delle classi di equivalenza è un sottoinsieme di A , quindi un elemento di P ( A ).

Definizione

• Sia A un insieme e ∼ una relazione di equivalenza su A. L’ insieme quoziente di A per ∼ è A/ ∼ = {[ a ]∼ | a ∈ A }. ( A/ ∼ ⊆ P( A ))
• L’applicazione π ∼: A → A/ ∼ a 7 → π ∼ ( a ) = [ a ]∼ si chiama proiezione canonica da A su A/ ∼.

Esempi

• “=” - A/ ∼ = {{ a } , { b } ,... } - π ∼ ( a ) = { a }
• ′′ stessa ordinata ′′ - piano/ ∼ = { rette orizzontali } - π ∼ ( P ) = retta orizzontale passante per P
• ′′ stesso cardinale ′′^ con A = P ({ a, b }) - A/ ∼ = {{∅} , {{ a } , { b }} , { a, b }} - π ∼ (∅) = {∅}, π ∼ ({ a }) = π ∼ ({ b }) = {{ a } , { b }} e π ∼ ({ a, b }) = { a, b }

Definizione Sia A un insieme e F un sottoinsieme di P ( A ). Si dice che F è una partizione di A se e solo se:

1. ∅ ∈ / F

⋃ X ∈ F X^ =^ A^ (ciascun elemento di^ A^ sta in almeno un elemento di^ F^ )

3. ∀ X ∈ F , ∀ Y ∈ F , se X 6 = Y ⇒ X ∩ Y = ∅ (un elemento di A non sta in due elementi diversi di F )

Osservazione

• L’insieme quoziente è una partizione.
• Ogni relazione di equivalenza definisce una partizione dell’insieme su cui è definita.
• Un insieme vuoto non può avere nessuna partizione perchè P (∅) = {∅} e quindi l’unico sottoin- sieme di P (∅) che non vada contro la (1) della definizione è l’insieme vuoto stesso, ma questo contraddice la (2) della definizione.

1. Relazioni su un insieme

Proposizione Sia A un insieme non vuoto e F una partizione di A allora esiste una relazione di equivalenza ∼ F , con A/ ∼ F = F. ∼ F = {( a, b ) ∈ A × A | ∃ X ∈ F | a ∈ X e b ∈ X }

Dimostrazione Bisogna mostrare che ∼ F è un’equivalenza e A/ ∼ F = F. Per comodità al posto di ∼ F scriviamo ∼.

R Sia a ∈ A , dalla (2) della definizione di partizione, ∃ X ∈ F tale che a ∈ X e dalla definizione di ∼, a ∼ a.

S Siano a ∈ A , b ∈ A tali che a ∼ b. Quindi ∃ X ∈ F tale che a ∈ X e b ∈ X. Quindi b ∈ X e a ∈ X. Quindi b ∼ a. Dato che non c’è stato bisogno di sfruttare il fatto che F è una partizione per dimostrare la simmetria si dice che è simmetrica per definizione.

T Siano a, b, c ∈ A tali che a ∼ b e b ∼ c , allora ∃ X ∈ F tale che a ∈ X e b ∈ X , ∃ Y ∈ F tale che b ∈ Y e c ∈ Y. Dato che b ∈ X e b ∈ Y allora X ∩ Y 6 = ∅. Se X 6 = Y allora per il punto (3) della definizione di partizione varrebbe che X ∩ Y = ∅ e quindi si creerebbe una contraddizione, quindi X = Y. Quindi a ∈ X e c ∈ X , perciò a ∼ c e quindi ∼ è transitiva.

Quindi ∼ è un’equivalenza. Inoltre bisogna dimostrare che A/ ∼ = F. sia a ∈ A , allora [ a ]∼ = { b ∈ A | a ∼ b } = { b ∈ A | ∃ X ∈ F | a ∈ X e b ∈ X }. Essendo F una partizione esiste un solo insieme X che contiene a quindi [ a ]∼ = X , con X ∈ F e a ∈ X. Quindi ogni elemento di A ha la classe di equivalenza in F e quindi A/ ∼ ⊆ F. Sia Y ∈ F allora ∃ b ∈ A tale che b ∈ Y quindi [ b ]∼ = Y per ciò che è stato detto prima, quindi tutti gli elementi di F sono una classe di equivalenza e quindi F ⊆ A/ ∼ e quindi A/ ∼ = F.

1.4.3. Congruenza modulo n

Definizione Siano a, b, n ∈ Z. Si dice che “a” è congruo a “b” modulo n se e solo se n | b − a , cioè se e solo se ∃ k ∈ Z tale che b = a + k · n. In tal caso si denota: a ≡ n b , a ≡ b , a ≡ b ( mod n ), a ≡ b mod n.

Proposizione ∀ n ∈ Z, ≡ n è una relazione di equivalenza.

Dimostrazione Sia n ∈ Z.

R Sia a ∈ Z, con k = 0 otteniamo a = a + 0 · n = a e quindi a ≡ n a.

S Siano a, b ∈ Z tali che a ≡ n b e quindi ∃ k ∈ Z tali che b = a + kn , allora a = b − kn = b + (− k ) n , (− k ) ∈ Z e quindi b ≡ n a , quindi ≡ n è simmetrica.

T Siano a, b, c ∈ Z tali che a ≡ n b e b ≡ n c ⇒ ∃ k, l tali che b = a + kn e c = b + ln. c = a + kn + ln = a + ( k + l ) n. Siccome ( k + l ) ∈ Z, c ≡ n a. Quindi ≡ n è transitiva.

Quindi ≡ n è un’equivalenza.

1. Relazioni su un insieme

Esempi

• Z / 2 Z = {[0] 2 , [1] 2 }
• Z / 3 Z = {[0] 3 , [1] 3 , [2] 3 }

1.4.4. Rappresentanti e buona definizione

Definizione

• Sia A un insieme, ∼ un’equivalenza su A e C una classe di equivalenza per ∼. Ogni a ∈ C si chiama rappresentante di C (quindi C = [ a ]∼ se e solo se a è un rappresentante di C ).
• Un sottoinsieme R di A tale che ogni classe di A per ∼ abbia un unico elemento in R si chiama sistema completo di rappresentanti per ∼.

Esempi

• ′′ stessa ordinata ′′: - un rappresentante della classe “retta y = 3” è un qualsiasi punto che si trovi sulla retta, come P 1 (− 1 , 3), o P 2 (7 , 3) - un sistema completo di rappresentanti è l’asse y , oppure ′′ retta x = 2′′, oppure la curva y = x^3 ; invece non vanno bene: ∗ y = arctan x perché ∀ x ∈ R, − π/ 2 < y < π/ 2 , quindi non contiene un rappresentante per ogni classe ∗ y = x^3 − 3 x perché contiene, per alcune classi, più di un rappresentante
• ≡ n , n ≥ 1 : - [7] 18 ammette rappresentanti 7 , 25 , 43 , − 11 , − 29 ,... - Un sistema completo di rappresentanti per Z /n Z è { 0 , 1 ,... , n − 1 } o { n, n + 1 ,... , 2 n − 1 } - Un sistema completo di rappresentanti per Z / (2 n )Z è {− n + 1 , − n + 2 ,... , − 1 , 0 , 1 ,... , n − 1 , n } - Un sistema completo di rappresentanti per Z / (2 n +1)Z è {− n, − n + 1 ,... , − 1 , 0 , 1 ,... , n − 1 , n }

Funzioni mal definite Quando si definiscono delle funzioni tra classi di resto bisogna stare attenti ai rapprensentanti usati. Ad esempio: g : Z / 2 Z → Z / 3 Z [ a ] 2 7 → g ([ a ] 2 ) = [2 a ] 3 non è ben definita perché: [0] 2 = [2] 2 g ([0] 2 ) = [2 · 0] 3 = [0] 3 g ([2] 2 ) = [2 · 2] 3 = [4] 3 = [1] 3 6 = [0] 3 Quindi per uno stesso valore del dominio otteniamo 2 valori del codominio e quindi questa funzione è mal definita. Questo succede perché per calcolare g ([0] 2 ) usiamo un rappresentante di [ a ] 2 , e se si cambia il rappresentante cambia il risultato.

1. Relazioni su un insieme

1.4.5. Somma e prodotto in Z /n Z

Proposizione Siano a, b, c, d, n ∈ Z tali che a ≡ n c e b ≡ n d (cioè [ a ] n = [ c ] n e [ b ] n = [ d ] n ), allora:

• a + b ≡ n c + d (cioè [ a + b ] n = [ c + d ] n );
• ab ≡ n cd (cioè [ ab ] n = [ cd ] n ).

Dimostrazione Esistono k, l ∈ Z tali che c = a + kn e d = b + ln. Allora:

• c + d = a + b + ( k + l ) n , ( k + l ) ∈ Z ⇒ a + b ≡ n c + d ;
• cd = ab + bkn + aln + kln^2 = ab + ( kb + al + kln ) n , ( kb + al + kln ) ∈ Z ⇒ cd ≡ n ab.

Definizione Siano a, b, n ∈ Z allora:

• [ a ] n + [ b ] n = [ a + b ] n ;
• [ a ] n · [ b ] n = [ ab ] n.

Osservazione [ a + b ] n e [ a · b ] n sono insiemi ben definiti per la proposizione di prima, quindi ha senso definire tale somma e prodotto.

• [0] n + [ a ] n = [ a ] n
• [0] n · [ a ] n = [0] n
• [1] n · [ a ] n = [ a ] n

Può capitare che con a 6 = 0 e b 6 = 0, [ a ] n · [ b ] n = [0] n , quando a · b = 0 + k · n = k · n con k ∈ Z quindi quando il prodotto è multiplo di n.

1.5. Relazioni di ordine

1.5.1. Ordine totale

Definizione Sia A un insieme e  una relazione di ordine su A , si dice che l’ ordine  è totale se e solo se ∀ a, b ∈ A , a  b o b  a.

Esempi

• ≤ su R è totale
• ⊆ su P ( X ) non è (in generale) totale. Se a = { x, z }, b = { y, z }, con x 6 = y , y 6 = z , z 6 = x non è vero che a ⊆ b e non è vero che b ⊆ a
• | su N non è un ordine totale ( 6 - 15 e 15 - 6 )

1.5.2. Estremanti

Sia A un insieme,  una relazione di ordine su A ed E un sottoinsieme di A.

1. Relazioni su un insieme

Proposizione

• Se c’è un massimo allora è anche l’estremo superiore.
• Se c’è un minimo allora è anche l’estremo inferiore.

Dimostrazione Sia M il massimo di E , ⇒ ∀ a ∈ E , a  M. Quindi M è anche un maggiorante, inoltre dato che tutti gli elementi dell’insieme sono “minori” del massimo gli altri maggioranti sono per forza “maggiori” del massimo, quindi M è il minimo dei maggioranti e quindi è l’estremo superiore. La dimostrazione per l’estremo inferiore è analoga.

1.5.3. Reticolo

Definizione Un reticolo è una coppia ( E, ρ ) dove E è un insieme e ρ è una relazione d’ordine su E tale che ∀ a ∈ E , b ∈ E , { a, b } ha un estremo superiore e un estremo inferiore per ρ. Se ( E, ρ ) è un reticolo, per ( a, b ) ∈ E^2 denotiamo:

• inf ( a, b ) = a ∧ b = inf { a, b };
• sup ( a, b ) = a ∨ b = sup { a, b }.

1.5.4. Proprietà dei reticoli

Proposizione Sia ( E, ρ ) un reticolo. Valgono:

1. Idempotenza : ∀ a ∈ E , a ∨ a = a ∧ a = a.
2. Commutatività : ∀ a, b ∈ E , a ∨ b = b ∨ a , a ∧ b = b ∧ a.
3. Associatività : ∀ a, b, c ∈ E , ( a ∨ b ) ∨ c = a ∨ ( b ∨ c ) = sup { a, b, c }, ( a ∧ b ) ∧ c = a ∧ ( b ∧ c ) = inf { a, b, c }.

Definizione Sia ( E, ρ ) un reticolo. Il reticolo ( E, ρ ) si dice limitato se e solo se esistono il massimo I e il minimo O di E per ρ.

Proposizione Se ( E, ρ ) è limitato, ∀ a ∈ E valgono:

• O ∨ a = a e O ∧ a = O ;
• I ∨ a = I e I ∧ a = a.

Definizione Sia ( E, ρ ) un reticolo limitato e a ∈ E , allora se esiste b ∈ E tale che a ∨ b = I e a ∧ b = O l’elemento b si dice complemento di a. Se tutti gli elementi di E hanno un complemento il reticolo si dice complementato.

Teorema Il reticolo (N , |) è un reticolo limitato.

Dimostrazione È chiaro che 1 è il minimo e 0 è il massimo di N per |. Siano a, b ∈ N. Allora i maggioranti di { a, b } saranno gli elementi divisibili sia per a che per b , cioè i multipli comuni di a e b. Quindi a ∧ b = mcm ( a, b ). Per l’inf e i minoranti è lo stesso: i minoranti sono i divisori comuni e quindi a ∨ b = M CD ( a, b ). La definizione rigorosa e la dimostrazione dell’esistenza di mcm e M CD è trattata più avanti, per questa dimostrazione basta il significato intuitivo.

2. Strutture algebriche

2.1. Leggi di composizione

2.1.1. Definizione

Sia E un insieme. Una legge di composizione interna su E (o lci , legge di composizione , legge di composizione binaria , operazione ,... ) è un’applicazione da E × E in E. Se_?_ è lci su E e a, b ∈ E ,? ( a, b ) si scrive a? b.

Esempi

• +, · su N, Z, Q, R, C, matrici (quadrate per il ·) e Z /n Z
• − su Z, Q, R, C, matrici e Z /n Z
• / su {± 1 }, Q∗, R∗, C∗I
• ∩, ∪ su P ( X )
• ◦II^ su appl ( X, X ), iniez ( X, X ), suriex ( X, X ), biez ( X, X ), crescenti in (R , R)
• ∧, ∨ su un reticolo ( E, ρ )

Non sono lci :

• − su N, perchè dati 2 elementi in N non è detto che si possa fare la sottrazione
• / su N, Q, R, C, perchè la divisione su 0 non è definita
• ◦ su decrescenti in (R , R) perchè la composizione tra 2 funzioni decrescenti forma una funzione crescente

2.1.2. Proprietà

Definizione Sia E un insieme e_?_ una lci su E.

• La lci? è detta commutativa se e solo se ∀ a ∈ E, ∀ b ∈ E, a? b = b? a.
• La lci? è detta associativa se e solo se ∀ a ∈ E, ∀ b ∈ E, ∀ c ∈ E, ( a? b )? c = a? ( b? c ).
• L’elemento e ∈ E si dice neutro o unità per_?_ se e solo se ∀ a ∈ E a? e = e? a = a.
• L’elemento z ∈ E si dice elemento assorbente per_?_ se e solo se ∀ a ∈ E a? z = z? a = z.
• Se e è un neutro per_?_ e a ∈ E , un elemento b ∈ E tale che a? b = b? a = e si dice inverso o simmetrico di a per_?_. Si denota a −^1. Se ∃ un tale b , a si dice invertibile.
• Se_?_ ammette un neutro in E , allora l’insieme degli elementi invertibili per_?_ si indica E?. IL’asterisco come apice indica che l’insieme viene preso escludendo lo 0; successivamente questo concetto viene spiegato meglio. IIIl simbolo “◦” indica la composizione di funzioni.

2. Strutture algebriche

Esempi

• Le lci sono operazioni di arità 2
• Il simmetrico è un’operazione di arità 1
• Il neutro è un’operazione di arità 0

( R , + , · , 0 , 1 , − , −^1

) è una struttura algebrica dove:

- R è l’insieme di definizione - + è la lci della somma tra reali e quindi ha arità 2 - · è la lci del prodotto tra reali e quindi ha arità 2 - 0 è una costante (il neutro della somma) e quindi ha arità 0 - 1 è una costante (il neutro della moltiplicazione) e quindi ha arità 0 - − è l’operazione che restituisce il simmetrico della somma e quindi ha arità 1 - −^1 è l’operazone che restituisce il simmetrico della moltiplicazione e quindi ha arità 1 Questa struttura è un campo come verrà spiegato in seguito

.

2.2. Strutture con una lci

2.2.1. Base

Definizione Sia ( E,? ) una struttura algebrica.

• Se_?_ è associativa, ( E,? ) si dice semigruppo.
• Se_?_ è associativa e ammette un neutro, ( E,? ) si dice monoide.
• Se_?_ è associativa, ammette un neutro e ogni elemento è invertibile, ( E,? ) si dice gruppo.
• Se inoltre_?_ è commutativa si dice che ( E,? ) è un semigruppo (rispettivamente monoide o gruppo) abeliano o commutativo. In quel caso si dice anche che la lci è abeliana.

Esempi

• ( appl ( X, X ) , ◦) è un monoide con neutro idx

   

N

Z

Q

R

C

   ^ sono monoidi abeliani

    

Z

Q

R

C

Z /n Z

    

e

  

Q?

R?

C?

   sono gruppi abeliani

2. Strutture algebriche

Definizione Sia ( G,? ) un gruppo, il centro di ( G,? ) è Z ( G ) = { z ∈ G | ∀ g ∈ G, z? g = g? z }.

Osservazione Se ( G,? ) è un gruppo abeliano allora Z ( G ) = G.

Osservazione Un monoide (e quindi un gruppo) non è mai vuoto perché contiene sempre almeno il neutro.

Proposizione Se ( S,? ) è un monoide, allora ( S?,? ) è un gruppo.

Dimostrazione Per dimostrare che una struttura algebrica è un gruppo bisogna controllare se:

-? sia una lci in S? , quindi se ∀ a, b ∈ S?^ ⇒ a? b ∈ S? : a? b ∈ S?^ se è invertibile, quindi bisogna capire se esiste tale inverso. Dato che a, b ∈ S?^ allora esistono a −^1 e b −^1. Inoltre ( a? b )−^1 = b −^1_? a_ −^1 infatti: - a? b? b −^1_? a_ −^1 = a? e? a −^1 = a? a −^1 = e ; - b −^1_? a_ −^1_? a? b_ = b −^1_? e? b_ = b −^1_? b_ = e ; quindi l’inverso esiste e quindi a? b ∈ S?. -? sia associativa, quindi se ∀ a, b, c, ∈ S?^ ⇒ a? ( b? c ) = a? ( b? c ): dato che_?_ è associativa in S lo è anche nel suo sottoinsieme S?.

• S?^ contenga il neutro di_?_ : bisogna controllare se il neutro è invertibile, ma l’inverso del neutro è il neutro stesso: e? e = e.
• S? contenga gli inversi per_?_ quindi se ∀ a ∈ S?^ ⇒ a −^1 ∈ S? : per la definizione di S?^ se un elemento a ∈ S è invertibile allora a ∈ S? , ma non si è sicuri che anche a −^1 ∈ S?. L’inverso di a −^1 è a infatti: a? a −^1 = a −^1_? a_ = e. Quindi a −^1 ∈ S?^ e quindi tutti gli inversi appartengono a S?.

Notazione Se ( E,? ) è un monoide:

• g^0 = e è il neutro;
• ∀ n ≥ 0 , gn +1^ = g? gn ;
• se g è invertibile e n < 0 , gn^ =

( g −^1

)− n .

Esempi

• (Z , +) - g^0 = 0 - g^1 = g + 0, g^2 = g + g = 2 · g , gn^ = g ︸ (^) +... ︷︷ + g ︸ n volte

= n · g

- g −^1 = − g , g −^2 = − 2 · g , g − n^ = (− g ) +... + (− g ) ︸ ︷︷ ︸ n volte

= − n · g

• (Q , ·)