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domanda 1 2 3 4 AD OGNI FORMA DIFFERENZIALE LINEARE DEFINITA NELLO SPAZIO R^3 SI PUÒ PENSARE ASSOCIATO: 1 un insieme di funzionali lineari tali che la forma risulta una combinazione lineare di questi funzionali; 2 un campo vettoriale le cui componenti sono i coefficienti della forma differenziale; 3 un campo vettoriale le cui componenti sono funzionali lineari; 4 un insieme di funzionali lineari.
ASSEGNATE DUE FUNZIONI
DERIVABILI, LA DERIVATA DEL LORO
PRODOTTO È:
1 (f'g-fg')/g^2 2 f'g+fg' 3 f'g' 4 f'g-fg' 2 CON IL METODO DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE, E CON IL METODO DI INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI PROVARE CHE L’INTEGRALE ∫(X^2-5X+9)/(X^2- 5X+6) DX= 1 x-3 log |x-2| - log|x+3|+c: 2 x+3 log |(x-3)/(x-2)| +c ; 3 x-3 log |(x-3)/(x-2)| +c 4 3 log |x-2|-log|x+3| +c
CONSIDERATA LA COPPIA DI PUNTI
(A,B), IL VETTORE APPLICATO NEL
PUNTO A E DI SECONDO ESTREMO
B È CARATTERIZZATO DA:
1 Da un modulo (o norma), una direttrice, un verso; 2 Solo dalla distanza dei due punti; 3 Solo dalla direzione per andare da A e B; 4 Solo dalla retta su cui giacciono A e B.
CONSIDERATA LA COPPIA DI PUNTI
(A,B), IL VETTORE APPLICATO NEL
PUNTO A E DI SECONDO ESTREMO
B SI RAPPRESENTA CON:
un segmento; un segmento orientato; una retta; una semiretta. 2 CONSIDERATA LA FUNZIONE Y = LOG (X^2+1) LA SUA DERIVAGTA È (DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA): 1 (1/x)(2x+1) 2 1/ (x^2+1) 3 2/ (x^2+1) 4 2x/ (x^2+1) 4 Considerata la matrice A = ‖aij‖i=1,...,m l’ennupla ordinata A(i) = (ai1, ... , ain) ∈ Knsi j=1,...,n chiama: 1 i-esima colonna della matrice A 2 i-esima riga della matrice A; 3 Elemento di posto i della matrice A; 4 Vettore i-esimo della matrice A.
CONSIDERATA LA MATRICE O I CUI
ELEMENTI SONO TUTTI NULLI E
CONSIDERATA UNA MATRICE A
TALE CHE ABBIA SENSO IL
PRODOTTO AO. A COSA È UGUALE
IL SUDDETTO PRODOTTO?
1 Alla matrice identica I_n; 2 Alla matrice O con elementi tutti nulli 3 Alla matrice A; 4 Alla matrice che ha gli elementi sulla diagonale principale nulli.
CONSIDERATA UNA GENERICA
ELLISSE CENTRATA NEL CENTRO
DEGLI ASSI X^2 / A^2 +. Y^2 / B^2 E
IL SUO QUARTO NEL PRIMO
QUADRANTE, L’AREA DELL’ELLISSE E
IL BARICENTRO DEL QUARTO DI
ELLISSE SONO:
1 m(E) = πab; B = (4a/3π; 4b/3π) 2 m(E) = 2πab; B = (4a/3π; 4b/3π) 3 m(E) = πab; B = (a/3π; b/3π) 4 m(E) = π; B= (4/3π; 4/3π)
CONSIDERATE A,B "MATRICI
MOLTIPLICABILI,SI HA " (AB)^T=?
1 B^T A^T; 2 A^T B^T; 3 (BA)^T; 4 AB. 1
CONSIDERATO IL MODELLO DI
CRESCITA ESPONENZIALE DI
CRESCITA DI MASSA DI UNA
CELLULA POSTA IN UN AMBIENTE
IDEALE. SE LA MASSA DELLA
CELLULA SI TRIPLICA IN UN’ORA, LA
SUA MASSA, TRASCORSA UN’ALTRA
ORA, SARÀ PARI A:
1 p' (2) = 3p(0); 2 p' (2) = 9p(0); 3 p' (2) = 6p(0); 4 p (2) = 9p(0); 4 CONSIDERATO IL SOTTOSPAZIO DI R^4 CON BASE W=<(1,0,-1,1);(2,3,- 1,2)> IL COMPLEMENTO ORTOGONALE W^⊥: 1 ha dimensione unitaria ed è rappresentato da W^⊥={(z-t,-1/ z,z,t):y,z,t∈R}; 2 ha dimensione due ed è rappresentato da W^⊥={(z-t,-1/ z,z,t):z,t∈R} 3 ha dimensione tre ed è rappresentato da W^⊥={(z-t,-1/ z,z,t):z,t∈R 4 ha dimensione due ed è rappresentato da W^⊥={(t-z,1/ z,z,t):y,z,t∈R}}
CONSIDERATA LA FUNZIONE Y=
(X^2-1)/(X^2+1) LA SUA DERIVATA È
(DERIVATA DI UNA FUNZIONE
COMPOSTA):
1 1 2 4x/ (x^2+1)^2 3 1/(x^2+1) 4 2x/ (x^2+1) 2 DATA L’APPLICAZIONE F:V → V' CON DIM V=N,DIM V'=M SI OSSERVA CHE: 1 Se l’applicazione è un isomorfismo allora m=n e la dimensione del nucleo è pari a zero, mentre quella dell’immagine è pari a m; 2 Se l’applicazione è un isomorfismo allora m<n la dimensione del nucleo è pari a n, mentre quella dell’immagine è pari a m; 3 Se l’applicazione è un isomorfismo allora m>n la dimensione del nucleo è pari a m, mentre quella dell’immagine è pari a n 4 m=n se e solo se l’applicazione è un monomorfismo il nucleo e l’immagine hanno la stessa dimensione.
DATA LA FUNZIONE F(X)=X^2+4X+6 1 il punto di ascissa x=2 è un punto di minimo relativo; 2 il punto di ascissa x=- 2 è un punto di minimo relativo 3 i punti di ascissa x=0; x= -2 sono un punto di massimo e di minimo relativo rispettivamente; 4 la funzione non ha punti né di massimo né di minimo
DATA LA FUNZIONE PERIODICA F(X)
DI PERIODO 2Π, TALE CHE
F(X)=X,∀X∈[-Π,Π [. I SUOI
COEFFICIENTI DI FOURIER SONO:
1 a_0=1; a_0=1 ∀k; b_k= (-1)^(k+1)∙ (2/k) 2 a_0=0; a_0=0 ∀k; b_k=(-1)^(k+1)∙(2/k) 3 a_0=0; a_0=1 ∀k; b_k=(-1)^k∙(2/k) 4 a_0=0; a_0=0 ∀k; b_k=(-1)^(k+1)∙
DATA UN’APPLICAZIONE F QUESTA
È LINEARE:
1 se conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale (condizione sufficiente); 2 allora conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale (condizione necessaria); 3 se e solo se conserva le combinazioni lineari dei vettori di una fissata base dello spazio vettoriale; 4 se conserva le combinazioni lineari dei vettori.
DATA UN’APPLICAZIONE LINEARE
F:V → V'
1 kerf, imf sono sottospazi di V; 2 kerf,imf sono rispettivamente sottospazi di V e V’; 3 kerf è un sottospazio di V, non è detto che imf sia un sottospazio; 4 kerf,imf sono sottospazi di V’.
DATA UNA F DERIVABILE N VOLTE
IN X_0, IL RESTO R_N (X) È:
1 un infinitesimo in x_ di ordine superiore a (x-x_0 )^n; 2 è un infinitesimo in x_0 di ordine inferiore a (x-x_0 )^n; 3 è un infinito in x_0 di ordine superiore a (x- x_0 )^n; 4 è un infinito in x_0 di ordine inferiore a (x- x_0 )^n.
DATA UNA FUNZIONE CONTINUA F:
[A,B] → R IL SUO GRAFICO G È:
1 Il sostegno di una curva semplice e aperta di R^2; 2 una curva semplice e aperta di R^2; 3 una curva di R^2; 4 Il sostegno di una curva di R^2.
DATA UNA FUNZIONE F CHE
AMMETTE ENTRAMBE LE DERIVATE
MISTE F_XY, F_YX, CONTINUE IN UN
PUNTO (X_0,Y_0 ), SI HA:
1 f_xy (x_0,y_0 )=f_yx (x_0,y_0 )= 2 f_xy (x_0,y_0 )≠f_yx (x_0,y_0 ) 3 f_xy (x_0,y_0 )=-f_yx (x_0,y_0 ) 4 f_xy (x_0,y_0 )=f_yx (x_0,y_0 )
DATA UNA FUNZIONE F(X)
CONTINUA IN UN INTERVALLO [A,B]
IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL
CALCOLO INTEGRALE ASSICURA CHE:
1 la funzione integranda ha più primitive; 2 la funzione integrale è una primitiva della funzione integranda; 3 la funzione integranda è uguale alla sua funzione integrale; 4 la funzione integrale è uguale alla derivata prima della funzione integranda.
DATA UNA FUNZIONE, IL RAPPORTO
INCREMENTALE ∆F/ ∆X È :
1 [f(x+h)-f(x)]/h 2 [f(x+h)+f(x)]/h 3 [f(x+h)-f(x0)]/h 4 [f(x)-f(h)]/h 1 DATA UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE N, SE IL SUO RANGO È MASSIMO, OVVERO PARI A N, LA MATRICE: 1 ha determinante nullo; 2 non è invertibile; 3 ha determinante non nullo ed è invertibile; 4 è singolare e invertibile.
DATA UNA RETTA AX+BY+C=0 I SUOI
PARAMETRI DIRETTORI SONO:
1 (α,β)=(-b,a); 2 (α,β)=(a,b) 3 (α,β)=(b,a) 4 (α,β)=(-a,b) 1 DATA UNA RETTA AX+BY+C=0 I COEFFICIENTI A,B, DELLA X E DELLA Y RISPETTIVAMENTE, HANNO IL SIGNIFICATO DI: 1 componenti dei numeri direttori della retta; 2 componenti di un vettore parallelo alla retta; 3 componenti di un vettore ortogonale alla retta; 4 componenti del vettore parallelo al vettore direzione della retta.
DATI DUE VETTORI, IL LORO
PRODOTTO VETTORIALE È:
1 uno scalare; 2 un vettore; 3 un vettore proporzionale al primo vettore; 4 un vettore ortogonale al secondo vettore.
IL DIFFERENZIALE DELLA VARIABILE
INDIPENDENTE È UGUALE:
1 zero; 2 all’incremento della variabile dipendente; 3 all’incremento della variabile stessa; 4 ad una costante. 3 IL DOMINIO D={( X,Y) ∈ R^2 :0 ≤ X ≤ 2, 0 ≤ Y ≤ √(2X-X^2 )} È: 1 normale rispetto all’asse delle ascisse; 2 normale rispetto all’asse delle ordinate; 3 normale rispetto ad entrambi gli assi; 4 non è un dominio normale.
IL DOMINIO DELLA FUNZIONE
F(X)=√(Y-X^2 ) È:
1 Le coppie dei punti (x,y) del piano che si trovano al di sotto della parabola di equazione y=x^2; 2 Le coppie dei punti (x,y) del piano che si trovano al di sopra della parabola di equazione y=x^2; 3 Le coppie dei punti (x,y) del piano che hanno ordinata inferiore a y=x^2; 4 Tutto il piano. 2 IL GRADIENTE DELLA FUNZIONE F(X,Y)=3X+2Y NEL PUNTO È:
IL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
CONCAVA È POSIZIONATO;
1 Tutto al di sotto della retta tangente nel punto (x0, f(x0)) 2 Tutto al di sopra della retta tangente nel punto (x0, f(x0)) 3 Interseca la retta tangente; 4 Se x0>0 al di sopra, altrimenti al di sotto.
IL LEGAME TRA LA CONTINUITÀ E LA
DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE È
ESPRESSA DALLA IMPLICAZIONE:
1 f derivabile in x0 ← f continua in x 2 f derivabile in x0 ↔ f continua in x 3 f derivabile in x0 → f continua in x 4 f derivabile in x0 non implica f continua in x
IL LEMMA DI STEINITZ ASSICURA
CHE:
1 Tutti i sistemi linearmente indipendenti hanno al più lo stesso numero di vettori di una base; 2 Tutti i sistemi linearmente indipendenti hanno il numero di vettori necessariamente più piccolo del numero di vettori di una base 3 Tutti i sistemi linearmente indipendenti dipendono da un sistema di vettori più grandi 4 Tutti i sistemi linearmente dipendenti dipendono da un sistema di vettori più grandi
IL MODULO (O NORMA) DI UN
SEGMENTO ORIENTATO
RAPPRESENTA:
1 la distanza tra due punti che giacciono sulla stessa retta; 2 un numero non negativo associato al vettore che rappresenta il segmento; 3 un numero non negativo che rappresenta la distanza tra i due punti, estremi del segmento orientato, rispetto ad una data unità di misura; 4 la direzione per andare dal primo estremo al secondo.
IL PROBLEMA DI CAUCHY PER LE
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL
PRIMO ORDINE ESPRIME:
1 il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il dato inziale; 2 il legame delle soluzioni dell’equazione differenziale con il tempo; 3 l’unica soluzione dell’equazione differenziale; 4 un insieme di soluzioni legate al tempo iniziale.
IL PRODOTTO DI DUE MATRICI
INVERTIBILI È:
1 invertibile e uguale a (AB)^(-1)=A^(-1) B^(-1); 2 non necessariamente invertibile; 3 invertibile e uguale al prodotto delle due matrici; 4 invertibile e uguale a (AB)^(-1)=B^(-1) A^(-1)
IL PRODOTTO RIGHE PER COLONNE
DI DUE MATRICI È:
1 Solo Commutativo; 2 Solo Associativo; 3 Associativo e distributivo rispetto alla somma di matrici; 4 Né commutativo, né associativo.
IL PRODOTTO SCALARE DI DUE
VETTORI È ANCHE UGUALE A:
1 u∙v=‖u‖‖v‖ cosφ 2 u∙v=‖u‖+‖v‖ cosφ 3 u∙v=‖u‖‖v‖ sinφ 4 u∙v=(‖u‖+‖v‖) cosφ 1 IL PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI REALI È 1 la somma dei prodotti delle componenti di uguale posto dei due vettori ed è un numero reale; 2 la somma dei prodotti delle componenti di uguale posto dei due vettori ed è un vettore; 3 i prodotti delle componenti di uguale posto dei due vettori ed è un numero reale; 4 la somma delle componenti di ugual posto ed è un vettore.
IL RISULTATO DEL SEGUENTE LIMITE
È: LIM X → +∞ (2E^X + 5)/(6-4E^X)
1 applicando 2 volte il teorema di l’Hospital +∞ 2 applicando 1 volta il teorema di l’Hospital - 1/ 3 applicando 2 volte il teorema di l’Hospital 5/
IL RISULTATO DELL’INTEGRAZIONE
DEFINITA È:
1 una funzione; 2 un numero; 3 una variabile; 4 una funzione proporzionale alla funzione integranda.
IL ROTORE DI UN CAMPO
VETTORIALE F DI R^3 È:
1 il vettore di componenti ((∂F_3)/∂y - (∂F_2)/∂z, (∂F_1)/∂z - (∂F_3)/∂x, (∂F_1)/∂y - (∂F_2)/∂x) 2 il valore ((∂F_3)/∂y - (∂F_2)/∂z + (∂F_1)/∂z - (∂F_3)/∂x + (∂F_1)/∂y - (∂F_2)/∂x); 3 il valore ((∂F_3)/∂y - (∂F_2)/∂z ∙ (∂F_1)/∂z - (∂F_3)/∂x ∙ (∂F_1)/∂y - (∂F_2)/∂x); 4 il vettore di componenti ((∂F_3)/∂y + (∂F_2)/∂z, (∂F_1)/∂z + (∂F_3)/∂x, (∂F_1)/∂y + (∂F_2)/∂x)
IL SISTEMA DI VETTORI S={(2,2,1,1);
1 è certamente linearmente indipendente perché contiene il vettore nullo; 2 è certamente linearmente dipendente perché contiene il vettore nullo; 3 non è detto che sia linearmente dipendente; 4 il sistema è linearmente indipendente.
IL SISTEMA OMOGENEO AMMETTE
UN’UNICA SOLUZIONE:
1 se la matrice dei coefficienti è singolare e la soluzione risulta quella banale; 2 se la matrice dei coefficienti è non singolare e la soluzione risulta quella banale; 3 se la matrice dei coefficienti è singolare e la soluzione risulta quella banale; 4 se la matrice dei coefficienti e quella completa hanno lo stesso rango.
IL SOTTOSPAZIO GENERATO DA
<(1,1)> HA DIMENSIONE:
1 1 2 0 3 2 4 n-1 1 IL SOTTOSPAZIO GENERATO DA S, 1 è l’unione dei sottospazi contenenti S; 2 è l’unione dei sottospazi contenuti in S; 3 è l’intersezione di tutti i sottospazi contenenti S, ovvero il più piccolo sottospazio contenente S; 4 è l’intersezione di tutti i sottospazi contenuti in S, ovvero il più grande sottospazio contenente S;
IL TEOREMA DELLA DIVERGENZA
FISICAMENTE DICE:
1 che il flusso di un campo vettoriale attraverso il bordo di una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume V delimitato da S; 2 che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale della divergenza del campo esteso al volume V delimitato da S 3 che il flusso di della divergenza attraverso una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale del campo esteso al volume V delimitato da S 4 che il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa S (orientata verso l’esterno) è uguale all’integrale della divergenza del campo limitata al bordo del volume V.
IL TEOREMA DELLA MEDIA È VALIDO
NELL'IPOTESI DI FUNZIONE
1 discontinua 2 continua 3 non esiste il teorema della media per gli integrali 4 nessuna delle risposte è esatta
IL TEOREMA DI BINET AFFERMA CHE
IL DETERMINANTE DEL PRODOTTO
DI DUE MATRICI (SEMPRE CHE IL
PRODOTTO ABBIA SENSO) È:
1 uguale al prodotto dei singoli determinanti delle due matrici; 2 uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici, cambiato di segno; 3 uguale al prodotto dei singoli determinanti delle inverse delle due matrici; 4 uguale al prodotto dei singoli determinanti delle inverse delle due matrici, scambiate di posto.
IL TEOREMA DI CANTOR ASSICURA
CHE:
1 f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇐ f è uniformemente continua; 2 f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇔ f è uniformemente continua; 3 f una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b] ⇒ f è uniformemente continua; 4 f una funzione continua in un intervallo ⇒ f è uniformemente continua.
IL TEOREMA DI CRAMER ASSICURA
CHE, DATO UN SISTEMA LINEARE DI
N EQUAZIONI IN N INCOGNITE, IL
SISTEMA AMMETTE UNA E UNA
SOLA SOLUZIONE:
1 Se la matrice dei coefficienti è singolare; 2 se la matrice dei coefficienti è non singolare; 3 se la matrice dei coefficienti non ha rango massimo; 4 se il sistema è omogeneo
IN UNA BASE DI AUTOVETTORI
L’APPLICAZIONE LINEARE È
DIAGONALIZZABILE E LA SUA
MATRICE RAPPRESENTATIVA È:
1 una matrice diagonale che ha sulla diagonale il valore 1 per tutti gli elementi. Ovvero la matrice identica; 2 una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori corrispondenti agli autovettori della base; 3 una matrice quadrata che ha sulla diagonale gli autovalori corrispondenti agli autovettori della base; 4 una matrice diagonale che ha sulla diagonale solo gli autovalori con molteplicità algebrica pari a 1.
L’INTEGRALE GENERALE,
CALCOLATO CON IL METODO DELLA
VARIAZIONE DELLE COSTANTI,
DELL’EQUAZIONE Y''+Y= (COS^2) X È:
1 y (x) = c_1 cosx + c_ sinx + sin^2x + (cos^4x)/3 - (sin^4x)/3; 2 y(x) = sin^2x + (cos^4x)/3 - (sin^4x)/3; 3 y(x) = c_1 cosx + c_ sinx + (cos^4x)/3 - (sin^4x)/3; 4 y(x) = c_1 cosx + c_ sinx + cos^4x - sin^4x;
L’INTERSEZIONE DELLA CONICA
Y=2X^2 E DELLA CONICA
X^2+Y^2+2Y-9=0 RAPPRESENTA:
1 l’intersezione di una parabola con concavità rivolta verso l’alto e di una circonferenza di centro C=(0,-1) e raggio r=√10. Le due curve si incontrano in due punti (1,2); (-1,2) 2 l’intersezione di una parabola con concavità rivolta verso l’alto e di una circonferenza di centro C=(0,-1) e raggio r=√10. Le due curve si incontrano in un unico punto (-1,2) 3 l’intersezione di una parabola con concavità rivolta verso il basso e di una circonferenza di centro C=(0,-1) e raggio r=√10. Le due curve si incontrano in un unico punto (-1,2). 4 l’intersezione di una parabola con concavità rivolta verso il basso e di una ellisse. Le due curve si incontrano in due punti (1,2); (1,-4).
L’INTERSEZIONE DI UNA
QUALUNQUE FAMIGLIA DI
SOTTOSPAZI DI UNO SPAZIO
VETTORIALE È:
1 un sottospazio dello spazio vettoriale; 2 in generale non è un sottospazio dello spazio generale; 3 il sottospazio generato dall’intersezione è un sottospazio; 4 è uguale alla somma dei sottospazi
L’IPERBOLE RIFERITA AGLI ASSI È: 1 un’iperbole i cui assi coincidono con gli assi cartesiani e ha equazione xy=k; 2 un’iperbole i cui assi sono ruotati di 45° in senso orario rispetto agli assi cartesiani e ha equazione xy=k; 3 un modo di denominare l’iperbole equilatera; 4 un’iperbole i cui assi sono ruotati di 45° in senso antiorario rispetto agli assi cartesiani e ha equazione xy=k.
L’UNIONE DI UN NUMERO FINITO DI
SOTTOSPAZI DI UNO SPAZIO
VETTORIALE È:
1 un sottospazio dello spazio vettoriale; 2 in generale non è un sottospazio dello spazio generale, ma lo è il sottospazio generato; 3 è un sottospazio se e solo se la loro intersezione è vuota; 4 è un sottospazio se e solo se la loro intersezione è non vuota.
LA BILINEARITÀ DEL PRODOTTO
SCALARE SIGNIFICA CHE:
1 è due volte lineare rispetto alle sue componenti; 2 è lineare rispetto ad entrambe le componenti; 3 è lineare secondo due coppie distinte di scalari; 4 è lineare e simmetrico.
LA CONICA X^2-2Y=0 HA NEL
PUNTO P=(2,2)
1 non ha retta tangente nel punto, perché il punto non vi appartiene; 2 y=2x-2; 3 il punto è esterno alla conica e da qui partono due rette tangenti di equazioni y=2x-2; 4 y=-2x+6 2 LA CURVATURA MISURA: 1 di quanto la curva si discosta dall’essere una curva piana; 2 la variazione della normale, ovvero misura quanto rapidamente la curva si allontana dalla normale alla curva nel punto 3 la variazione della tangente, ovvero misura quanto rapidamente la curva si allontana dalla retta tangente alla curva nel punto; 4 il raggio del cerchio osculatore.
LA DERIVATA DI UNA COSTANTE È: 1 uguale a 1; 2 uguale a zero; 3 uguale alla costante stessa; 4 uguale a x; 2 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO, GEOMETRICAMENTE È: 1 il coefficiente angolare della retta secante; 2 il coefficiente angolare della retta tangente nel punto al grafico della funzione; 3 l’incremento della funzione; 4 il differenziale della funzione.
LA DIMENSIONE DI UNO SPAZIO È: 1 L’ordine comune a tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generabile e che non si riduce al solo vettore nullo; 2 L’ordine comune a tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generabile che contiene il vettore nullo; 3 Il numero di vettori contenuti in un sistema linearmente indipendente; 4 il numero di vettori contenuti in un sistema di generatori.
LA DISTANZA TRA I DUE FUOCHI
DELL’ELLISSE È:
1 |F_1 F_2 |=2c 2 |F_1 F_2 |=2a 3 |F_1 F_2 |=c 4 |F_1 F_2 |=a 1 LA FORMA DIFFERENZIALE DI R^3 : Ω = ((E^X) COS Y + YZ)DX + (XZ - (E^X) SIN Y)DY + XYDZ È: 1 esatta ma non chiusa; 2 esatta e quindi chiusa; 3 chiusa, ma non esatta; 4 né esatta, né chiusa. 2 LA FORMA DIFFERENZIALE Ω= ((X- Y)DX+(X+Y)DY) / (X^2+Y^2 )^Α È CHIUSA IN R^3 - {(0,0)} SE Α È: 1 α=1/2; 2 α=2; 3 α=0; 4 α=1; 4
LA FORMA DIFFERENZIALE: Ω =
SINXDX + COSYDY È:
1 esatta ma non chiusa; 2 esatta e quindi chiusa; 3 chiusa, ma non esatta; 4 né esatta, né chiusa. 2 LA FUNZIONE ESPONENZIALE A^X CON BASE 0<A< 1 Strettamente monotona crescente; 2 Strettamente monotona decrescente per x<0; 3 Strettamente monotona decrescente per x<0 e strettamente monotona crescente per x>0; 4 Strettaemente monotona descrescente in tutto R
LA FUNZIONE F(X) = RADICE CUBICA
DI X ESSA È:
1 Continua e non derivabile 2 Derivabile in ogni punto del suo insieme di definizione 3 Continua nel suo insieme di definizione, ma non derivabile. La La funzione, infatti, non è derivabile in x = 0 4 La funzione è continua nel suo insieme di definizione e quindi anche derivabile
LA FUNZIONE GAUSSIANA: 1 si annulla in un unico punto in cui incontra l’asse delle ascisse; 2 si annulla in un unico punto in cui incontra l’asse delle ordinate; 3 si annulla in un intorno del punto di massimo; 4 non si annulla mai e non interseca, quindi, l’asse delle ascisse.
LA FUNZIONE LOGARITMO È: 1 Monotona crescente; 2 Strettamente monotona crescente; 3 Strettamente monotona crescente x
0 4 Monotona decrescente.
LA FUNZIONE RESTO È: 1 La differenza fra la funzione f e un polinomio in zero; 2 l’errore che si commette, sostituendo la funzione f con il suo polinomio di Taylor di ordine n e centro x_0; 3 l’errore che si commette, sostituendo la funzione f con il suo polinomio di Taylor di ordine n necessariamente di centro x_0=0; 4 La somma fra la funzione f e un polinomio in zero.
LA LUNGHEZZA DEI UNA CURVA
CONTINUA Φ(T) : I → R^N È:
1 l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali circoscritte, al variare di tutte le possibili poligonali; 2 l'estremo superiore delle lunghezze delle poligonali inscritte, al variare di tutte le possibili poligonali; 3 La somma delle lunghezze delle poligonali circoscritte, al variare di tutte le possibili poligonali; 4 La somma delle lunghezze delle poligonali inscritte, al variare di tutte le possibili poligonali.
LA MATRICE E LA SUA TRASPOSTA
HANNO TRACCIA:
1 uguale ma di segno opposto, perché gli elementi sulla diagonale della trasposta sono gli opposti degli elementi che si trovano sulla diagonale della matrice di partenza; 2 uguale perché gli elementi che sono sulla diagonale, per definizione di matrice trasposta, sono gli stessi che si trovano sulla diagonale della matrice di partenza; 3 diversa; 4 reciproca. La traccia della trasposta è uguale al reciproco della traccia della matrice di partenza.
LA PRIMITIVA DELLA FORMA
DIFFERENZIALE: Ω = (2E^Y - YE^X
)DX + (2XE^Y - E^X )DY È:
1 f(x,y) = 2x(e^y) - e^x; 2 f(x,y) = 2x(e^y) + e^x; 3 f(x,y) = 2x(e^y) - y(e^x); 4 f(x,y)= e^y - e^x. 3 LA PRIMITIVA DELLA FUNZIONE F(X)=COSX È: 1 F(x)=-sinx; 2 F(x)=sinx; 3 F(x)=-cosx; 4 F(x)=sinx cosx; 2 LA PROPRIETÀ ADDITIVA DELL’INTEGRALE, SE SI INTERPRETANO GLI INTEGRALI DEFINITI DI FUNZIONI POSITIVE COME AREE DI REGIONI PIANE DICE CHE 1 l’area dell’unione di due regioni piane, prive di punti in comune, è uguale alla somma delle due aree; 2 l’area dell’unione di due qualsiasi regioni piane è uguale alla somma delle due aree; 3 l’area dell’unione di due regioni piane con punti in comune, è uguale alla somma delle due aree; 4 l’area dell’unione di due regioni piane, prive di punti in comune, è uguale alla differenza delle due aree.
LA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO
(5,-7) E ORTOGONALE AL VETTORE
(1,2) HA EQUAZIONE CARTESIANA:
1 5x-7y+c=0; 2 5x-7y+1=0; 3 x+2y+9=0; 4 x+2y+19=0. 3 LA RETTA TANGENTE AL GRAFICO DELLA FUNZIONE NEI PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO È: 1 Parallela all’asse delle ordinate; 2 Perpendicolare alla bisettrice del primo e terzo quadrante 3 Parallela all’asse delle ascisse; 4 Nei punti di massimo e di minimo non esiste la retta tangente
LO SPAZIO DUALE DI R^N È: 1 L’insieme di tutti i funzionali lineari da R^n a R e dimensione minore di R^n 2 L’insieme di tutti i funzionali lineari da R^n a R e dimensione maggiore di R^n; 3 L’insieme di tutti i funzionali lineari da R^n a R e ha la stessa dimensione di R^n; 4 L’insieme di tutti i funzionali lineari da R a R^n e dimensione uguale a R^n.
LO SVILUPPO DI LAPLACE PER IL
CALCOLO DEL DETERMINANTE DI
UNA MATRICE QUADRATA DI
ORDINE N DICE;
1 che il determinante è uguale al prodotto degli elementi della prima riga della matrice per i rispettivi complementi algebrici; 2 che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque riga per i rispettivi complementi algebrici; 3 che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque linea della matrice per i rispettivi complementi algebrici; 4 che il determinante è uguale al prodotto degli elementi di una qualunque colonna della matrice per i rispettivi complementi algebrici.
LO SVILUPPO SECONDO LA
FORMULA DI MACLAURIN DELLA
FUNZIONE COSENO PER N =4:
1 cosx = 1 - (x^2/2!) + (x^3/3!) + R_4 (x) 2 cosx =1 - (x^2/2!) + R_4 (x) 3 cos(x) = 1- (x^2/2!) + (x^4/4!) + R_4(x) 4 cosx = 1 + (x^2/2!) + (x^4/4) + R_4(x)
LO SVILUPPO SECONDO LA
FORMULA DI TAYLOR DI CENTRO
X_0 = 2 IL POLINOMIO: F(X) = X^3 -
2X^2 + 3X + 5 È:
1 11+7(x-2)+8(x- 2)^2+6(x-2)^3; 2 11+7(x-2)+8(x- 2)^2+6(x-2)^3; 3 11+7(x-2)+4(x- 2)^2+(x-2)^3; 4 11+7(x-2)+4(x- 2)^2+(x- 2)^3+⋯+((f^(n)) (2))/n! (x-2)^n.
MEDIANTE IL METODO DI
INTEGRAZIONE PER PARTI,
PROVARE CHE L’INTEGRALE: ∫LOGX
DX=
1 1/x+c; 2 (xlogx-x)+c; 3 (xlogx-1)+c; 4 xlogx+c. 2 MEDIANTE IL METODO DI SOSTITUZIONE, PROVARE CHE L’INTEGRALE ∫1/√(5X-2) DX= 1 2√(5x-2)+c; 2 2/5 √(5x-2)+c; 3 1/5 √(5x-2)+c; 4 1/(2√(5x-2))+c 2 MEDIANTE LA FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE SI PROVA CHE ∫sinx (integrale definito tra 0 e π ) 1 0 2 1 3 2 4 π. 3 MEDIANTE LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE, PROVARE CHE L’INTEGRALE ∫COS^ X DX= 1 cos^4 x/4+c; 2 sin^4 x/4 +c 3 sinx - ( sin^3 x/ 3 )+c; 4 sin x - ( cos^3 x/ 3) +c 3 NELLA DEFINIZIONE DI SUPERFICIE REGOLARE LA CONDIZIONE CHE I VETTORI COLONNA SONO LINEARMENTE INDIPENDENTI EQUIVALE A: 1 φ_u (u,v)⋀φ_v (u,v)= 2 φ_u (u,v)⋀φ_v (u,v)≠ 3 φ_u (u,v)∙φ_v (u,v)≠0 4 φ_u (u,v)∙φ_v (u,v)≠0 2 NELLA DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY-SCHWARZ |U∙V| ≤ ‖U‖ ‖V‖, ∀U,V∈V SI HA CHE: 1 l’uguaglianza equivale all’indipendenza dei due vettori; 2 l’uguaglianza vale se e solo se i due vettori sono indipendenti; 3 l’uguaglianza vale se e solo se i due vettori sono dipendenti; 4 l’indipendenza dei vettori è condizione sufficienti per l’uguaglianza.
PER ESPLICITARE I COEFFICIENTI
BINOMIALI PRESENTI NELLA
FORMULA DEL BINOMIO DI
NEWTON, SI UTILIZZA:
1 il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti estremi della riga precedente; 2 il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga successiva; 3 il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla differenza dei coefficienti più vicini della riga precedente; 4 il triangolo di Tartaglia dove ogni coefficiente è uguale alla somma dei coefficienti più vicini della riga precedente.
PER UN’APPLICAZIONE LINEARE
SONO EQUIVALENTI;
1 epimorfismo ⇔ f conserva i sistemi di generatori ⇔ kerf={0} 2 isomorfismo ⇔ f conserva i sistemi di generatori ⇔ kerf≠{0} 3 epimorfismo ⇔ f conserva l'indipendenza lineare ⇔ kerf={0} 4 monomorfismo ⇔ f conserva l'indipendenza lineare ⇔ kerf={0}
RIFERENDOSI AGLI INTEGRALI
NOTEVOLI, SI PROVA CHE:
∫COSX/SINX DX=
1 -log |cosx | +c; 2 -log |sinx | +c; 3 log |cosx | 4 log |sinx |+c. 4 SE (Α,Β) SONO I NUMERI DIRETTORI DI UNA RETTA PER UN PUNTO (X_0,Y_0 ) SI HA CHE: 1 La retta è parallela all’asse delle ordinate se β=0; 2 La retta è parallela all’asse delle ordinate se α=0; 3 La retta è parallela all’asse delle ascisse se β=0; 4 La retta è parallela all’asse delle ascisse se α=
SE A UNA MATRICE SI SOSTITUISCE
UNA LINEA CON UNA SUA
COMBINAZIONE LINEARE DI LINEE
AD ESSA PARALLELE, IL
DETERMINANTE È:
1 nullo; 2 l’opposto di quello della matrice di partenza; 3 uguale a quello della matrice di partenza; 4 diverso da quello della matrice di partenza.
SE IL ∆ DELL’EQUAZIONE
CARATTERISTICA È NEGATIVO, LE
SOLUZIONI DELL’EQUAZIONI SONO
DATE DA:
1 y(x) = c_1 (e^αx) cos βx + c_2 (e^αx) sin βx, con α = -a/2, β = √(- Δ)/2; 2 y(x) = c_1(e^x) cos βx
- c_2 (e^x) sin βx, con β=√(-Δ)/2 ; 3 y(x) = c_1 cos βx + c_2 sin βx, con β=√(- Δ)/ 4 non ammette soluzioni.
SE LA DIMENSIONE DI V (SPAZIO
VETTORIALE DI PARTENZA) È
MAGGIORE DELLA DIMENSIONE DI
V' (SPAZIO VETTORIALE DI ARRIVO)
UNA BASE DI V È
NECESSARIAMENTE TRASFORMATA
DALL’APPLICAZIONE LINEARE IN:
1 una base di V'; 2 un sistema di vettori linearmente indipendenti di V'; 3 un sistema di vettori linearmente dipendenti di V'; 4 in un sistema di vettori dipendenti o indipendenti, a seconda di come è definita l’applicazione lineare.
SE V=K^N E B È IL RIFERIMENTO
STANDARD DI K^N, ALLORA C_B È
1 l’applicazione identica; 2 l’applicazione nulla; 3 un’applicazione solo suriettiva; 4 un’applicazione solo iniettiva
SI CONSIDERI IL SISTEMA
W={(1,1,1,1); (2,2,1,1);(1,1,2,2)}
ESSO È:
1 Linearmente dipendente e si riduce a un unico vettori perché gli altri due dipendono dal primo; 2 linearmente indipendente perché il terzo è combinazione lineare dei primi due; 3 linearmente indipendente; 4 linearmente dipendente perché il terzo è combinazione lineare dei primi due;
SI CONSIDERI L’INTERSEZIONE
DELLA PARABOLA CON L’ASSE DELLE
ASCISSE SE IL ∆=
1 La parabola incontrerà l’asse delle ascisse in due punti distinti; 2 L’unico punto di intersezione è il vertice della parabola e quindi il vertice ha coordinate V=(-b/2a,0); 3 L’unico punto di intersezione è il vertice della parabola e quindi il vertice ha coordinate V=(b/2a,0) 4 La parabola non ha intersezioni con l’asse delle ascisse e si trova al di sopra di questa.
SI CONSIDERI LA COMBINAZIONE
LINEARE: A(1,-1,0,2)+B(0,2,-1,0)=
1 Il sistema di vittori è linearmente indipendente perché gli scalari sono nulli; 2 Il sistema è linearmente indipendente perché gli scalari sono non nulli; 3 Il sistema è linearmente dipendente perché (0,2,-1,0)gli scalari sono non nulli; 4 Il sistema è linearmente dipendente perché gli scalari sono a=1,b=2.
SI CONSIDERI LA CORONA
CIRCOLARE DI CENTRO (0,0) E
RAGGI 1 E 2, CONTENUTA NEL
SEMIPIANO POSITIVO Y≥0. LA
CORONA SI RAPPRESENTA COME
SEGUE:
1 C = {(x,y) ∈ R^2 : y≥0; 1 ≤ x^2 + y^2 ≤2}; 2 C = {(x,y) ∈ R^2 : y ≥ 0; 0 ≤ x^2 +y^2 ≤1} 3 C = {(x,y) ∈ R^2 : 1 ≤ x ≤ 2,1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4} 4 C = {(x,y) ∈ R^2 : y ≥ 0; 1 ≤ x^2 + y^2 ≤4}
SI CONSIDERINO I SOTTOSPAZI DI
R^5 GENERATI DA U=<(1,3,-
W=<(1,3,0,2,1),(1,5,-
6,6,3),(2,5,3,2,1)>. LA DIMENSIONE
DI U E W È:
1 dimU=2, dim W=3 2 dimU=2, dim W=2 3 dimU=1, dim W=4 4 dimU=0, dim W=5 2 SI DICE TRASPOSTA DI UNA MATRICE A=‖A_IJ ‖ DI TIPO M × N 1 La matrice A^T = ‖ a_i'j' ‖ di tipo n×m, ottenuta scambiando le righe di A con le colonne; 2 La matrice A^T = ‖ a_i'j' ‖ di tipo n×m che ha al posto i'j' il reciproco dell’elemento ji di A; 3 Una matrice A^T= ‖a_i'j' ‖ dello stesso tipo che ha al posto i'j' l’opposto dell’elemento ji di A; 4 La matrice A^T = ‖a_i'j' ‖ di tipo m×n che ha al posto i'j' l’opposto dell’elemento ji di A.
SIA F: T ⊂ R^3 → R^3 UN CAMPO
VETTORIALE E S UNA SUPERFICIE
LIMITATA DA T, L’INTEGRALE DI DIV
F SU T MISURA :
1 il flusso totale uscente da T per unità di tempo; 2 il flusso totale uscente da T; 3 il flusso totale uscente da S per unità di tempo; 4 il flusso entrante in T.
SIA F:V → V' UN’APPLICAZIONE
LINEARE, RISULTA:
1 dimV=dimV' 2 dimV=dim imf+dim ker f; 3 dim imf=dimkerf ; 4 dim V = dim imf - dim ker f;
UNA SERIE CONVERGENTE: 1 non è necessariamente assolutamente convergente; 2 è assolutamente convergente; 3 non è assolutamente convergente; 4 non è necessariamente semplicemente convergente.
UNA SUPERFICIE CARTESIANA È: 1 una superficie che giace nel piano cartesiano; 2 una superficie che ha come sostegno il grafico di una funzione f: R^2 → R; 3 una superficie che ha come sostegno il grafico di una funzione f: R^2 → R^2; 4 una superficie che ha come sostegno il grafico di una funzione f: R → R^2;
VALGONO LE SEGUENTI
IMPLICAZIONI:
1 f ∈ C^1 ⇒ f differenziabile ⇒ f ∈ C^0 ⇒ f continua 2 f ∈ C^1 ⇒ f differenziabile ⇔ f ∈ C^0 ⇒ f continua 3 f ∈ C^1 ⇔ f differenziabile ⇔ f ∈ C^0 ⇒ f continua 4 f ∈ C^1 ⇐ f differenziabile ⇐ f ∈ C^0 ⇐ f continua
