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- Nozioni preliminari
Scopo di questo capitolo introduttivo `e quello di fornire un utile strumento per esprimersi con rigore e chiarezza, fissando il linguaggio ed i simboli principali che verranno utilizzati in seguito.
1.1. Insiemi.
Il concetto di insieme e un concetto primitivo, ovvero un concetto per cui non si fornisce alcuna definizione in termini ‘semplici’. Per denotare un insieme utilizzeremo generalmente le lettere maiuscole A, B,... , mentre con le lettere minuscole a, b,... denoteremo i suoi elementi. Un insiemee noto se sono noti i suoi elementi. Per rappresentare un insieme si fa uso di una delle seguenti rappresentazioni:
- Rappresentazione per elencazione o tabulare che consiste nell’elencare tutti i suoi elementi: A = { 2 , 3 , 5 , 7 };
- Rappresentazione per caratteristica data descrivendo le proprieta che caratterizzano univoca- mente gli elementi dell’insieme: A = {n ∈ N : ne primo ∧ n ≤ 10 };
- Rappresentazione mediante diagrammi di Venn ovvero una rappresentazione grafica del tipo: A 2 3 5 7
Scriveremo a ∈ A (o equivalentemente A ∋ a) per indicare che a e un elemento dell’insieme A. Diremo che Ae contenuto in B e scriveremo in tal caso A ⊆ B (equivalentemente B ⊇ A) se ogni elemento di A e anche un elemento di B. Se Ae contenuto in B ma allo stesso tempo B non e contenuto in A diremo che Ae contenuto propriamente in B e scriveremo in tal caso A ⊂ B (B ⊃ A). Due insiemi A e B sono uguali e scriveremo in tal caso A = B se i due insiemi hanno gli stessi elementi. Segue facilmente che A = B se e solo se contemporaneamente si ha che A ⊆ B e A ⊇ B. Useremo infine i simboli ∈/, ̸⊂, ̸⊆, ̸⊃, ̸⊇ per denotare la ‘non appartenenza’, la ‘non inclusione’, e cos`ı via.
Per evitare problemi logici fissiamo un insieme universo U e si suppone che tutti gli elementi di un qualsiasi insieme che prendiamo in considerazione siano elementi di U. Introduciamo inoltre un insieme molto importante, l’insieme vuoto, come l’insieme privo di elementi; denoteremo tale insieme con il simbolo ∅. L’insieme vuoto `e contenuto in ogni insieme.
Dati due insiemi A e B (sottoinsiemi dell’insieme universo U ) possiamo costruire i seguenti insiemi:
- l’insieme unione di A e B:
A ∪ B := {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B};
- l’insieme intersezione di A e B: A ∩ B := {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B};
- l’insieme differenza di A e B:
A \ B := {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B};
- l’insieme differenza simmetrica di A e B:
A △ B := {x ∈ U : (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ A)} = (A \ B) ∪ (B \ A);
- l’insieme complementare di A:
CA := {x ∈ U : x /∈ A}.
Graficamente possiamo visualizzare tali operazioni attraverso i diagrammi di Venn:
A ∪ B U
A B
A ∩ B
U
A B
A \ B
U
A B
B \ A
U
A B
A ∩ B
U
A B
CA
U
A
Due insiemi sono detti disgiunti se A ∩ B = ∅.
Un’altra operazione molto importante tra insiemi e il prodotto cartesiano. Siano A e B due insiemi. Il prodotto cartesiano di A e B, denotato A × B,e definito come l’insieme delle coppie ordinate di elementi, il primo in A ed il secondo in B:
A × B := {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Tale definizione si generalizza in modo naturale al prodotto di un numero arbitrario n di insiemi. Siano A 1 , A 2 ,... , An dati insiemi. Poniamo
A 1 × A 2 × · · · × An := {(a 1 , a 2 ,... , an) : a 1 ∈ A 1 , a 2 ∈ A 2 ,... , an ∈ An}.
RE1 Proprieta riflessiva: (a, a) ∈ R; RE2 Proprieta simmetrica: (a, a′) ∈ R implica (a′, a) ∈ R; RE3 Propriet`a transitiva: (a, a′) ∈ R e (a′, a′′) ∈ R implica (a, a′′) ∈ R.
Se a 0 ∈ A, l’insieme
[a 0 ]R := {a ∈ A : (a 0 , a) ∈ R}
`e detta classe di equivalenza di a 0 rispetto alla relazione di equivalenza R.
Si noti che, in virtu delle proprieta RE1, RE2 e RE3, si ha:
RE1′^ a ∈ [a]R, ∀a ∈ A; RE2′^ se a ∈ [a′]R, allora a′^ ∈ [a]R, ∀a, a′^ ∈ A; RE3′^ se a ∈ [a′]R e a′^ ∈ [a′′]R, allora a ∈ [a′′]R, ∀a, a′, a′′^ ∈ A.
Segue pertanto che, se a, a′^ ∈ A sono tali che a non sia in relazione con a′, allora [a]R ∩ [a′]R = ∅. Inoltre si ha che A `e unione delle classi dei suoi elementi.
Esempio 1.4. Sia R ⊆ Z × Z la relazione definita da:
nRm se e solo se n − m `e un intero pari.
Osserviamo che R e una relazione di equivalenza. Proviamo che essa soddisfa le tre proprieta: riflessiva, simmetrica e transitiva. Siano a tal proposito n, m, l ∈ Z. Si ha:
RE1 n − n = 0 e pari, quindi R soddisfa la proprieta riflessiva. RE2 Se n − m e pari, allora m − n = −(n − m)e anch’esso un intero pari, pertanto anche la proprieta simmetricae soddisfatta. RE3 Supponiamo ora che gli interi n − m e m − l siano entrambi pari. Un semplice calcolo mostra che anche n − l e pari, ovvero: n − l = (n − m) + (m − l). Segue che anche la proprieta transitiva `e soddisfatta.
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Definizione 1.5. Siano A, B insiemi. Un’ applicazione (o funzione) da A in B e una corrispondenza f tra A e B tale che ogni elemento a ∈ A sia corrispondente ad un solo elemento in B. Scriveremo f : A −→ B se fe una funzione da A in B e f (a) = b se a e corrispondente a b tramite f. Se fe una funzione da A in B allora A e detto dominio di f e Be detto codominio di f.
Definizione 1.6. Sia f : A −→ B un’applicazione da A in B. Se C ⊆ A, il sottoinsieme f (C) := {f (c) ∈ B : c ∈ C} di B e l’immagine di C tramite f. L’immagine della funzione f , denotata Im(f ),e l’immagine di tutto il dominio A tramite f , cioe f (A) = Im(f ). Se D ⊆ B, il sottoinsieme f −^1 (D) := {a ∈ A : f (a) ∈ D} di Ae la controimmagine di D tramite f. Se D = {d}, allora scriveremo semplicemente f −^1 (d) al posto di f −^1 ({d}).
Definizione 1.7. Un’applicazione f : A −→ B si dice
(a) iniettiva se, per ogni a, a′^ ∈ A con a ̸= a′, f (a) ̸= f (a′); (b) surgettiva (o suriettiva) se Im(f ) = B; (c) bigettiva (o biiettiva) se sia iniettiva che suriettiva.
Osserviamo che una funzione f : A −→ B e iniettiva se e solo se f (a) = f (a′) implica a = a′, mentree suriettiva se e solo se ogni elemento b ∈ B ha almeno una controimmagine.
Definizione 1.8. Se f : A −→ B e un’applicazione bigettiva, allora per ogni b ∈ B, f −^1 (b)e non vuota e contiene un solo elemento. L’applicazione che associa ad ogni b in B la sua controimmagine f −^1 (b) `e detta applicazione inversa di f e viene denotata con f −^1.
Definizione 1.9. Date due applicazioni f : A −→ B e g : C −→ D tali che Im(f ) ⊆ C allora possiamo costruire un’applicazione g ◦ f : A −→ D definita da g ◦ f (a) := g(f (a)). Questa applicazione si dice applicazione composta di f e g.
Chiudiamo questo primo capitolo fornendo alcuni esempi fondamentali di applicazioni.
Esempio 1.10. Sia A un insieme non vuoto. L’applicazione idA : A −→ A definita da idA(a) = a, ∀a ∈ A e detta applicazione identica di A. Essae sia iniettiva che suriettiva. Inoltre se f : B −→ A e g : A −→ C sono arbitrarie applicazioni, si ha idA ◦ f = f e g ◦ idA = g.
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Esempio 1.11. Siano A, B insiemi non vuoti e sia b ∈ B. Definiamo un’applicazione cb : A −→ B ponendo cb(a) = b, ∀a ∈ A. Essa e detta applicazione costante definita su A con valore b. Essae iniettiva se e solo se |A| = 1 e suriettiva se e solo se B = {b}.
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Esempio 1.12. Siano A un insieme non vuoto. Un’operazione binaria su A `e un’applicazione ∗ : A^2 −→ A. In tal caso spesso si scrive a ∗ a′^ al posto di ∗(a, a′). Esempi di tali operazioni sono l’addizione o la moltiplicazione in N, la composizione di funzioni, eccetera.
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