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- Numeri complessi
Introduciamo in questa sezione un nuovo insieme numerico, ovvero l’insieme dei numeri complessi C e ne studiamo le varie rappresentazioni e propriet`a.
Come per altri insiemi numerici la sua definizione nasce dall’esigenza di risolvere in un certo insieme un determinato problema, in particolare quello di risolvere equazioni di secondo grado a coefficienti reali il cui discriminante e negativo. Tale problemae collegato all’estrazione della radice quadrata di numeri negativi. Vedremo in seguito che l’insieme dei numeri complessi C permetter`a di dare una risposta a questo problema. Esso inoltre possiede una struttura intrinseca che lo rende estremamente utile nelle applicazioni in fisica, chimica e in altre discipline.
2.1. Definizione di numero complesso e sue rappresentazioni.
Nel corso dello studio della matematica svolto durante le scuole superiori l’insieme numerico di riferimento `e l’insieme dei numeri reali R. Tale insieme contiene numeri come 0, 1, 13 , 1.412,
2, π, e, eccetera. Definiamo ora un numero, che denotiamo con la lettera i, attraverso la relazione i^2 = −1.
Definiamo quindi un’intera classe di numeri, i numeri immaginari puri, che sono definiti come i multipli della cosiddetta unita immaginaria i. Otteniamo cosı numeri del tipo 2i, − 32 i, 3
5 i e cos`ı via.
Questo pone naturalmente la seguente questione: cosa otteniamo se sommiamo un numero reale ad un numero immaginario puro? La risposta e proprio cio che chiameremo un numero complesso. Introduciamo quindi il seguente insieme:
(1) C := {z = a + bi : a, b ∈ R}.
Se z = a + bi e un numero complesso, il numero ae detto parte reale di z, mentre il numero b `e la parte immaginaria di z. Scriveremo a = Re(z) e b = Im(z).
Definiamo ora su C due operazioni, l’operazione di addizione e l’operazione di moltiplicazione. Siano z = a+bi e z′^ = a′^ + b′i due numeri complessi. Definiamo la somma di z e z′^ il numero complesso:
(2) z + z′^ = (a + a′) + (b + b′)i
ovvero il numero complesso la cui parte reale e la somma delle parti reali di z e z′^ e la parte immaginariae la somma delle parti immaginarie di z e z′.
Il prodotto di z e z′^ `e il numero complesso:
(3) zz′^ = (aa′^ − bb′) + (ab′^ + a′b)i.
Le operazioni di addizione e moltiplicazione in C godono delle seguenti propriet`a. Siano z, z′, z′′^ arbitrari numeri complessi. Allora:
- Propriet`a commutativa dell’addizione: z + z′^ = z′^ + z;
- Propriet`a associativa dell’addizione: (z + z′) + z′′^ = z + (z′^ + z′′);
- Esistenza dell’elemento neutro per l’addizione: il numero complesso 0 = 0 + 0i `e tale che z + 0 = z;
- Esistenza dell’opposto: esiste un numero −z ∈ C tale che z + (−z) = 0;
- Propriet`a commutativa della moltiplicazione: zz′^ = z′z;
- Propriet`a associativa della moltiplicazione: (zz′)z′′^ = z(z′z′′);
- Esistenza dell’elemento neutro per la moltiplicazione: il numero complesso 1 = 1 + 0i `e tale che z1 = z;
- Esistenza dell’inverso moltiplicativo: se z ̸= 0 esiste un numero z−^1 ∈ C tale che zz−^1 = 1;
- Propriet`a distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione: (z + z′)z′′^ = zz′′^ + z′z′′.
Guardiamo con particolare attenzione alla propriet`a di esistenza dell’inverso moltiplicativo. Sia z = a + bi un numero complesso diverso da 0. Dobbiamo descrivere il numero z−^1 trovandone la parte reale e la parte immaginaria. Per far questo scriviamo:
z−^1 = 1 a + bi
a + bi
a − bi a − bi = a^ −^ bi a^2 + b^2 = a a^2 + b^2
Il numero z := a − bi `e detto complesso coniugato di z.
L’insieme dei numeri complessi, in virtu della loro definizione si identifica naturalmente con l’insieme delle coppie di numeri reali. Possiamo quindi rappresentare i numeri complessi in un sistema di riferimento cartesiano, detto piano complesso o piano di Argand-Gauss. L’asse delle ascisse del piano complessoe detto asse reale, mentre l’asse delle ordinate `e detto asse immaginario.
Re
Im
1 2
i z^ = 2 +^ i^ Rappresentazione del numero complesso z = 2 + i nel piano complesso.
Lo zero in C `e individuato nel piano complesso dal punto di coordinate (0, 0). Due numeri complessi, l’uno complesso coniugato dell’altro, corrispondono a punti simmetrici rispetto all’asse reale.
Re
Im
1 2
i
−i
z = 2 + i
z = 2 − i
Rappresentazione del numero complesso z = 2 + i e del suo coniugato z = 2 − i nel piano complesso.
Quando sommiamo due numeri complessi sommiamo separatamente la parte reale e la parte immaginaria. Il punto corrispondente alla somma z + z′^ dei due numeri z e z′^ avra pertanto coordinate pari alle somme delle rispettive coordinate dei due punti relativi a z e z′. Possiamo visualizzarlo graficamente nel piano di Argand-Gauss interpretando un numero complesso come il vettore applicato all’origine degli assi che termina nel punto corrispettivo a z. La somma puo quindi essere data attraverso la regola del parallelogramma:
θ = Arg(z) = 23 π r = |z| = 2
Re
Im
− 1
√ z = −1 + (^3) i √ 3 i Rappresentazione di un numero complesso nel piano complesso con evidenziazione delle rispet- tive coordinate polari.
Se z = a + bi, allora r = |z| =
a^2 + b^2 e da semplici considerazioni di trigonometria a = r cos(θ) e b = r sen(θ). Il numero complesso z si pu`o quindi scrivere nel seguente modo:
(6) z = r(cos(θ) + i sen(θ)).
La (6) `e nota come rappresentazione trigonometrica di z.
Esempio 2.1. Siano z 1 = −i, z 2 = 1 − i e z 3 = − 2
3 − 2 i. Calcoliamo modulo e argomento dei tre numeri complessi. I moduli valgono
r 1 := |z 1 | =
p 02 + (−1)^2 = 1, r 2 := |z 2 | =
p 12 + (−1)^2 =
2 e r 3 := |z 3 | =
q (− 2
3)^2 + (−2)^2 = 4.
mentre gli argomenti θ 1 := Arg(z 1 ), θ 1 := Arg(z 1 ) e θ 1 := Arg(z 1 ) sono soluzioni dei seguenti sistemi ( cos(θ 1 ) = 0 sen(θ 1 ) = − 1
cos(θ 1 ) = √^12 sen(θ 1 ) = − √^12 e
cos(θ 1 ) = −
√ 3 2 sen(θ 1 ) = − (^12)
da cui segue θ 1 = 32 π, θ 2 = − π 4 e θ 3 = π + π 6 = 76 π, angoli dati a meno di un angolo pari a 2kπ dove k `e un intero. Rappresentiamo questi angoli nel piano complesso:
Re
Im
z 1 = −i z 2 = 1^ −^ i
z 3 = − 2 √ 3 − 2
θ 1 = 32 π θ 2 = 74 π θ 3 = 76 π
r 1 = 1 r 2 = √ 2 r 3 = 4 Rappresentazione nel piano com- plesso dei tre numeri complessi z 1 , z 2 , z 3.
2.2. Potenze e radici di numeri complessi.
La forma trigonometrica permette di calcolare pi`u agevolmente il prodotto di numeri complessi e di com- prenderne il significato geometrico. A tal scopo siano z = r(cos(θ) + i sen(θ)) e z′^ = r′(cos(θ′) + i sen(θ′)).
Il prodotto di z e z′^ vale:
zz′^ = (r(cos(θ) + i sen(θ)))(r′(cos(θ′) + i sen(θ′))) = = rr′(cos(θ) cos(θ′) − sen(θ) sen(θ′) + i(sen(θ) cos(θ′) + cos(θ) sen(θ′))) = = rr′(cos(θ + θ′) + i sen(θ + θ′)).
Pertanto il modulo del prodotto e uguale al prodotto dei moduli e l’argomento del prodottoe uguale alla somma degli argomenti.
Re
Im
z = 1 + i
z′^ = −1 + √ 3 i
z z′^ = (− 1 − √3) + (√ 3 − 1)i
θ = π 4 θ′^ = 23 π θ + θ′^ = 1112 π
r = √ 2 r′^ = 2 r r′^ = 2√ (^2) Rappresentazione nel piano complesso del prodotto dei nu- meri complessi z e z′, con par- ticolare riguardo alle coordinate polari.
Introduciamo ora la seguente importantissima formula, nota come formula di Eulero:
(7) eiθ^ = cos(θ) + i sen(θ).
Tale formula permette di scrivere un numero complesso z nella cosiddetta forma esponenziale:
(8) z = r eiθ^.
Si noti che in tale rappresentazione il modulo e univocamente determinato mentre l’argomentoe dato a meno di un multiplo intero dell’angolo 2π radianti, cio`e:
r eiθ^ = r′^ eiθ ′ se e solo se r = r′^ e θ = θ′^ + 2kπ, per qualche k ∈ Z.
Inoltre, dalla formula di Eulero si ottiene
e−iθ^ = cos(θ) − i sen(θ), ∀θ ∈ R.
Quindi si provano anche le identit`a, valide per ogni valore di θ:
cos θ = e
iθ (^) + e−iθ 2 e
sen θ = eiθ^ − e−iθ 2 i
Nota 2.2. Se θ = π, allora vale: eiπ^ = − 1 ,
cio`e: eiπ^ + 1 = 0.
La formula di Eulero (7) e giustificata dall’esigenza di definire l’esponenziale di un numero complesso in modo che la stessa funzione soddisfi le proprieta classiche delle potenze.
Utilizzando una di queste propriet`a osserviamo che, se z = r eiθ^ e z′^ = r′^ eiθ ′ sono due numeri complessi, allora: z z′^ = (r eiθ^ ) (r′^ eiθ ′ ) = r r′^ eiθ+iθ ′ = r r′^ ei(θ+θ ′) .
Il coniugato e l’inverso di un numero complesso e il rapporto tra numeri complessi, in tale rappresentazione, diventano, se z = r eiθ^ e z′^ = r′^ eiθ ′ sono due numeri complessi diversi da zero, z = r ei(−θ)
Nel piano complesse queste radici corrispondono a vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza centrata in 0 e di raggio pari a n
r.
Esempio 2.4. Calcoliamo le radici quarte del numero z = 2 − 2 i. Per far questo scriviamo z nella sua rappresentazione esponenziale. Si trova facilmente che z = 2
2 ei(−^ π^4 ). Utilizzando la formula (9) si trovano le radici:
xk = 4
q 2
2 e i
(^) − π 44 +^2 kπ 4
, con k = 0, 1 ,... , 3 ,
cio`e xk = 8
8 ei(−^ 16 π +^ k 2 π) , con k = 0, 1 ,... , 3.
Le radici sono pertanto: x 0 = 8
8 ei(−^ 16 π ) ; x 1 = 8
8 ei(^ 167 π) ; x 2 = 8
8 ei(^ (^1516) π) ; x 3 = 8
8 ei(^ (^2316) π) . Rappresentiamo tali numeri nel piano complesso:
Re
Im
x 0
x 1 x 2
x 3
r = √^88
Rappresentazione le radici quarte del numero z = 2 − 2 i nel piano complesso.
