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Studio di funzione
- Dominio = insieme di definizione
Radici pari
Logaritmi>
f(x)
g(x)
, f(x)>
- Intersezione assi
- Segno
- C omportamento agli estrem i
-al finito : quello che trovo al denominatore (se mi dà
l finito, abbiamo discontinuità eliminabile)
- all’infinito : dal dominio capisci se fare + ∞/−∞; se risultato mi dà ± ∞ potrebbe esserci l’obliquo
- asintoto obliqui : possono essere anche 2 diversi o uguali; f(x) potrebbe intersecare l’as.obliquo per
vederlo mettili a sistema
- Derivata prima crescenz a
-calcolo f’(x)
-dominio f’(x)
-f’(x)=0 (trovo punti stazionari)
-segno derivata prima. In questo modo ho:
- Massimi relativi _____x 0
_____
____
- Flesso a tangente orizzontale ascendente ____x 0
_____
- Flesso a tangente orizzontale discendente _____x 0
_____
-dove f’(x) non esiste abbiamo:
lim
x→ x
0
+¿ f '( x)≠ lim
x →x
0
−¿ f ' (x)
¿¿ ¿
- flessi a tangente verticale : se
lim
x→ x
0
+¿ f '( x)= lim
x→ x 0
−¿ f ' (x)=± ∞
¿¿¿
lim
x→ x
0
+¿ f ' ( x)≠ lim
x →x 0
−¿ f ' (x)=±
∞ ¿ ¿
- Derivata seconda e concavità/convessità
-calcolo f’’(x)
-faccio dominio f’’(x)
-f’’(x)=0 possibili flessi
-f’’(x)>0: convessa (verso l’alto) / f’’(x)<0: concava (verso il basso)
_____x 0
______ flesso ascendente
f’’(x)<0 f’’(x)>
_____x 0
_____ flesso discendente
f’’(x)>0 f’’(x)<
dove non cambia di segno non ho flesso
Per il numero(n) elevato a infinito:
-se n>1 allora: n
ed n
−∞
+¿¿
-se 0<n<1 allora: n
+¿ ¿
ed n
−∞
-se n=1 il risultato è sempre 1
Per n diviso 0:
-se n>0 allora: n/
= +∞ e n/
-se n<0 allora: n/
e n/
REGOLE DI DERIVAZIONE
1. D[
a f ( x ) ] = aD[f(x)] = af’(x)
2. D[
x
α
] =
α x
α− 1
2 bis. D[ f ( x)
α
] =
α f ( x )
α− 1
f’(x)
3.D[a
x
] = a
x
ln(a) · D[x] 3. bis D[a
f(x)
] = a
f(x)
ln(a) f’(x)
4.D[
log
a
x
] =
x ln a
4 bis. D[
log
a
f ( x ) ]=
f
'
x
f ( x )
- D [ f ( x ) ± g ( x ) ]=f
'
( x ) ± g
'
( x ) 6. D [ f ( x ) ∙ g ( x ) ]=f
'
( x ) ∙ g ( x )+f ( x ) ∙ g
'
( x )
•Sarrus: quello con le diagonali (applicabile solo su 3x3)
•La Place: si sceglie una riga e una colonna e si calcola il detA eliminando la riga e facendo la somma di ogni
elemento della riga x detA della matrice risultante dall’eliminazione di riga e colonna;
•Matrice trasposta (A
T
)= matrice con righe e colonne scambiate
•detA = detA
T
•DETERMINANTE DI UNA MATRICE CONTENENTE UNA O Più RIGHE/COLONNE AVENTI SOLO ELEMENTI
NULLI è NULLO
•Il detA è nullo se ci sono righe o colonne combinazione lineare di altre
CARATTERISTICA MATRICE : Ordine massimo di minore non nullo estraibile da data matrice;
Essa coincide numericamente col rango dei vettori ma non sono la stessa cosa.
•Minore principale (
): minore dal quale si deduce la caratteristica; è fondamentale per le soluzioni
MASSIMO N° DI MINORI DI ORDINE K ESTRABILI DALLA MATR ICE: Calcolo combinatorio
m
k
×
n
k
m!
k! (m−k )!
×
n!
k !(n−k )!
TEOREMA ROUCHE-CAPELLI : Condizione necessaria e sufficiente x sistema compatibile: pA=pA｜b ;
Giustificazione teorica : se pA=k allora in A ci sono k vettori colonna linearmente indipendenti e n-k vettori
colonna che dipendono da essi, se aggiungendo la colonna dei termini noti nulla cambia, quindi pA｜b=k,
allora b dipende sicuramente dai k vettori linearmente indipendenti di A.
Il sistema è sicuramente compatibile quando:
-sistema normale pA = m = n° righe (equazioni)
-sistema omogeneo: b= 0 (cioè i termini noti valgono zero)
TEOREMA ROUCHE CAPELLI:
- p = n = sistema determinato (una sola soluzione)
- p < n = sistema indeterminato (infinite soluzioni; in particolare ∞
n− p
soluzioni); In questo caso sposto tra i
termini noti le incognite i cui coefficienti sono in colonne linearmente dipendenti dalle altre (quelli rimaste
fuori dal
) ed attribuisco ad esse valori arbitrari (
α , β , γ ..)
Dopo si procede:
- p = m = NO equazioni eliminabili
- p > m = m-p eq. ELIMINABILI linearmente dip. dalle altre (sono quelle non incluse in ∆)
REGOLA DI CRAMER :
xi=
∆ xi
con ∆xi che si ottiene sostituendo alla colonna xi la colonna dei termini noti
INTERVALLO : Insieme di numeri reali compresi tra due numeri reali dati (estremo inferiore e superiore).
•Illimitato: almeno uno degli estremi è infinito; questi sono limitati a sinistra ma illimitati a destra o
viceversa;
•Limitato: entrambi gli estremi sono finiti; questi sono chiusi [a,b]; aperti (a,b); chiusi da sinistra [a,b) o
viceversa;
INTORNO SIMMETRICO DI SEMIAMPIEZZA δ di Xo : intervallo limitato e aperto (Xo-δ, Xo+δ).
In pratica per intorno di un numero si intende un numero vicinissimo a esso.
-sinistro: numeri vicinissimi ma più piccoli
-destro: numeri vicinissimi ma più grandi
FUNZIONE REALE IN UNA SOLA VARIABILE REALE : Regola che associa a ogni numero reale di un dato
intervallo un ben preciso numero reale di un altro intervallo.
DOMINIO DELLA FUNZIONE : Campo di definizione della funzione
CODOMINIO DELLA FUNZIONE f(D): Insieme dei valori della y risultati dal calcolo di f(x) ∀ x ∈ D
Retta: f(x)= mx + n dove m = coefficiente angolare ed n=ordinata all’origine.
-m > 0 si inclina positivamente
-m < 0 si inclina negativamente
-m=0 retta orizzontale
- m2=m1 rette parallele
- m1 x m2= -1 rette perpendicolari
- m =
y 2 − y 1
x 2 −x 1
FUNZIONE INIETTIVA : una funzione si dice iniettiva se a diverse x dell’intervallo corrispondono sempre
diverse y
FUNZIONE SURIETTIVA : se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio
FUNZIONE BIETTIVA: suriettiva e iniettiva, dominio e codominio sono in corrispondenza biunivoca tra loro.
F(X) MONOTONA CRESCENTE : Se al crescere della X cresce anche la Y e viceversa cioè X e Y subiscono
variazioni di segno concorde. ( ⇒ rapporto incrementale positivo)
F(X) MONOTONA DECRESCENTE : Al crescere della X la Y decresce e viceversa, quindi, X e Y subiscono
variazioni di segno discorde. ( ⇒ rapporto incrementale negativo)
MINIMO RELATIVO : Xo si dice minimo relativo se nell’intorno di Xo prima la funzione decresce poi cresce
MASSIMO RELATIVO : Viceversa al contrario
FUNZIONE PARI : f(-x) = f(x)
FUNZIONE DISPARI : f(-x) = -f(x)
In questi casi il dominio sarà simmetrico rispetto l’origine degli assi
FUNZIONE CONVESSA : concavità verso l’alto, comunque presi due punti della funzione e tracciata la retta
secante la funzione in corrispondenza di detti punti, per qualsiasi altra X compresa tra i due punti il grafico
si trova sotto la retta;
FUNZIONE CONCAVA : concavità verso il basso, vale il contrario;
FLESSO: se in corrispondenza del punto avviene un cambio di concavità;
-ascendente se da concava diventa convessa
-discendente se da convessa diventa concava
! Crescenza/decrescenza e concavità/Convessità sono concetti tra loro svincolati
LIMITI :
lim
x ⟶ x 0
±
f ( x)
- l = la funzione converge a l al finito
- 0 = la funzione è infinitesima al finito (converge a zero)
- ± ∞ = la funzione diverge positivamente/negativamente al finito (funzione infinita)
lim
x→ ±∞
f (x )
l
±
la funzione converge a l dall’alto/basso all’infinito
- 0 la funzione è infinitesima all’infinito (converge a zero)
- ± ∞ la funzione diverge positivamente/negativamente all’infinito (funzione infinita all’infinito)
SEGNO INTEGRALE DEFINITO :
-se la funzione è positiva nell’intervallo di integrazione e l’estremo inferiore è più piccolo di quello
superiore = integrale positivo
-se la funzione è positiva ma si integra nel senso opposto, l’integrale è negativo.
-se la funzione è negativa nell’intervallo di integrazione e si integra dal valore più piccolo a quello più
grande, l’integrale sarà negativo.
-se la funzione è negativa nell’intervallo di integrazione e si integra nel senso opposto, l’integrale è
positivo.
-non si può dire nulla sul segno dell’integrale se la funzione cambia segno nell’intervallo di integrazione.
PROPRIETà INTEGRALE DEFINITO :
∫
a
a
f ( x ) dx= 0 2.
∫
a
b
f ( x ) dx=−
∫
b
a
f ( x ) dx
∫
a
b
αf ( x )+ βg( x) dx=α ∫
a
b
f (x)dx+ β ∫
a
b
g( x )dx 4. ∫
a
b
f ( x )dx= ∫
a
c
f ( x )+ ∫
c
b
f ( x ) c anche esterno
TEOREMA TORRICELLI BARROW: Data f(x) integrabile in [a,b], la sua funzione integrale con un punto
iniziale in a, I
a
(x)=
∫
a
x
f (t )dt, è continua e derivabile in (a,b) e la sua derivata prima è pari alla funzione
integranda calcolata nell’estremo superiore di integrazione.
