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Matematica
Intervalli: sono sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali ottenuti prendendo tutti i numeri reali
compresi tra due numeri reali dati (chiamati estremi dell’intervallo).
Possono essere:
- Limitati - > quando entrambi gli estremi sono finiti
- Illimitati - > quando uno o due estremi sono infiniti
Gli intervalli limitati possono essere:
- Chiusi [ ] - > se entrambi gli estremi finiti sono inclusi nell’intervallo.
- Aperti ( ) - > se entrambi gli estremi dell’intervallo vengono esclusi dall’intervallo.
Gli intervalli illimitati possono essere:
- Illimitati a sinistra e limitati a destra - > e a sua volta l’estremo finito può essere incluso o
non.
- Limitati a sinistra e illimitati a destra - > e a sua volta l’estremo finito può essere incluso o
non.
- Illimitato sia a destra che a sinistra
Intorno simmetrico di semi ampiezza delta del punto x0 è un intervallo limitato aperto avente
come estremi x0 – delta e x0 + delta.
Esempio: x0= 5 x0 – delta = 3 x0 + delta = 7 quindi tutti i punti compresi tra 3 e 7 costituiscono
un intorno simmetrico di semi ampiezza 2 del punto 5.
Vettori a n. componenti: n-pla ordinata di numeri reali
n-pla - > insieme formato da n. elementi (insieme finito) composto da un numero finito di numeri
reali.
Ordinata - > non contano solo gli elementi che compongono il gruppo, ma anche la loro posizione.
- un vettore potrà essere composto da uno stesso numero ripetuto più volte.
- Due vettori sono considerati diversi se pur contenendo lo stesso n. di elementi e gli stessi
elementi, li contengono in ordine diverso.
Spazio vettoriale di dimensione n. (si indica con Sn) = l’insieme di tutti i vettori aventi lo
stesso n. di componenti.
Scalare: è un singolo numero reale nell’ambito dell’algebra vettoriale.
due vettori sono uguali quando contemporaneamente:
- Hanno lo stesso numero di componenti e appartenente allo stesso spazio vettoriale
- Contengono gli stessi elementi
- Gli elementi che occupano la stessa posizione
Operazioni tra vettori:
- Somma di 2 vettori (è anche il nome del risultato)
Premessa = i vettori coinvolti nell’operazione devono avere lo stesso numero di
componenti, cioè appartenenti allo stesso spazio vettoriale.
Si definisce somma dei due vettori l’operazione che ha come risultato un nuovo vettore
appartenente allo stesso spazio vettoriale dei vettori addendi le cui componenti sono date
dalla somma delle componenti che occupano la stessa posizione.
- Prodotto di uno scalare per un vettore (è anche il nome del risultato)
Dato uno scalare (alfa) e un vettore a appartenente allo stesso spazio vettoriale, si
definisce prodotto di uno scalare per il vettore a l’operazione che ha come risultato un
nuovo vettore sempre appartenente al medesimo spazio vettoriale del vettore a le cui
componenti si ottengono eseguendo il prodotto dello scalare per ciascun elemento del
vettore a.
Legame di proporzionalità: quando si ottiene un nuovo vettore moltiplicandoo la costante
per un vettore.
- Combinazione lineare dei vettori
Dati n. vettori appartenenti allo stesso spazio vettoriale e dati n. scalari appartenente ad R,
si definisce combinazione lineare dei vettori l’operazione che da come risultato un nuovo
vettore sempre appartenente a Sn e ottenuto eseguendo da prima le operazioni di
prodotto di uno scalare per il corrispondente vettore e poi sommando i nuovi vettori
ottenuti.
La combinazione lineare incorpora al suo interno il prodotto di uno scalare per un vettore
(basta porre uno scalare diverso da zero e prendere tutti gli altri nulli) e la somma dei
vettori.
Dati n. vettori appartenenti a Sn e dato un ulteriore vettore b appartenente allo stesso
spazio vettoriale, si dice che b dipende linearmente dai n. vettori se è esprimibile come
combinazione lineare di essi.
Cioè se sono in grado di trovare degli scalari tali che eseguendo una combinazione lineare
dei vettori mediante i scalari ottengo b.
- Dati n. vettori appartenenti ad Sn, essi sono linearmente dipendenti tra di loro se almeno
uno di essi dipende linearmente dagli altri.
la condizione necessaria e sufficiente affinchè n. vettori siano linearmente dipendenti tra
loro è che esista una loro combinazione lineare che da come risultato il vettore nullo (=0).
Condizione sufficiente - > Se esiste una combinazione lineare dei n. vettori dati che da come
risultato il vettore nullo, allora almeno 1 vettore è combinazione lineare degli altri e quindi
dipende linearmente da essi e di conseguenza gli n. vettori sono linearmente dipendenti
tra loro.
Condizione necessaria - > viceversa se gli n. vettori sono linearmente dipendenti tra di loro,
allora esiste sicuramente una loro combinazione lineare che ha come risultato un vettore
nullo.
Tenendo conto del fatto che se attribuisco valore nullo a tutti i coefficienti della
combinazione lineare ottengo sicuramente il vettore nullo come risultato (si verifica solo la
condizione necessaria).
Data una matrice A(mxn) e dato un suo generico elemento aij, si definisce minore
complementare di aij e si indica con Aij, il determinante della matrice ottenuto da A
eliminando la i-esima riga e j-esima colonna cui appartiene l’elemento preso in
considerazione.
Le proprietà del determinante:
1. Il determinante di una matrice e quello della sua trasposta coincidono 2. Il determinante si annulla se e solo se si verifica una delle seguenti circostanze:
- La matrice contiene almeno una riga/colonna di elementi nulli
- La matrice contiene righe/colonne fra loro uguali o proporzionali (es. multipli)
- La matrice contiene righe/colonne combinazione lineare di altre
*se il determinante è =0 i vettori che compongono la matrice sono linearmente dipendenti
tra loro*
Per il teorema fondamentale dell’algebra lineare , dati dei vettori a1, a2, a3 appartenenti a
S3, se ne viene aggiunto un ulteriore allora il vettore a4 dipende linearmente da a1, a2, a
per tanto i 4 vettori ( a1, a2, a3, a4 ) sono linearmente dipendenti tra loro.
Ma il rango dell’insieme dei 4 vettori ( a1, a2, a3, a4 ) è 3
Data A (mxn) è sempre possibile estrarre da essa matrici quadrate dalle quali calcolare il
determinante.
Il minore di ordine k è il determinante di ogni matrice quadrata di ordine k ottenuta da A
prendendo le sue righe e colonne.
In tutti i casi, il massimo ordine di minore estraibile da A (mxn) è il numero minore tra le
righe e le colonne.
In generale, il minimo ordine di minore estraibile è 1.
1 ≤ k ≤ min. (m,n)
Si definisce caratteristica di una matrice, il massimo ordine di minore non nullo estraibile.
Si indica con Pa = r (A)
In linea generale - > 0 ≤ pA ≤ min. (m,n) dove però pA è 0 se e solo se tutti gli elementi della
matrice sono nulli.
La caratteristica di una matrice fornisce il rango dell’insieme dei vettori riepilogati lungo le
righe o lungo le colonne della matrice stessa.
Di conseguenza se pA = k, significa che:
- Nella matrice ci sono k vettori riga linearmente indipendenti tra loro e i rimanenti vettori
riga sono dipendenti dai precedenti.
- Analogo discorso per i vettori colonna - > k vettori sono indipendenti e i rimanenti sono
dipendenti dai precedenti.
Il minore non nullo dal quale derivo la caratteristica è chiamato minore principale e si
indica con delta.
Per calcolare la caratteristica procedo come segue:
- Estraggo inizialmente i minor di ordine massimo fino a trovarne uno diverso da 0
- Se lo trovo allora dirò che la caratteristica è pari a quell’ordine di minore
- Se non ne trovo nessuno diverso da 0 allora estraggo minori di ordine
immediatamente inferiore e ripeto le considerazioni precedente.
- Data una matrice, quanti sono i minori di ordine estraibili da essa? Tutti i modi in cui è
possibile formare dei gruppi di k righe con le righe disponibili (
) - > combinazioni
semplici di m righe di classe k
Abbinata a
- Tutti i modi in cui dalle n. colonne ne riesco a selezionare gruppi di k (
) - > combinazione
di n colonne di classe k
L’operazione che ci consente di trovare quanti minori di ordine k ci sono:
𝑚!
𝑘!
( 𝑚−𝑘
) !
Moltiplicata con
𝑛!
𝑘!
( 𝑛−𝑘
) !
Come si stabilisce il rango dei vettori dati? Il rango è uguale alla caratteristica pA.
Sistemi di equazioni lineari, quante soluzioni ammette un sistema?
Risolvere un sistema equivale a risolvere un problema di dipendenza del vettore dei termini noti
dai vettori dei coefficienti.
Bisogna porsi delle domande:
- il vettore dei termini noti dipende linearmente dai coefficienti? Il sistema è risolvibile?
Problema di esistenza
- se il sistema risulta risolvibile (si dice anche compatibile), in quanti modi il vettore b è
esprimibile come combinazione lineare di a1, a2, an? Quante sono le soluzioni? Per
soluzioni si intende una n-pla x1, x2, xn. Problema di unicità
A tutte queste domande mi risponde il teorema rouchè – capelli
- condizione necessaria e sufficiente affinchè un sistema di m. equazioni lineari in n. incognite
sia risolvibile è che la caratteristica della matrice incompleta coincida con la caratteristica
della matrice completa.
In sostanza Pa = Pa/b
- Pa ≠ Pa/b - > il sistema non è risolvibile quindi non ammette soluzione , è
incompatibile.
- Pa = Pa/b - > il sistema ammette soluzioni, è risolvibile e incompatibile.
STUDIO DELLE FUNZIONI
Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti del piano (sul quale sia stato
definito un sistema di riferimento cartesiano ortogonale) e l’insieme delle coppie ordinate di
numeri reali.
- È un sistema non necessariamente monometrico - > è possibile che ci siano 2 unità di misure
diverse sull’asse delle x e delle y.
Funzione reale di una sola variabile reale - > una legge/regola che associa ad ogni numero
reale x appartenente A un ben preciso numero reale y appartenente B
F : A - > B con A,B sottoinsieme dei numeri reali.
In altre parole si tratta di una operazione, un calcolo, una espressione contenente la x che da
come risultato un ben preciso y
In forma esplicita - > y=f(x) dove y è la variabile dipendente e x quella indipendente
A è l’insieme di tutti i valori delle x per i quali l’operazione espressa da f è algebricamente
possibile e produca come risultato un solo valore y.
- A è chiamato dominio della funzione/ campo di esistenza
- F (A) è chiamato immagine di A in B o codominio della funzione. È l’insieme dei valori delle
y che si ottengono come risultato dall’operazione f svolta su tutte le x appartenenti al
Dominio.
- Se f (A) = B allora la funzione f si dice SURIETTIVA. Quindi f : A su (->) B.
Data una funzione f : A - >(su) B, è una funzione suriettiva quando tutti gli elementi di B
sono collegati agli elementi di A.
È possibile che più elementi di A siano collegati ad un elemento di B.
In altri termini è suriettiva se l’immagine della funzione f coincide con il codominio.
- Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte,
quindi associa ad elementi distinti del dominio elementi distinti del codominio.
Cioè ogni elemento di A punta ad un unico elemento di B. però è possibile che non tutti gli
elementi di B sia raggiunti.
Se la funzione è iniettiva sono sempre in grado di risalire da un qualsiasi y appartenente
f(A) all’ x appartenente ad A cui è associato. In altri termini ad ogni numero reale y
appartenente f (A) sono in grado di associare un ben preciso x appartenente ad A che lo ha
generato come risultato.
- Una funzione è biiettiva quando è sia suriettiva che iniettiva, quindi si dice invertibile.
cioè sarò sempre in grado di trovare una nuova funzione (funzione inversa 𝑓
− 1
) che mi
permette di associare ad ogni y appartenente a f(A) un ben preciso x appartenente ad A cui
è associato.
- L’inversione consiste nell’isolare algebricamente la x determinandone il valore
considerando noti i valori della y.
Ricapitolando:
- Quando tutti gli elementi di A sono collegati a B, può succedere che a diversi valori della x
corrisponda uno stesso valore della y: funzione suriettiva.
- Gli elementi di B possono non essere tutti collegati ad A, ma è sicuro che a diversi valori
della x corrispondano sempre diversi valori della y: funzione iniettiva)
- Quando è sia suriettiva che iniettiva allora si dice inversa.
- Non può succedere mai che ad uno stesso valore assegnato ad x corrispondano diversi
valori y, altrimenti non è una funzione vera e propria.
Funzione monotona crescente in un determinato intervallo, se a valori minori di x
corrispondono valori minori di y oppure a valori maggiori di x corrispondono valori
maggiori di y. Ciò si verifica per qualsiasi coppia di valori di x appartenenti all’intervallo
Funzione monotona decrescente in un determinato intervallo, se a valori minori di x
corrispondono valori maggiori di y oppure a valori maggiori di x corrispondono valori
minori di y. Questo succede per qualsiasi coppia di valori di x scelti nell’intervallo.
Si dice grafico di una funzione l’insieme di tutti gli infiniti punti del piano aventi come
ascissa un numero reale del dominio e come ordinata il corrispondente numero reale del
codominio
L’obiettivo dello studio di una funzione è quello di acquisire in formazioni sulla funzione
che consentano di disegnare il grafico.
alcune considerazioni:
a) Il grafico di una funzione può incontrare una retta verticale in al massimo un punto,
ma non la incontra mai se è esclusa dal dominio.
b) Per trovare l’intersezione con l’asse delle y imponi l’annullamento della x, viceversa
per trovare l’intersezione con l’asse delle x imponi l’annullamento della y.
c) Il grafico di una funzione può incontrare una retta orizzontale anche in più punti,
ma è possibile che non la incontra mai se la retta orizzontale passa per un valore
della y non appartenente al codominio.
d) Il grafico di una funzione si trova al di sopra dell’asse delle x (quindi è positiva) in
corrispondenza di quei valori della x cui è associato un valore della y positivo.
Analogamente il grafico si trova al di sotto dell’asse delle x in corrispondenza di quei
valori della x cui è associata un’ordinata negativa
Procedimento studio di una funzione:
1. qual è il suo dominio? → Quali sono i valori delle x per i quali il calcolo espresso di f
è eseguibile algebricamente e produce un ben preciso risultato.
- Vedi le intersezioni con gli assi
- Studia il segno della funzione ponendola > 0
- Calcolo dei limiti
- Studio crescenza e decrescenza della funzione
- Concavità e convessità
lim
𝑥→𝑥𝑜
±
𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑥𝑜) x0 è il valore assunto dalla funzione in x0
- Se esiste ed è finito sia il limite destro che sinistro → lim
𝑥→𝑥 0 ±
- I due limiti devono essere uguali tra loro → 𝑙 1 = 𝑙 2
- I due limiti finiti coincidono con il valore assunto dalla funzione in x0 →𝑙 1 , 2 = 𝑓(𝑥 0 )
Graficamente la condizione di continuità della funzione in x0 corrisponde a poter disegnare la
funzione in un intorno di x0 da sinistra verso destra senza alzare la penna dal foglio.
- La funzione si dice continua di un intervallo I se è continua in ogni punto x appartenente I.
- Basta che la funzione non risulti continua anche in un solo punto dell’intervallo per dire che
la funzione è discontinua.
Motivi di discontinuità: sono legati al venir meno di anche solo una delle condizioni date.
Cosa può succedere:
- Non esiste anche solo uno dei due limiti destro e sinistro (es. dove non esiste la funzione
quindi si annulla la 1 condizione)
a) Esistono sia il limite destre che sinistro, ma non sono finiti (si annulla la 1 condizione,
quindi accade questa situazione→ lim
𝑥→𝑥𝑜±
b) Esistono i limiti finiti sia destro che sinistro, ma non coincidono (si annulla la 2 condizione,
quindi accade questa situazione→𝑙 1 ≠ 𝑙 2 )
c) Esistono entrambi i limiti, ma uno è finito e l’altro infinito (si annulla la 1 condizione)
d) Esistono i limiti destro e sinistro finiti e coincidenti, ma questi non coincidono con il valore
assunto dalla funzione in x0 (3 condizione annullata, ciò può capitare se la funzione non
esiste in x0, cioè quando x0 è escluso dal dominio)
Tipi di discontinuità:
➢ 1 specie - > se il limite destro e sinistro della funzione sono numeri finiti diversi tra loro
➢ 2 specie - > quando calcoliamo il lim
𝑥→𝑥 0 ±
𝑓(𝑥) e ci accorgiamo che uno dei due limiti è ∞
➢ 3 specie - > 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙𝒐±
X0 non appartiene al dominio.
Calcoliamo il limite del valore escluso dal dominio e notiamo che x0 esiste ed è finito
quindi lo rappresentiamo lim
𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖 𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑒𝑑 è 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜.
Regola calcolo dei limiti
Sostituire nella funzione il valore finito o infinito al quale tende la x.
*Quando faccio la sostituzione devo riportare il calcolo tra parantesi per ricordare che la x non
assume esattamente il valore a cui tende, ma si sta avvicinando ad esso.
Forme indeterminate:
- > il risultato sarà:
- ∞ - > se e solo se l’infinito al numeratore è di ordine maggiore rispetto all’infinito del
denominatore
- L ≠ 0 - > se e solo se l’infinito del numeratore e quello del numeratore sono dello stesso
ordine, L sarà dato dal rapporto tra i coefficienti degli addendi di ordine massimo.
- 0 - > se e solo se l’infinito al denominatore è di ordine maggiore rispetto a quello del
numeratore.
a) Potenze con esponente maggiore ‘prevalgono’ su potenze con esponente minore
b) Le funzioni esponenziali prevalgono su qualsiasi potenza.
c) Qualsiasi potenza prevale sulle logaritmiche
d) L’ordine di infiniti che nascono dalla somma/ differenza algebrica di infiniti è pari
all’ordine dell’infinito addendo dell’ordine maggiore
2. (∞ − ∞) il risultato sarà:
- ∞ - > se infinito positivo prevale su quello negativo
- ∞ - > se infinito negativo prevale sull’infinito positivo
- L finito anche nullo - > se infinito positivo e negativo si equivalgono
il risultato sarà:
- 0 - > se e solo se l’infinitesimo al numeratore “prevale” sull’infinitesimo al
denominatore
- L ≠ 0 - > se e solo se l’infinitesimo al numeratore e al denominatore si equivalgono
- ∞ - > se e solo se l’infinitesimo al denominatore “prevale” su quello al
denominatore
il risultato sarà:
• 0 - > se e solo se l’infinitesimo prevale sull’infinito
• ∞ - > se e solo se l’infinito prevale sull’infinitesimo
• L ≠ 0 - > se e solo se l’infinitesimo e infinito viaggiano alla stessa velocità
5.Crescenza e decrescenza
La derivata di una funzione è il limite se esiste ed è finito del rapporto incrementale della
funzione per 𝑥 → 0 ±
lim
𝑥→𝑥 0 ±
Dal punto di vista geometrico → la derivata esprime il coefficiente angolare (pendenza)
della retta tangente la funzione in corrispondenza del punto di ascissa x0.
La funzione si dice essere derivabile in un punto x0 se esiste la sua derivata prima in quel
punto.
Per fare lo studio della crescenza e decrescenza devo:
a) Calcolare la derivata prima
b) Calcolo il suo dominio per vedere dove esiste
c) Studiare la derivata prima = 0 → 𝑓
′
= 0 e le soluzioni di questa equazione sono
l’ascissa dei punti stazionari
La tangente alla funzione nel punto stazionario sarà una retta orizzontale passante in quel
punto.
d) Studio la derivata prima > 0 → Per tutti i punti in cui la derivata prima è > 0, la
funzione risulta crescente
e) Analogamente, per tutti i punti in cui la derivata prima è < 0, la funzione risulta
decrescente
La stazionarietà di una funzione “derivabile” è condizione necessaria, ma non sufficiente per
l’esistenza di un minimo e massimo relativo
Minimo relativo: il punto x0 è un minimo relativo se per ogni punto x appartenente all’intorno
circolare x0 risulta che f(x) > f(x0)
Massimo relativo: il punto x0 è un massimo relativo se per ogni punto x appartenente all’intorno
circolare x0 risulta che f(x) < f(x0)
6.concavità e convessità
Siccome una funzione è crescente quando la sua derivata prima è > 0, siccome la derivata prima
della derivata prima è la derivata seconda della funzione. allora se la derivata seconda è positiva,
la derivata prima è crescente e quindi la funzione volge la concavità verso l’alto.
Per fare lo studio della concavità e convessità devo:
a) Calcolare la derivata seconda
b) Calcolo il suo dominio per vedere dove esiste
c) Studio la derivata seconda = 0 →𝑓
′′
(𝑥) = 0 e le soluzioni potrebbero essere dei flessi,
ovvero punti in corrispondenza di cui si possono verificare cambi di concavità
d) Studio la derivata seconda > 0
- Se risulta > 0 → la funzione volge la concavità verso l’alto (si dice convessa)
- Se risulta < 0 → la funzione volge la concavità verso il basso (di dice concava)
➢ Se la funzione prima volge la concavità verso l’alto e poi dal punto di flesso inizia a volgere
verso il basso, allora il punto di flesso si dice discendente.
➢ Se la funzione prima volge la concavità verso il basso e poi dal punto di flesso inizia a
volgere la concavità verso l’alto, allora il punto di flesso si dice ascendente.
Punti angolosi:
la continuità di f(x) in x0 è condizione necessaria, ma non sufficiente affinché la f(x) risulti
derivabile in x0.
Non è sufficiente perché nel caso della forma indeterminata
0
0
il risultato potrebbe essere:
- L ≠ 0
Quindi, quando non è derivabile
lim
𝑥→𝑥 0 +
lim
𝑥→𝑥 0 −
REGOLA DI DE L’HOSPITAL
È utile nella risoluzione di forme indeterminate
∞
∞
0
0
Date due funzioni f(x) e g(x)
lim
𝑥→𝑥 0 ±
𝑥→±∞
= lim
𝑥→𝑥 0 ±
𝑥→±∞
′
′
DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE
Data una funzione y=f(x) definita, continua e derivabile in x0.
Si definisce differenziale della funzione in x0 e si indica con df(f0), la variazione della retta
tangente alla funzione in (x0,f(x0)) al valore della variabile indipendente
Y=valore assunto in corrispondenza di x dalla retta tangente alla funzione in (x0, f(x0))
- Da equazione del fascio di rette passanti per (x0,f(x0)): 𝒚 − 𝒇
- a equazione retta tangente alla funzione in (x0,f(x0)) : 𝒚 = 𝒇
polinomio di taylor di primo ordine
Polinomio di taylor di 2 ordine
′
′′
2
Polinomio di taylor di grado n
′
′′
2
𝑛
𝑛
Dove L1 ≠ L2 sono detti punti angolosi
Proprietà degli integrali definiti:
𝑑𝑥 = 0 → 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑣𝑢𝑜𝑡𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐ℎè 𝑛𝑜𝑛 𝑚𝑖 𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑎
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
- Proprietà di linearità:
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
- Proprietà additiva:
𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
Una funzione si dice integrabile in un intervallo se ammette un integrale definito in quell’intervallo
e ciò succede se l’intervallo è chiuso e la funzione risulta definita in questo intervallo e continua al
suo interno.
Se una funzione è integrabile nell’intervallo [a; b] allora è sicuramente integrabile anche in
qualsiasi altro intervallo [a; x] con x appartenente a [a; b]
Teorema di torricelli, barrow
È un teorema che stabilisce la continuità della funzione integrale e la sua derivabilità.
Se f(x) è continua in [a; b], la sua funzione integrale 𝐼𝑎 (𝑥) è continua in [a; b], derivabile in (a; b)
ed inoltre:
tesi del teorema → 𝐼
′
ne consegue che:
- 𝐼𝑎 (𝑥) è una primitiva di f(x)
- Siccome so che tutte le primitive appartengono alla famiglia degli integrali indefiniti e si
ottengono da una primitiva data sommando una costante arbitraria, si può scrivere:
Dove ∫
Formula definitiva di un integrale definito:
1. Prima calcolo l’integrale indefinito ∫
- 𝑐 e verifico l’integrabilità della
funzione nell’intervallo dato
𝒂
𝒃
𝒃
𝒂
