Scarica Calcolo Differenziale: Rapporto Incrementale, Derivata e Teoremi Fondamentali e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Matematica solo su Docsity!
RAPPORTO INCREMENTALE E DERIVATE
Definizione derivata
o rapporto incrementale
Rapporto incrementale =
!"
!#
𝒇
( 𝒙 𝟎
(𝒉
) ,𝒇(𝒙 𝟎
)
𝒉
Il coefficiente angolare di POP è il rapporto incrementale
o La derivata è il limite del rapporto incrementale
→#
1
0
0
→#
1
0
0
o La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla
curva nel punto.
o La funzione f(x) è derivabile se e solo se il limite del rapporto incrementale esiste ed è finito
Considerando l’ultimo punto è possibile dunque intuire l’esistenza di alcuni punti non derivabili,
ossia quando il coefficiente angolare della funzione non ha come risultato un numero esistente e
finito. I punti a tangenza verticale (e quindi con m = ∞) sono chiamati punti cuspidi.
Infatti man mano che le rette si avvicinano all’asse delle y il loro coefficiente aumenta, dunque
quando la tangente è orizzontale il coefficiente m → ∞
Inoltre risultano essere punti di non derivabilità anche punti in cui il coefficiente angolare destro è
diverso dal coefficiente angolare sinistro à punti spigolosi
Per calcolare il coefficiente di una funzione
devo trovare prima la derivata prima e
successivamente sostituire a x il punto 𝑥
:
TEOREMA DELLA CONTINUITA’
Enunciato:
se f(x) è derivabile in 𝒙
𝟎
allora f(x) è continua in 𝒙
𝟎
condizione necessaria per la derivabilità è la continuità
condizione sufficiente per la continuità è la derivabilità
es: |x| è continua, ma non derivabile: affinchè una funzione sia derivabile, l’essere continua non è
un dato sufficiente
Dimostrazione:
ipotesi à f(x) è derivabile in 𝒙
𝟎
: 𝑙𝑖𝑚
→#
1
𝑓(𝑥) −𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥
0
esiste ed è finito
tesi à f(x) è continua in 𝒙 𝟎
: 𝑙𝑖𝑚
#→#
1
;
#→# 1
=
𝑙𝑖𝑚
→#
1
𝑓(𝑥) −𝑓(𝑥
0
)
𝑥−𝑥 0
0
)
?(#) ,?(# 1
)
#,# 1
0
) + ℰ𝑥
:
A
:
0
)
:
A
:
0
0
)
0
:
A
:
0
0
)
𝟎
Se f(x) è derivabile, allora è
sicuramente continua, ma se
f(x) è continua non è detto
che sia sempre derivabile
#→# 1
0
È un infinitesimo infatti ℰ𝑥 → 0 x → 𝑥
:
:
A
:
0
0
]
È la retta tangente a f(x) in 𝑥
:
TEOREMA DI ROLL
Ipotesi: f(x) è derivabile in (a;b)
f(x) è continua in [a;b]
f(a) = f(b)
Tesi: esiste almeno un punto c tra a e b in cui f’(c) = 0
f(x) è continua e sempre derivabile, f(a) = f(b) e ho due punti di massimo e due punti di minimo.
Per il teorema di Fermat, so che nei punti di massimo e in quelli di minimo f’(𝑥 :
) = 0 m à TESI
TEOREMA DI LAGRANGE
Ipotesi: f(x) è derivabile in (a;b)
f(x) è continua in [a;b]
Tesi: esiste almeno un punto c tra a e b in cui f’(c) = n,
con n // AB > f’(c) =
𝒇
( 𝒃
) ,𝒇(𝒂)
𝒃,𝒂
è una generalizzazione del teorema di Roll à esiste sempre una retta tangente con coefficiente
angolare uguale a quello della retta ottenuta congiungendo i due estremi
conseguenza importante
f(x) è derivabile in un 𝛪 e f’(𝑥 :
) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ à f(x) è crescente
se f(x) è derivabile allora è continua
f(x) in x 1
e x 2
è sia derivabile che continua
F’(c) =
?(#
M
) ,?(#
N
)
M
,#
N
> 0
> 0
Per ipotesi
Se
?(#
M
) ,?(#
N
)
M
,#
N
> 0 à 𝑥
O
Q
à f(𝑥
O
) > f(𝑥
Q
f’(x) > 0
f(x) è crescente
f’(x) < 0
f(x) è decrescente
La funzione in questo caso è infatti crescente,
ma perchè f(x) è derivabile in 𝛪 (intervallo): se
la funzione non è definita in un intervallo il
teorema non vale
PROVA: considera la funzione y =
Q
La derivata di
Q
è −
2
una quantità sempre negativa à
Q
dovrebbe sempre decrescere, ma
ciò non avviene: il dominio della funzione
Q
non è un intervallo, infatti la funzione
Q
è definita
In questi due casi il teorema vale, ma solo
perché sto considerando una restrizione del
dominio della funzione
Q
In questo caso però la funzione non risulta decrescente perché la
restrizione considerata NON E’ UN INTERVALLO.
Questo teorema vale solo se sto lavorando nel dominio della funzione se e solo se il dominio è un
intervallo
TEOREMA DI CAVCHY
Ipotesi: f(x)e g(x) è derivabili in 𝛪
f(x) e g(x) continue in [a;b]
f(x)e g(x) è derivabili in (𝑎; 𝑏)
g’(x) ≠ 0 in 𝛪
TEOREMA DI L’HOPITAL
Ipotesi: f(x)e g(x) è derivabili in 𝛪
#→Z
𝑓′(𝑥)
𝑔
′
(𝑥)
0
0
∞
∞
Tesi: esiste c tale che
Tesi: esiste il limite del rapporto delle due
funzioni
#→Z
#→Z
