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Metodi Quantitative per ilBusiness e la Finanza

A.A. 2013/

PROGRAMMAZIONE LINEARE

(parte 2)

Programmazione Lineare

Esempio:

max P = x + y

Soggetto a:

x + 2y

≤^90

2x + y

≤^60

x^ ≥^0 y^ ≥^0

x e y sono chiamate Variabili decisionali x + y e’ chiamata Funzione obiettivo le disuguaglianze rappresentano i

vincoli

Il^ problema

e’^ di

Programmazione

Lineare

x

y

x + 2y = 90

2x + y = 60

y = 0 x = 0

Regione possibile

Il^ problema

e’^ di

Programmazione

Lineare

poiche’

vincoli e obiettivo sono lineari Metodo grafico

: x + y = k (rette iso-profitto),

si fà variare k, fino a trovare valore ottimale

L’algoritmo del simplesso : esempio cont. Esempio:

max P = x + y Soggetto a :

x + 2y

≤^90

2x + y

≤^60

x, y^ ≥

Abbiamo introdotto

variabili slack

s e t , ora i vincoli sono diventati :

y

t = 0

x + 2y + s = 90 assieme alle disuguaglianze di non negatività :

[1]

2x + y + t = 60

[2]

x

s = 0

t = 0

y = 0 x = 0

di non negatività :^ x^ ≥^ 0, y

≥^ 0, s

≥^ 0 and t

≥^0

Il problema LP ha ora 4 variabili(2 in piu’ della formulazioneoriginaria !). Le linee rosseindicano i punti del piano xydove le 4 variabili si annullano.

L’algoritmo del simplesso: esempio cont. Esempio: max P = x + ySoggetto a :

x + 2y

≤^90

2x + y

≤^60

x^ ≥^ 0;

y^ ≥

Le^ variabili slack sono s e t

Le^ disuguaglianze

di^ ortante

ora^ sono

:^ x^ ≥

0, y^

≥^ 0, s

≥^ 0 and t

≥^0

x + 2y + s = 90

[1]

2x + y + t = 60

[2]

Le^ disuguaglianze

di^ ortante

ora^ sono

:^ x^ ≥

0, y^

≥^ 0, s

≥^ 0 and t

≥^0

Funzione obiettivo originaria P = x + y

Possibili scritture alternative di P:

P = 90 – s – y

o anche

P = 60 – t – x

Una ulteriore è la seguente : risolvo [1] e [2] trovando

x = (30 – 2t + s)/

e

y = (120 – 2s + t)/

Da cui:

P = x + y = 50 - s/3 - t/

Osserviamo che se s=t=0 si ha P=50 e questo è il max !!

Descrizione del tableau: esempio cont. P^

x^

y^

s^

t^

RHS

-^ -^

Passo 1 e Passo 2

• scriviamo il tableau iniziale (obiettivo+ vincoli)

Passo 3

• selezioniamo coeff. più negativo di funzione obiettivo Passo 4
  • in tale colonna selez. ultima riga (60/2=30 < 90=90/1) Passo 5
    • Dividiamo tale riga per 2 (terminologia: 2 è detto“pivot”) Nota: osserviamo che nel

tableau

le variabili “s” e “t”

hanno colonne composte tutte da 0 eccetto 1 ad unposto specifico.

Descrizione del tableau: esempio cont.^ P^

x^

y^

s^

t^

RHS

-^ -^

½^

½^

½^

½^

Passo 6

• dalla seconda riga sottraiamo la terza e il risultato lo sostituiamo alla seconda. Esprimiamo inoltre P in termini di “y”e “t” , che risultano essere le variabili le cui colonne non sonocomposte da tutti 0 ed un solo 1.

Il risultato è

Questo è ciò che si ottiene

.^ Il prossimo passo è:

Tableau intermedi: esempio cont. P

x^

y^

s^

t^

RHS

-½^

½^

3/^

-½^

½^

½^

Passo 7 bis

• in tale colonna selezioniamo la seconda riga Passo 8
  • Dividiamo tale riga per 3 (questo permetterà di averei coefficienti della seconda e terza riga della y uguali)

(in quanto 60/(3/2) = 40 < 60 = 30/(1/2) )e questo porta a

Tableau intermedi : esempio cont. P

x^

y^

s^

t^

RHS

-½^

½^

1/^

1/^

½^

½^

Facciamo una pausa su questo tableau per capire a chepunto siamo: dalla riga di P vorremmo far sparirel’unico coefficiente negativo rimasto, relativo ad

y.

Se al posto di -1/2 avessimo 0 e

al posto del

coefficiente 0 della variabile

s^ avessimo un numero

positivo saremmo arrivati!

Il tableau finale: esempio cont.

P^

x^

y^

s^

t^

RHS

1/^

1/^

2/^

2/^

La funzione obiettivo si scrive ora come:

P + s/3 + t/3 = 50

o equivalentemente,

P=50-s/3-t/3.

Il valore max. P=

50 si ottiene per

x = 10, y= 40 , s = t = 0

( The END !)