Modello di
Regressione Lineare
Multipla
Corso di Statistica e Analisi delle serie storiche
Prof.ssa Germana Scepi
Dott.ssa Maria Spano
Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche
Università degli Studi di Napoli Federico II
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appunti su regressione multipla, Appunti di Statistica
appunti su regressione multipla
Tipologia: Appunti
2022/2023
1 / 54
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Modello di
Regressione Lineare
Multipla
Corso di Statistica e Analisi delle serie storiche Prof.ssa Germana Scepi Dott.ssa Maria Spano Dipartimento di Scienze Economiche e Statistiche Università degli Studi di Napoli Federico II [email protected]
Introduzione
L’analisi della regressione multipla è una tecnica statistica che può essere impiegata per analizzare la relazione tra una variabile dipendente e diverse variabili indipendenti ( predittori ) La regressione lineare multipla rappresenta un’estensione del modello di regressione lineare semplice L’ OBIETTIVO dell’analisi è prevedere i valori assunti da una variabile dipendente a partire dalla conoscenza di quelli osservati su più variabili indipendenti
i i i
Y = a + bX + e
i i i i
Y b b X b X e
0 1 1 2 2 Regressione lineare semplice (1 dip, 1 indip) Regressione lineare multipla (2 indip, 1 dip) intercetta errore variabile indipendente pendenza
X y X 2 1 La regressione lineare semplice parte da una variabile indipendente, “x” y =E 0 + E 1 x + H La regressione lineare multipla parte da più variabile indipendenti Y = E 0 + E 1 x 1 + E 2 x 2 + H La linea diventa un piano, ... e La retta diventa un piano…… e
Se la relazione è lineare……
Y = Xβ + ε
La rappresentazione dei dati campionari potrà allora essere la seguente: ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é = n y y y . . . 2 1 y ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é = n n nm m m x x x x x x x x x 1 ...
... ... ... 1 ... 1 ... 1 2 21 22 2 11 12 1 X ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é = b m b b . . . 1 0 β ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ë é = e n e e . . . 2 1 ε
Rappresentazione Matriciale
Il modello può essere scritto nella forma compatta
y X 1 X 3 2 1 3=1β 0 +2β 1 +1β 2 +e 1 2 3 5 2=1β 0 +3β 1 +5β 2 +e 2 4 5 3 4=1β 0 +5β 1 +3β 2 +e 3 5 7 6 5=1β 0 +7β 1 +6β 2 +e 4 8 8 7 8=1β 0 +8β 1 +7β 2 +e 5
Y
i
= b
0
+ b
1
X
1 i
+ b
2
X
2 i
- ε i
Esempio….
Ipotesi del modello di regressione
multipla
Le Le ipotesiipotesi deldel modellomodello classicoclassico Nel modello classico di regressione lineare multipla si assumono le seguenti ipotesi:
Osservazioni
Le ipotesi 1 e 2 sulla variabile casuale ε implicano che: ² La v.c.εsi distribuisca come Normale con media pari a zero e varianza costante (omoschedasticità): ² Gli errori sono indipendenti, ovvero: Var ( ε i ) = σ 2 Cov ( ε i , ε j ) = 0 Queste ipotesi sono necessarie per: ² Stimare i parametri del modello ² Valutare i risultati
L’obiettivo è determinare, sulla base dei dati campionari, il vettore β delle stime che minimizza: ( ) ( ) ( ) y y β X y β X Xβ y y y Xβ β X y β X Xβ β εε y Xβ y Xβ = ¢ - ¢ ¢ + ¢^ ¢ = ¢ - ¢ - ¢ ¢ + ¢ ¢ =
- = ¢ F =å = ¢ = - = 2 1 2 n i e i Derivando rispetto a β e uguagliando a zero di ottiene: ( ) ( ) β 0 ˆ 2 Xy 2 XX β β =- ¢ + ¢ = ¶ ¶ F da cui si ricava il vettore b delle stime dell’intercetta e dei coefficienti di regressione:
b (X X) X y
1 = ¢ ¢
Stima dei parametri
β (X'X) X'y
- 1 = ˆ X ’ X X ’ X N å 1 å 2 x , x å å 2 2 2 1
x , x
å (^12) x x ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é 22 130 120 25 151 130 5 25 22 1 8 7 1 7 6 1 5 3 1 3 5 1 2 1 1 5 3 6 7 2 3 5 7 8 1 1 1 1 1
β (X'X) X'y
- 1
ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é 111 131 22 8 5 4 2 3 1 5 3 6 7 2 3 5 7 8 1 1 1 1 1
å
y
å
x y 1
å
x y 2 X ’ y X ’ y
ú ú ú û ù ê ê ê ë é
= ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é
- 25 1
- 50 111 131 22 0 , 071 0 , 098 0 , 128
- 138 0 , 114 0 , 098 1 , 201 0. 138 0 , 071 i i i Y X X 1 2 . 50 1 (. 25 ) ˆ = + + - Equazione della regressione multipla
Calcolo dei coefficienti….
CalcoloCalcolo delladella varianzavarianza deglidegli stimatoristimatori Si applica il teorema sulle trasformazioni lineari all’espressione: 6 Y =V 2 I
Matrice di Varianza e
Covarianza dei coefficienti β
Sotto le ipotesi del modello classico, gli stimatori dei minimi quadrati sono i più efficienti nella classe degli stimatori lineari e non distorti Dimostrazione Si considera un altro stimatore lineare e non distorto ȕ * , tale che: con Affinché ȕ* sia non distorto si deve avere CXȕ = 0 , il che implica CX = 0