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esercizi sulle coniche su parabole ed iperboli. vari casi
Tipologia: Esercizi
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Lo studio delle coniche ha origini antichissime. Sembra che il primo matematico ad
occuparsi delle sezioni coniche sia stato Menecmo (375-325 a.C), un matematico greco discepolo di Platone e di Eudosso e maestro di Alessandro Magno. Esse furono
scoperte nel tentativo di risolvere con riga e compasso i tre famosi problemi di
trisezione dell'angolo, duplicazione del cubo e quadratura del cerchio. Le coniche sono
curve piane ottenute intersecando un cono circolare retto con un piano (deriva appunto da qui il nome coniche). Inizialmente una sezione conica era definita come
l int er sezione di un cono circolare retto con un piano perpendicolare alla generatrice
del cono: si ot t iene inf at t i una par abola se l angolo al ver t ice è r et t o, un ellisse se è
acut o, un iper bole se è ot t uso.
I nolt r e diede un gr ande cont r ibut o all ast r onomia gr eca, applicando modelli geomet r ici
al moto dei pianeti.
Quest o per cor so didat t ico è r ivolt o ad una classe t er za di un liceo scient if ico sper iment ale PNI dove le or e set t imanali di mat emat ica pr evist e sono 5 e comprendono anche il laboratorio di informatica.
LE CONICHE NEI PROGRAMMI MINISTERIALI:
L insegnament o della mat emat ica nei licei di ordinament o si basa sui pr ogr ammi minist er iali r edat t i nel 1952, che r ipr endono sost anzialment e i pr ogr ammi della
ellisse
: parabola : iperbole
Rif or ma Gent ile, r isalent e al 1923. Nell at t esa di una r if or ma della scuola secondar ia super ior e, molt i licei hanno adot t at o pr oget t i di sper iment azione, t r a cui vi è il Piano Nazionale per l I nf ormat ica (PNI ). I suoi pr ogr ammi sono st at i elabor at i nel 1985, con lo scopo di int r odur r e l inf or mat ica nelle scuole secondar ie super ior i. Nei pr ogr ammi minist er iali PNI di mat emat ica e f isica per il liceo scient if ico, l ar goment o delle coniche è inserito al terzo anno nel t ema int it olat o Geomet r ia al punt o 1.a: Cir conf er enza, ellisse, par abola, iper bole nel piano car t esiano. Si pr opone di int r odur r e le coniche pr ima come luoghi geomet rici e successivament e di scrivere le equazioni con rif eriment o a sist emi di assi cartesiani , svolt i in modo opportuno. Le abilit à r ichiest e, in quest o ambit o, r iguar dano la r isoluzione analit ica di pr oblemi sulle coniche, la loro rappresentazione analitica e le proprietà geometrica del luogo. Infine si richiede di acquisire la capacità di realizzare costruzioni di luoghi geometrici mediante strumenti diversi. I successivi pr ogr ammi elabor at i dalla Commissione Brocca negli anni 1991 e 1992,che non hanno modif icat o i pr ogr ammi PNI di mat emat ica e f isica, sono st at i adot t at i dai var i ist it ut i di ist r uzione secondar ia come pr oget t i di sper iment azione su pr opost a dello stesso Ministero della Pubblica Istruzione. Tr a il 2000 e il 2004 si collocano invece le pr opost e di r if or ma dei cur r icoli di Mat emat ica da par t e dell UMI , Unione Mat emat ica I t aliana; il cui obiet t ivo er a quello di r innovar e i pr ogr ammi alla luce dei cambiament i int er venut i nella societ à e nelle t ecnologie. Si voleva pr opor r e, inf at t i, una mat emat ica per il cit t adino , cioè un cor pus di conoscenze e abilit à f ondament ali da acquisir e indipendent ement e dalla var iet à degli indir izzi della scuola secondar ia, per ché r it enut e necessar ie a t ut t i color o che ent r ano nell at t uale societ à. Le conoscenze specif iche per l ar goment o in quest ione (pr opost e da Matematica 2003) sono: Circonferenza, parabola, ellisse, iperbole come luoghi di punti e come sezioni coniche.
Elementi fondamentali del piano cartesiano, retta e fasci di rette Simmetria assiale, simmetria centrale, traslazione, rotazione e rototraslazione; Concetto di funzione e di grafico di funzione; Equazioni e disequazioni di primo e di secondo grado; equazioni parametriche; Risoluzione di sistemi di primo e di secondo grado; Conoscenze minime dei sof t war e didat t ici Cabr ì-géomètre e Der ive suf f icient e per le applicazioni in laboratorio di informatica.
ACCERTAMENTO DEI PREREQUI SI TI : Sar à oppor t uno per mezzo di lezioni dialogiche r ichiamar e i concet t i e i met odi r isolut ivi acquisit i nel biennio pr ecedent e nel momento in cui questi serviranno per introdurre e spiegare i nuovi argomenti. Si pr ovveder à a svolger e in classe eser cizi di r ipasso, per t ant o gli st udent i ver r anno chiamat i alla lavagna per dimost r ar e le conoscenze su t ali pr er equisit i. I nolt r e verranno assegnati esercizi per casa.
OBIETTIVI GENERALI: Acquisir e le conoscenze, le compet enze e le capacit à pr evist e dal per cor so didattico. Acquisir e consapevolezza dell ut ilit à logica delle pr opr iet à degli ar goment i trattati. Condur r e all uso del lessico e del f or malismo gr af ico appropriato. Imparare ad operare con la simbologia opportuna. Sviluppar e la capacit à di ut ilizzar e met odi, st r ument i e modelli mat emat ici in situazioni diverse. Cont r ibuir e a r ender e gli st udent i in gr ado di af f r ont ar e sit uazioni pr oblemat iche di var ia nat ur a avvalendosi dei modelli mat emat ici più adat t i alla loro rappresentazione. Sviluppar e l int er esse per gli aspet t i st or ico-epistemologici della matematica.
L uso di sof t war e, ser vir à ad abit uar e l allievo ad oper ar e consapevolment e all int er no di diver si sistemi, dotati di loro regole formali e limiti operativi.
OBIETTIVI TRASVERSALI : Sviluppar e at t it udine alla comunicazione ed ai r appor t i int er per sonali, favorendo lo scambio di opinione tra il docente e allievo e tra gli allievi stessi. Pr oseguir e ed ampliar e il pr ocesso di pr epar azione scient if ica e cult ur ale degli studenti. Cont r ibuir e a sviluppar e lo spir it o cr it ico e l at t it udine a r iesaminar e criticamente ed a sistemare logicamente le conoscenze acquisite. Contribuire a sviluppare capacità logiche e argomentative. Imparare a rispettare i tempi di consegna dei lavori da svolgere.
OBIETTIVI SPECIFICI :
Conoscenze: circonferenza, ellisse, parabola ed iperbole come luogo di punti r appr esent azione analit ica delle coniche in un ben pr eciso sist ema di r iferimento cartesiano (equazione canonica, significato dei coefficienti) element i car at t er izzant i e pr opr iet à (eccent r icit à, assi di simmet r ia, intersezioni con gli assi cartesiani, asintoti) Posizione di una retta rispetto ad una conica Rette tangenti ad una conica Coniche traslate
Competenze: Saper ut ilizzar e st r ument i inf or mat ici per la cost r uzione delle coniche come luoghi geometrici Saper r appr esent ar e analit icament e le coniche: r iconoscer e dagli aspet t i f or mali dell equazione le pr opr iet à geomet r iche del luogo e viceversa Saper risolvere analiticamente problemi riguardanti le coniche Capacità: saper utilizzare le conoscenze e le competenze acquisite per risolvere problemi saper r isolver e pr oblemi di geomet r ia dando un int er pr et azione analit ica
Nel caso di errore nello svolgimento degli esercizi si attribuisce solo parte del punteggio completo previsto per essi.
GRIGLIA DI VALUTAZIONE (AD USO DEL DOCENTE)
Punteggio grezzo (totale 40)
Voto in decimi (ottenuto con la proporzione)
Voto in decimi (una proposta) 0 1 2 3 4
0 - 1
5 6 7 8
1 - 2 9 10 11 12
2 - 3
3
13 14 15 16
3 - 4 17
4
18 19 20
4 - 5 21 22
5
23 24
5 - 6 25 26 27
6
28
6 - 7 29 30 31
7 32
7 - 8 33 8 - 9
8
34 35 36 37 38 39
9 40
9 - 10 10
Libro di testo Lavagna e gessi Calcolatrice scientifica Fotocopie Software didattici come Cabri-géomètre e Derive
UNI TA DI DATTI CA 1 : LA CI RCONFERENZA
Contenuti
DEFI NI ZI ONE: Assegnat o nel piano un punt o C , det t o cent ro , si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da C.
x^2 y^2 r^2 Svolgendo i calcoli si ottiene: x^2 y^22 x 2 y^22 r^20 ponendo
2 2 2
c r
b
a
l equazione divent a x^2 y^2 ax by c (^0) (1)
Che prende il nome di equazione in forma normale o canonica (equazione di secondo grado in x e y in cui manca il termine con il prodotto xy e i coefficiente di x e di y al quadrato sono uguali fra loro).
Osservazioni:
l'equazione di una curva dipende dal sistema di riferimento scelto nel caso in cui l asse delle ascisse passi per il cent r o della cir conf er enza e l' or igine O sia post a nel cent r o st esso, si ha solt ant o il r aggio della circonferenza come parametro. Non è essenziale che x^2 e y^2 abbiano coef f icient e uguale a 1, per ché se essi valesser o per esempio n, (con n diver so da uno e non nullo) bast er ebbe divider e t ut t i i t er mini dell equazione per n. Per t ant o l equazione l equazione che si deduce dalla (1) molt iplicando per un numero k 0 cioè l equazione kx^2 ky^2 kax kby kc 0 si chiama equazione generale della circonferenza.
1.3 CONDIZIONE PERCHÉ UN EQUAZI ONE DEL TIPO x^2 y^2 ax by c 0 RAPPRESENTI UNA CIRCONFERENZA.
Esempio: x^2 y^240 pur essendo un equazione del t ipo che abbiamo descr it t o, non è l equazione di una cir conf er enza per ché non ha soluzioni r eali
x^2 y^24
questo significa che nessun punto del piano ha coordinate (x,y) che soddisfino l equazione.
L equazione ot t enut a, t enendo cont o della f or ma x^2 y^2 r^2 e delle r elazioni
2 22 2
c r
b
a , rappresenta una circonferenza di centro C a 2 ;^ b 2 e raggio
r a b c
2 2 2 2
L equazione x^^2 y^2 ax by c^0 rappresenta una circonferenza del piano
soltanto quando 2 2 0
2 2 a b c. Se c< 0 allora la condizione è automaticamente
soddisfatta.
In tal caso le coordinate del centro sono 2 2
C a ;^ b e il raggio vale r a b c
2 2 2 2
Possiamo inoltre dire che: se 2 2 0
2 2 a b c
la cir conf er enza ha r aggio nullo e l equazione divent a 2 2 0
(^2) b 2 x a y ; cioè
l equazione è soddisf at t a solo dal cent r o e la cir conf er enza degenera nel suo cent r o. se 2 2 0
2 2 a b c allora la (1) non rappresenta alcuna circonferenza.
Esempio:
una equazione del t ipo 4 x^2 4 y^27 x 12 y 28 0 rappresent a una circonferenza? Dividendo ent r ambi i membr i dell equazione per 4 e ver if icando che
2 2 0
2 2 a b c si ot t iene l equazione di una cir conf er enza in f or ma canonica.
In gener ale: l equazione nella f or ma kx^2 ky^2 kax kby kc 0 è detta equazione cartesiana generale della circonferenza.
La forma canonica si ottiene dunque dividendo per k. Riassumendo : L equazione in f or ma canonica di una cir conf er enza x^2 y^2 ax by c 0 :
Vediamo cosa accade var iando i par amet r i a,b,c dell equazione della cir conf er enza. Tenendo conto che x^2 y^2 ax by c 0 e che C a 2 ; (^) 2^ b si ottiene:
1
1
2. Se b = 0, l or dinat a del cent r o vale zer o e dunque il centro della circonferenza appart iene all asse delle x.
1
1
3. Se c = 0, l or igine degli assi soddisf a l equazione, quindi la circonferenza passa per questo punto
1
1
1
1
5. Se b = 0 c = 0 la circonf erenza ha il cent ro sull asse x e passa per l origine degli assi
1
1
1
1
Sf r ut t ando alt r e consider azioni di geomet r ia sint et ica si può r isolver e il pr oblema con un primo metodo valido solo per la circonferenza:
I metodo:
consider ando la cir conf er enza di equazione x^2 y^2 ax by c 0 e la r et t a di equazione a 1 (^) x b 1 y c 0 conf r ont ar e la dist anza d del cent r o dalla r et t a r ispet t o al r aggio r della cir conf er enza ( d r o d r ) e sf r ut t ar e la f or mula della dist anza di un punto da una retta.
12 12
1 0 1 0 1 0 0
1 1 1 ( , )
: 0 a b
d ax by c punto P x y
retta s ax by c
Si possono presentare tre casi:
II metodo:
Analiticamente le coordinate dei punti d'intersezione sono la soluzione del sistema formato dalle equazioni delle due curve e cioè
Tale sistema, di secondo grado, si può risolvere con il metodo di sostituzione ed ha come equazione risolvente la seguente equazione di secondo grado
possiamo allora dire che.
1. la r et t a e la cir conf er enza sono secanti se il sist ema ammet t e due soluzioni reali e distinte, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è positivo 2. la r et t a e la cir conf er enza sono tangenti se il sist ema ammet t e due soluzioni reali e coincidenti, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è nullo 3. la r et t a e la cir conf er enza sono est erne se il sist ema non ammet t e soluzioni reali, cioè se il discriminante dell'equazione risolvente è negativo Osservazione: Consider ando l equazione nella f or ma esplicit a: y= mx+q abbiamo escluso il caso in cui la retta sia parallela all asse y. Vedr emo t r a br eve quali conseguenze può aver e l esclusione delle r et t e par allele all asse y. Esercizio: Data la circonferenza di equazione
determina la posizione della seguente rette rispetto ad essa.
