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LE CONICHE — Schema Completo
1. Definizione generale Le coniche sono curve ottenute intersecando un piano con un cono a due falde. In forma analitica, sono le curve descritte da equazioni di secondo grado in due variabili: A x 2 + Bxy + C y 2 + Dx + Ey + F = 0 La natura della conica dipende dai coefficienti A ,B ,C. 2. Classificazione tramite il discriminante Δ = B 2 − 4 AC Conica Condizio ne Ellisse Δ < 0 Parabo la
Iperbol e
3. Ellisse Equazione canonica x 2 a 2 + y 2 b 2 =^1 (^ a^ >^ b^ ) Elementi principali Centro: ( 0 , 0 ) Assi: o maggiore: (^2) a o minore: (^2) b Fuochi: ( ± c , 0 )con c 2 = a 2 − b 2 Eccentricità: e = c a ( 0 < e < 1 ) Proprietà Somma delle distanze da due fuochi è costante. 4. Parabola Equazione canonica y 2 = 4 px
Elementi principali Vertice: (^) ( 0 , 0 ) Fuoco: ( p , 0 ) Direttrice: x =− p Asse di simmetria: asse x Proprietà Ogni punto ha la stessa distanza da fuoco e direttrice. Eccentricità: e = 1
5. Iperbole Equazione canonica x 2 a 2 − y 2 b 2 =^1 Elementi principali Centro: (^) ( 0 , 0 ) Fuochi: ( ± c , 0 )con c 2 = a 2 + b 2 Asintoti: y = ± b a x Eccentricità: e = c a ( e > 1 ) Proprietà Differenza delle distanze dai fuochi è costante. 6. Coniche degeneri Si ottengono quando il secondo grado “collassa”. Tipo Esempio Coppia di rette incidenti^ x^ 2 − y 2 = 0 Coppia di rette parallele x 2 = 1 Punto x 2 + y 2 = 0 Insieme vuoto x 2 + y 2 =− 1
