Corso di Geometria e Matematica di base, Appunti di Geometria

Scarica Corso di Geometria e Matematica di base e più Appunti in PDF di Geometria solo su Docsity!

C.d.L. "Scienze della Formazione Primaria"

Corso di Geometria e Matematica di base

A. Gimigliano

Soluzione di alcune prove di esame

Soluzioni a cura di Silvia Agnorelli

INDICE:

Soluzione prova scritta del 08/09/2014 …..........................................

Soluzione prova scritta del 05/12/2014 …..........................................

Soluzione prova scritta del 12/01/2015 ….........................................

Soluzione prova scritta del 14/07/2015 ….........................................

i

[ 100

] 5

[ 60

]

Semplifichiamo dove possibile il numeratore con il proprio denominatore: [ 100  1 ^100 ^1

] 5

[ 60  2

^30 ^1

]

Esercizio 2 Siano A = {x ∈ N|x + 1 `e dispari} e B = {x ∈ N| 3 x < 2 b + 13}. Determinare A ∩ B Sostituiamo i valori di a e b e proviamo a scrivere in maniera estesa gli elementi che appartengono a ciascun insieme.

• A e l’insieme dei numeri naturali (indicati con x ) tali che il numero successivo (x+1)e dispari, quindi A = { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ...}
• B = {x ∈ N| 3 x < 6 + 13} B = {x ∈ N| 3 x < 19 }. B e l’insieme dei numeri naturali che moltiplicati per 3 sono minori di 19, quindi: B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } L’intersezione di A e Be data dagli elementi che appartengono sia ad A che a B, cio`e : A ∩ B = { 0 , 2 , 4 , 6 }

Esercizio 3 La sora Pina fa questo gioco con la sora Lella: lancia un dado rosso ed uno blu e vince se il risultato del dado rosso e pari alla meta di quello del dado blu oppure se i due dadi danno lo stesso risultato. Qual e la probabilita che la sora Pina vinca? La probabilita di un eventoe data dal rapporto tra i casi favorevoli ed i casi possibili. I casi possibili in questo caso sono 6 × 6 = 36, cio`e:

dado rosso 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ... dado blu 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ...

Analizziamo i casi favorevoli alla vincita della sora Pina.

• Evento A: “Il risultato del dado rosso e pari alla meta di quello del dado blu”. I casi vincenti sono:

dado rosso dado blu 1 2 2 4 3 6

In questo caso la probabilita di vincitae P = 363

• Evento B: “I dadi danno lo stesso risultato”. I casi vincenti sono:

dado rosso 1 2 3 4 5 6 dado blu 1 2 3 4 5 6 In questo caso la probabilita di vincitae P = 366. A questo punto dobbiamo mettere insieme questi risultati. La sora Pina vince al realizzarsi di entrambe o di una delle due situazioni sopra analizzate. Osserviamo che A ∩ B = , quindi :

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 36 3 + 36 6 = 36 9 =^14

Esercizio 4 Genoveffa ed Almasunta hanno passato un week end insieme, stabilendo di dividere alla pari le spese. Genoveffa ha pagato la benzina 40 euro, la cena 70 euro e l’autostrada 20 euro, mentre Almasunta ha pagato l’hotel 90 euro, il pranzo (b + 1) × 10 euro ed i biglietti del teatro 60 euro. Quanto deve Genoveffa ad Almasunta? Iniziamo sommando gli importi che ciascuna delle due ha pagato durante la vacanza:

• Genoveffa ha pagato 40 euro per la benzina, 70 euro per la cena e 20 euro per l’autostrada. per un totale di 40 + 70 + 20 = 130 euro.

• I 613 di 1000(a + 1) = 6000. 613 ×^ 6000 =^1800061.

Osserviamo che 1800060 = 300, in questo caso al denominatore abbiamo un valore piu grande di 60, cioe 61. Otteniamo quindi un valore della frazione piu piccolo di 300. Possiamo allora concludere che il 25 % del 20% di 6000e maggiore dell’altro valore.

Geometria

Esercizio 7 Sia ABCD un trapezio rettangolo la cui altezza AB sia uguale alla base minore AC. Sia AC = 6(a + 1)cm, mentre BD = 14a + 14cm. Determinare il perimetro di ABCD e l’area dei triangoli ABD, BCD e ACD. Per prima cosa sostituiamo i valori di a e b nei dati del problema: AC = 6(a + 1) = 36 cm, BD = 14a + 14 = 84cm. Per calcolare il perimetro del trapezio abbiamo bisogno delle misure di tutti e

quattro i lati. Dobbiamo quindi trovare il lato CD, poich´e AB `e uguale al lato AC. Per trovare CD possiamo utilizzare il teorema di Pitagora, applicato al triangolo CHD, come si vede in figura. Si ottiene quindi: BH = AC HD = BD − BH = 84 − 36 = 48cm Osserviamo che CH = AB. Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo CHD: CD =

(CH)^2 + (HD)^2 =

(36)^2 + (48)^2 = √1296 + 2304 = √3600 = 60cm Il perimetro del trapezio misura quindi: P = AB + BD + CD + AC = 36 + 84 + 60 + 36 = 216cm Passiamo ora al calcolo delle aree:

• Area del triangolo ABD: AABD = BD× 2 AB= 84 × 2 36 = 1512cm^2
• Per calcolare l’area del triangolo BCD possiamo sommare le due aree dei trian- goli rettangoli BCH e CHD. ABCH = BH× 2 CH= 36 × 2 36 = 648cm^2 ACHD = HD× 2 CH= 48 × 2 36 = 864cm^2 ABCD = ABCH + ACHD = 648 + 864 = 1512cm^2
• Per calcolare l’area del triangolo ACD possiamo calcolare l’area dell’intero trapezio ABCD e poi sottrarre da questa l’area del triangolo ABD che abbiamo gi`a calcolato. AABCD = (BD+AC 2 )×AB= (86+36) 2 ×^36 = 2160cm^2 AACD = AABCD − AABD = 2160 − 1512 = 648cm^2

Esercizio 8 Considerare un silo a forma di prisma a base quadrata, avente il lato di base di mi- sura (2a + 2)m e altezza 5m. Ne dobbiamo tinteggiare l’interno(escluso ovviamente il pavimento) con una tinta che costa 5 euro al litro e ha una resa di 10m^2 per litro; quanto spendiamo? Per prima cosa sostituiamo il valore di a. Il prisma ha quindi lato di base che misura (2a + 2) = 12m ed altezza di 5m. Vogliamo conoscere quanta vernice e necessaria per tinteggiare l’interno, cioe di quanta vernice abbiamo bisogno per ricoprire tutta la superficie del silo. Troviamo quindi l’area totale del prisma, dalla quale sottraiamo in seguito l’area di base, poich´e il pavimento del silo non deve essere ricoperto con la vernice. L’area totale

del prisma e data da Atot = 2 × Abase + Alaterale. In questo caso dobbiamo sottrarre l’area del pavimento del silo, cioe l’area di base. Calcoliamo l’area di base, ricordando che il poligono di base `e un quadrato: Abase = 12 × 12 = 144m^2.

area e piu o meno di 1m^2?

Sostituiamo il valore di a. Il lato del quadrato misura 70cm. Uniamo due quadrati uguali di lato 70 cm e troviamo la lunghezza della diagonale del rettangolo ottenuto.

AF =

AE^2 + EF 2 = √ 1402 + 70^2 = √ 24500 cm

Calcoliamo l’area del quadrato che ha la diagonale come lato:

Aquad = AF 2 = (

24500)^2 = 24500cm^2

Dobbiamo confrontare quest’area con 1m^2 , quindi facciamo la trasformazione da cm^2 a m^2 , ricordando che 1m^2 = 10000cm^2. Si ottiene che 24500cm^2 = 2, 45 m^2. L’area del quadrato `e quindi maggiore di 1m^2.

Soluzione prova scritta del

Gli esercizi sono stati svolti considerando a = 1 e b = 2

Algebra

Esercizio 1 Risolvere la seguente espressione: [( 2 5 + 0.^1

] 7

[a + 1 7 ×^0.^21

]

Per prima cosa trasformiamo i numeri scritti in forma decimale in frazioni e sosti- tuiamo il valore alla lettera a: [( 2 5 +

] 7

[ 2

7 ×^

]

Risolviamo le operazioni all’interno delle parentesi quadre. Nella prima parentesi c’e una somma tra frazionie quindi necessario trovare il minimo comune multiplo tra le frazioni. In questo caso il mcm tra 5,10 e 2 e proprio 10. Nella seconda parentesi c’e un prodotto tra frazioni, moltiplichiamo i numeratori ed i denominatori. [4 + 1 − 5 10

] 7

[
21

^71 ×^

^21 ^3

^100 ^50

]

[ 0

] 7

+ 503 − 15 = 0 + 503 − 15 =^3 − 50 10 = − 507

Esercizio 2 Siano A = {x ∈ N|x `e multiplo di 3 e 2 } e B = {x ∈ Z|x < 3 b + 9}. Determinare A ∩ B. Sostituiamo il valore di b e proviamo a scrivere in maniera estesa gli elementi che appartengono a ciascun insieme.

Siamo interessati a calcolare la probabilita dell’evento “le palline estratte sono di colore diverso”, quindi i casi favorevoli al verificarsi dell’evento sono due: NR e RN. Calcoliamone le probabilita:

• RN: Calcoliamo la probabilita che la prima pallina estratta sia rossa e la seconda sia nera. La probabilita che la prima pallina estratta sia rossa e P (R) = 186 = 13. Infatti nell’urna ci sono in totale 18 palline, di cui 6 sono rosse. La probabilita dell’evento e quindi 13 ede data dal rapporto tra i casi favorevoli al verificarsi dell’evento e i casi possibili. A questo punto, supponiamo di aver preso dall’urna una pallina rossa e pro- seguiamo nell’estrazione della seconda pallina. Nell’urna abbiamo in totale 17 palline, di cui 5 rosse e 12 nere. La probabilita che la seconda pallina sia nerae quindi 1217. Per calcolare P (RN ) basta moltiplicare i valori sopra trovati: P (RN ) = P (primapallinaR) × P (secondapallinaN ) =^13 × 1217 = 174
• NR: Calcoliamo la probabilit`a che la prima pallina estratta sia nera e la seconda sia rossa. Possiamo fare le osservazione viste sopra, ottenendo che: P (N R) = P (primapallinaN ) × P (secondapallinaR) =^1218 × 17 6 = 174

La probabilita di estrarre dall’urna due palline di colore diversoe quindi: P (RN oppure N R) = 17 4 + 17 4 = 178 Confrontiamo questo valore con il 50% = 12. Osserviamo che 168 = 12. Nel caso in questione al denominatore abbiamo un valore piu grande di 16, cioe 17. Otteniamo quindi un valore della frazione piu piccolo di 12. La probabilita trovata `e meno del 50%.

Esercizio 5 Determinare il M CD(123456, (a + 2)^2 ) ed il M CD(22a + 4, 14 b + 12). Ricordiamo che per trovare il Massimo Comun Divisore tra due numeri dobbiamo prendere i fattori primi comuni ai due numeri, presi col minimo esponente con cui appaiono nelle due fattorizzazioni. Se non ci sono fattori comuni il MCD `e pari ad

Sostituiamo i valori di a e b.

• Calcolare M CD(123456, (a + 2)^2 ) ⇒ M CD(123456, 9) La cosa piu conveniente da faree controllare se il numero piu grandee divisibile per quello piu piccolo, allora il numero piu piccolo sara il MCD che stiamo cercando. Altrimenti dobbiamo fattorizzare il numero piu piccolo tra i due, in questo caso 9, e vedere successivamente se l’altro numero ha divisori in comune. In questo caso 123456 non e divisibile per 9. 9 = 3 × 3; 123456e divisibile per 3, quindi M CD(123456, 9) = 3.
• Calcolare M CD(22a + 4, 14 b + 12) ⇒ M CD(26, 40) In questo caso 40 non e divisibile per 26. 26 = 2 × 13, 40e divisibile per 2, quindi M CD(26, 40) = 2

Geometria

Esercizio 6 Sia ABC un triangolo isoscele, con AB = BC = 20a + 20cm ed il perimetro di 6 , 4(a + 1)dm. Determinare l’area di ABC. Sostituiamo i valori di a. AB = BC = 20a + 20 = 40cm; P = AB + BC + AC = 6.4(a + 1) = 12. 8 dm. Ricordando che 1 dm = 10 cm, si ottiene che P = 128cm. Per trovare l’area del

triangolo abbiamo bisogno dei valori di AC e BH. AC = P − AB − BC = 128 − 40 − 40 = 48cm AH = AC/2 = 48/2 = 24cm

piatti quanti sono i lati meno due, cioe in questo casoe uguale alla somma di 2 angoli piatti, ciascuno dei quali misura 180 gradi. Quindi la somma degli angoli interni e (4 − 2) × 180 = 360 gradi. Inoltre il poligono ha tutti i lati e gli angoli uguali, poich´ee regolare (cioee contemporaneamente equilatero ed equiangolo). Ciascun angolo misura quindi: 360 ÷ 4 = 90 gradi. Quindi in questo caso gli angoli sono retti e misurano esatta- mente 90 gradi ciascuno. Osservazione: Quanto detto sopra vale per qualsiasi poligono regolare con 3, 4 , 5 , 6 ...n lati.

Esercizio 9 Nel piano cartesiano, la retta r ha equazione (a + 1)x − (b + 3)y + 8 = 0.

• Il punto P = (0, 2) sta su r?
• Scrivere l’equazione di una retta r’ parallela ad r. Sostituiamo i valori di a e b. r : (a + 1)x − (b + 3)y + 8 = 0 ⇒ r : 2x − 5 y + 8 = 0
• Per determinare se un punto appartiene ad una retta dobbiamo vedere se le sue coordinate soddisfano l’equazione della retta, cio`e dobbiamo verificare che, sostituendo le coordinate del punto all’equazione della retta, questa si annulli. Il punto ha coordinate P = (0, 2).

2(0) − 5(2) + 8 = 0 − 10 + 8 6 = 0 L’equazione della retta non `e soddisfatta quindi il punto P (0, 2) non appartiene alla retta.

• Scriviamo la retta r in forma esplicita, cioe del tipo y = mx + q, r : y = 25 x + 85. Affinch´e una retta r′^ sia parallela ad re sufficiente che abbia lo stesso coeffi- ciente angolare m, tutte le rette parallele ad r hanno equazione: y = 25 x + q, dove q `e qualsiasi numero intero. L’esercizio chiede di trovare una di queste rette, scegliamo quindi un valore di q, ad esempio q = 3, la retta cercata ha equazione r′^ : y = 25 x + 3

Esercizio 10 Sia ABCD un rettangolo, con AC = 5(a + 1)cm e AB = 3(a + 1)cm. Determinare il volume del solido ottenuto ruotando ABCD di 360◦^ intorno al lato AB.

Sostituiamo il valore di a: AC = 5(a + 1) = 10cm, AB = 3(a + 1) = 6cm. Ruotando di 360 gradi il rettangolo intorno al lato AB, si ottiene un cilindro che

ha h = AB = 6cm, e raggio di base r = AC = 10cm. Quindi il volume del solido `e :

V = Abase × h = π × r^2 × h = 3. 14 × 100 × 6 = 1884cm^3

Esercizio 2 Siano A = {x ∈ N| 2 x ≤ b + 15} e B = {x ∈ N|x ≤ a^2 + 3}. Determinare A ∩ B e A \ B.

Sostituiamo i valori di a e b e proviamo a scrivere in maniera estesa gli elementi che appartengono a ciascun insieme.

• A = {x ∈ N| 2 x ≤ 5 + 15}. A `e l’insieme dei numeri naturali x, tali che 2 x ≤ 5 + 15 ⇒ x ≤ 202 ⇒ x ≤ 10. Quindi: A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }
• B = {x ∈ N|x ≤ 82 + 3}. B e l’insieme dei numeri naturali x tali che x ≤ 67. Quindi: B = { 0 , 1 , 2 , 3 , ........, 67 } L’intersezione di A e Be data dagli elementi che appartengono sia ad A che a B, cioe : A ∩ B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }. In questo caso l’intersezione coincide con A, poich´e si ha che A ⊂ B. A \ Be dato dagli elementi che stanno in A ma non stanno in B : A \ B = , proprio perch´e A ⊂ B.

Esercizio 3 Dire quale sia la probabilita di vincere al seguente gioco: si lanciano due dadi, uno rosso ed uno verde e si vince se quello verde segna il valore dell’altro + 1 (ad esempio se si ottiene Verde = 5, Rosso=4). La probabilita di vincere e piu o meno del 15%? La probabilita di un eventoe data dal rapporto tra i casi favorevoli ed i casi possibili. I casi possibili in questo caso sono 6 × 6 = 36, cio`e:

dado rosso 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ... dado verde 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 ...

Analizziamo i casi favorevoli al verificarsi dell’evento (E):“ Il dado verde segna il valore del dado rosso +1”. I casi favorevoli sono:

dado rosso 1 2 3 4 5 dado verde 2 3 4 5 6

I casi favorevoli sono 5, la probabilita dell’eventoe quindi: P (E) = casi f avorevolicasi possibili = 365

Confrontiamo questo risultato con il 15%. 15% = 0.15 = 10015 = 203. 365 =^100720 <^108720 =^203. La probabilita trovatae quindi minore del 15%.

Esercizio 4 Scrivere in ordine crescente: 3.5 ; 175 ; √11 ; 103.

Per ordinare le frazioni dalla piu piccola alla piu grande possiamo portare le frazioni allo stesso denominatore, il confronto si riduce cos`ı al confronto tra numeratori. Tut- tavia, in questo caso abbiamo una radice quadrata; procediamo riducendo frazioni e numeri decimali in frazioni con lo stesso denominatore:

• 3 .5 = 3510 = (^10530)
• 175 = 3410 = (^10230)
• 103 = (^10030) Confrontando questi numeratori si osserva che 105 > 102 > 100. Rimane da confrontare √11 con le frazioni appena trovate. Osserviamo che 10530 = (^3510) = 3.5. √11 `e un numero compreso sicuramente tra 3 e 4, poich´e √ 9 < √ 11 < √16; ma (3.5)^2 = 12. 25 > 11. Possiamo fare considerazioni simili anche per 10230 ; 102 30 =

10 = 3.^4

ma (3.4)^2 = 11. 56 > 11