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Lezione 1-
Argomenti: cosa sono e perché li usiamo;
Argomenti: buoni e cattivi;
Una rappresentazione schematica degli argomenti.
Un argomento è una sequenza di enunciati, alcuni dei quali detti premesse , che hanno la funzione di fornire supporto a un altro enunciato, la conclusione.
Gli argomenti si distinguono in argomenti semplici ed argomenti complessi. Negli argomenti semplici, tutti gli enunciati coinvolti sono premesse o conclusioni. (Esempio: Tutti gli uomini sono mortali. Socrate è un uomo. Quindi, Socrate è mortale ). Negli argomenti complessi, ci sono enunciati che inferiamo dalle premesse, e che ci aiutano a dare supporto alla conclusione. Sono in sostanza concatenazioni di argomenti semplici. (Esempio: I batteri resistenti agli antibiotici costano 20 miliardi l’anno. Abbiamo bisogno di nuovi antibiotici per contrastare i batteri, ma sviluppare i nuovi antibiotici non è conveniente per le industrie farmaceutiche dal punto di vista dei guadagni. Gli antibiotici sono somministrati per un periodo breve, [...]. Quindi, per incoraggiare lo sviluppo di nuovi antibiotici, il governo dovrebbe dare un premio di 2 miliardi .)
Distinguiamo fra argomenti buoni e argomenti cattivi. Un argomento è buono se e solo se le sue premesse danno effettivamente supporto alla sua conclusione. Un argomento è cattivo se le sue premesse non danno supporto alla sua conclusione.
(P1) Premessa (P2) Premessa (P3) Premessa
( C) Conclusione
Le premesse vengono presentate tutte prima della conclusione. Sono presenti tutte le premesse necessarie e la conclusione. Non sempre gli argomenti che incontriamo hanno queste due caratteristiche: possiamo incontrare argomenti in cui la conclusione viene presentata prima delle premesse, o argomenti in cui la conclusione o una delle premesse vengono omessi. Può capitare che una o più premesse siano lasciate implicite, anche se sono necessarie per il funzionamento dell’argomento. ( Socrate è un uomo. Quindi, Socrate è mortale). Può capitare che la conclusione sia lasciata implicita. ( Tutte le balene sono mammiferi. Tutti i mammiferi allattano i propri cuccioli).
Per ricostruire un argomento se si presenta con un’inversione dell’ordine ideale, si procede così: si analizza il discorso, cercando di individuare le proposizioni che forniscono ragioni per qualcos’altro. Una volta individuate, si hanno le premesse. Cerchiamo di individuare la proposizione a favore della quale vengono fornite ragione. Se la individuiamo correttamente, avremo trovato la conclusione.
Proposizioni, asserzioni, enunciati
Una proposizione è una qualsiasi espressione che può essere o vera, o falsa. Un enunciato è un complesso di stringhe di simboli che, una volta dato un significato alle varie componenti, esprime una proposizione. Un’ asserzione è l’atto di pronunciare un enunciato (in un contesto comunicativo in cui pronunciare l’enunciato è segno del fatto che si creda nell’enunciato), o l’enunciato pronunciato in un atto di questo tipo.
La logica si occupa di argomenti e dei nessi fra proposizioni/enunciati, non dei nessi fra asserzioni. Si possono considerare proposizioni ed enunciati come sinonimi, ben distinti dalle asserzioni.
Indicatori di premesse
Dal momento che, poiché, dato che, in ragione del fatto che, visto che, … Sono parole che introducono una premessa, o una serie di premesse.
Indicatori di conclusione
Dal momento che, quindi, perciò, pertanto, ne segue che, da questo segue che, di conseguenza, per questo motivo, … Sono parole che introducono una conclusione.
In mancanza di indicatori di premesse o conclusione, è necessario analizzare il discorso, individuando quali proposizioni in esso forniscono ragioni per qualcos’altro.
Riconoscere un argomento;
Argomenti o no?
Gli enunciati condizionali.
Per riconoscere un argomento è necessario ricordare le sue caratteristiche necessarie (e sufficienti): almeno uno degli enunciati presenti è lì per fornire supporto a un altro enunciato; deve esserci un altro enunciato che viene supportato.
Indipendentemente dal fatto che una premessa offra veramente supporto a una conclusione (come nel caso di un cattivo argomento), la struttura del discorso rivela comunque che alcuni enunciati sono presenti per dare supporto, ed altri per riceverlo, indipendentemente dal fatto che riescano davvero a svolgere quelle funzioni.
- Il Modus Ponens, o Eliminazione del Condizionale. “ Se ho la febbre, allora sto male. Ho la febbre. Quindi, sto male. - Se A, allora B. A, quindi B ”. La prima premessa è un condizionale, la seconda è l’antecedente di quel condizionale, la conclusione è il conseguente di quel condizionale. - Ragionamento ipotetico e Introduzione del condizionale. “ Assumiamo che il colpevole di quel crimine sia il Prof. Moriarty. Ne segue che Moriarty ha fatto qualcosa di orribile. Quindi, se Moriarty è colpevole per quel crimine, allora ha fatto qualcosa di orribile.” Assumiamo un enunciato, da cui ne segue un altro. Se tale connessione sussiste, siamo autorizzati a concludere il condizionale il cui antecedente è l’enunciato che abbiamo assunto, e il cui conseguente è quello che ne abbiamo concluso. - Transitività del condizionale. “ Se i nostri confini non sono sorvegliati, allora i terroristi possono entrare nel nostro paese. E se i terroristi possono entrare nel nostro paese, allora tutti noi siamo meno sicuri. Quindi, se i nostri confini non sono adeguatamente sorvegliati, allora tutti noi siamo meno sicuri.”
Enunciati condizionali e condizioni necessarie e sufficienti.
A è una condizione sufficiente per B se il verificarsi di A è tutto ciò che serve per il verificarsi di B. Essere un cane è condizione sufficiente per essere un mammifero. Essere un animale è condizione necessaria per essere un cane.
Argomenti complessi;
Rappresentazione ad albero degli argomenti semplici;
Rappresentazione ad albero degli argomenti complessi;
Gli argomenti complessi presentano degli enunciati che inferiamo dalle premesse e che ci aiutano a dare supporto alla conclusione. Sono, in sostanza, concatenazioni di argomenti semplici.
Rappresentazione ad albero di un argomento semplice:
(1) - Conclusione. (2) - Premessa (1) La contaminazione delle falde acquifere sotterranee rappresenta un problema. (2) Metà dell’acqua potabile del paese che proviene da queste falde acquifere è contaminata da rifiuti chimici.
(2) ↓ (1)
- Rappresentazione di un albero ad argomento complesso.
(1) La vendita di organi umani, come cuori, reni e cornee, dovrebbe essere vietata. (4) Consentire la vendita di organi umani porterà inevitabilmente a una situazione in cui solo i ricchi potranno permettersi i trapianti. (3) Questo perché ogni volta che qualcosa di raro viene comprato e venduto come merce, il prezzo sale. (2) La legge della domanda e dell’offerta lo richiede.
(4) ↓ (3) ↓ (2) ↓ (1)
Altri esempi sulle slides, pagina 65-78 Lezione 1
12) Tipi di ragionamento plausibile:
La generalizzazione induttiva - Tutti i corvi che ho visto finora sono neri. Quindi, anche il prossimo corvo che vedrò sarà nero.
La previsione - Di solito, a questa bassa pressione, qui piove. Si stanno verificando condizioni di bassa pressione. Quindi, a breve pioverà.
Ragionamento per analogia - A Marco piacciono i libri ambientati nel Medioevo. Il nome della rosa è un libro giallo ambientato nel Medioevo. Quindi, a Marco piacerà il nome della rosa.
Ragionamento esplicativo - Trovo i miei vasi rovesciati sul terrazzo stamattina. Ieri erano in ordine. Non ci sono impronte sul terriccio rovesciato, né segni di un tentativo di effrazione sulla finestra del terrazzo. In strada ci sono rami spezzati e marciapiede e carreggiata sono bagnati. Ho il sonno molto pesante. Quindi, ieri notte c’è stato un forte temporale, che io non ho sentito, che ha rovesciato le piante.
Ragionamento causale ( tipo di ragionamento esplicativo ) - Solo alcuni di loro hanno mangiato il pollo, e solo alcuni hanno mangiato maiale. Tutti però si sono sentiti male. Tutti hanno mangiato cozze. Quindi, è stata l’ingestione di cozze a causare il malore.
Se le premesse di un caso di ragionamento plausibile riescono a fornire evidenza che la conclusione sia più plausibile della sua negazione, e accettare la conclusione è più razionale, si ha un ragionamento forte. Altrimenti, è debole.
Essere un argomento deduttivamente valido non ammette gradi intermedi: o è valido, o non lo è. Mentre, al contrario, un ragionamento plausibile può essere più o meno forte. Nella scala continua dal debole (0) al forte (1) i casi che si collocano ai due estremi non risultano controversi, quelli a metà invece sì.
La nozione di validità deduttiva;
Argomenti validi;
Come capire se un argomento è valido oppure no?
Un argomento è deduttivamente valido se e solo se: quando le premesse (se vere) garantiscono la verità della conclusione; non è logicamente possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa; la verità delle premesse è incompatibile con la verità della negazione della conclusione. Queste tre condizioni sono equivalenti.
Dunque: le premesse e la negazione della conclusione non possono essere vere tutte insieme.
- Esempio: (A) Tutte le reti televisive sono aziende di comunicazione. (B) La NBC è una rete televisiva. ( C) Quindi, la NBC è un’azienda di comunicazione.
Se le premesse sono vere, non esiste una situazione in cui ( C) sia falsa.
- Come capire se un argomento è valido?
- Tutte premesse vere e conclusione falsa → incompatibile con la validità deduttiva , argomento non valido.
- Tutte premesse vere e conclusione vera → compatibile con la validità deduttiva, ma non sufficiente per essa. “ Io credo che l’atomo si possa scindere. Quindi, l’atomo si può scindere.”
- Tutte premesse false e conclusione falsa → compatibile con la validità deduttiva, ma non sufficiente per essa. “Io credo che l’atomo non si possa scindere. Quindi, l’atomo non si può scindere.”
- Almeno alcune premesse false e conclusione vera → compatibile con la validità deduttiva, ma non sufficiente per essa.
Che un argomento non sia deduttivamente valido se le premesse sono tutte vere e la conclusione falsa segue dalla definizione di validità deduttiva.
Come capire se un argomento NON è valido?
- Tutte premesse vere e conclusione vera → non necessario perché l’argomento sia deduttivamente valido.
- Tutte premesse false e conclusione falsa → non sufficiente perché l’argomento non sia valido. “ Tutti i fiori sono cani. Tutte le tigri sono fiori. Tutte le tigri sono cani.”
- Almeno alcune premesse false e conclusione vera → non sufficiente perché l’argomento non sia valido. “ Tutti i fiori sono cani. Tutti i barboncini sono fiori. Quindi, tutti i barboncini sono cani.”
- Tutte premesse vere e conclusione falsa → sufficiente perché l’argomento non sia valido.
La semplice verità o falsità delle premesse e della conclusione non ci dice nulla sulla validità, tranne nel caso di premesse vere e conclusione falsa. Qualsiasi argomento deduttivo con premesse vere e una conclusione falsa è necessariamente invalido.
Premesse Conclusione Validità
V T?
V F Invalido
F V?
F F
Per capire se un argomento è valido oppure no, occorre chiederci se le premesse sono compatibili con la negazione della conclusione. Ovvero: le premesse e la negazione della conclusione potrebbero essere vere tutte insieme? Se la risposta è sì , l’argomento non è deduttivamente valido. Se la risposta è no , l’argomento è deduttivamente valido.
17) Casi particolari.
∧ significa “oppure”
Introduzione del terzo escluso:
- A ∧ ¬A, Quindi B. E’ possibile una situazione in cui tutti gli enunciati (A ∧ ¬A, ¬B) siano veri? No, quindi è deduttivamente valido. Ogni ragionamento che conclude una verità logica è deduttivamente valido.
Esplosione:
- A, Quindi B ∧ ¬B. Ogni ragionamento che parte da premesse inconsistenti è deduttivamente valido. Dato un enunciato “A ∧ ¬A” si può concludere qualsiasi enunciato B.
Ragionamento circolare:
- A1, A2 (Fuori c’è bel tempo), A3, A4. Quindi B (Fuori c’è bel tempo). Ogni enunciato segue se stesso. Non c’è nessuno scenario in cui un enunciato sia contemporaneamente vero e falso. Se vi è un’inferenza nelle premesse è un caso di ridondanza, ma nel caso del ragionamento circolare si ha sempre un ragionamento deduttivamente valido.
La definizione di validità deduttiva tralascia dunque i nessi di rilevanza e l’idea del fornire ragioni. Guarda soltanto ai possibili rapporti fra la verità delle premesse e la verità della conclusione.
- Argomenti validi e argomenti buoni.
Non tutti gli argomenti validi sono buoni argomenti. Bisogna distinguere tra ragionamento circolare , che è sistematicamente incapace di produrre buoni argomenti, ed esplosione ed introduzione del terzo escluso. In alcune istanze manca qualsiasi nesso di rilevanza fra premesse e conclusione, in altre invece tale nesso c’è.
Lezione 4
Donna o tigre.
Lezione 5
Che cos’è la probabilità;
Tre concezioni della probabilità;
Attribuire gradi di fiducia in maniera non arbitraria;
In un senso intuitivo, la probabilità è una descrizione numerica di quanto è plausibile, o verosimile, che si verifichi un evento o che una proposizione sia vera. Si può dire che: la probabilità dà un valore quantitativo al caso o all’incertezza; la probabilità è una misura del caso (o dell’incertezza).
Lo spazio di probabilità (sp), chiamato anche spazio degli eventi, è l’insieme dei possibili esiti definiti dal problema probabilistico che affrontiamo. La totalità degli esiti possibili è denominata U. Un esito possibile è un elemento di U. Possiamo pensare ad essi come eventi che sono congiuntamente esaustivi e incompatibili l’uno con l’altro. Il numero degli esiti possibili è il numero degli elementi di U (laddove U è finito). In simboli, | U |. Un evento è un sottoinsieme di U. Il numero degli eventi definiti in U è il numero dei sottoinsiemi. Si può calcolare come 2^|U|, e rappresenta tutte le combinazioni di eventi possibili. Gli esiti possono essere concepiti come quegli eventi rappresentati da un insieme contenente un solo elemento.
La probabilità di un evento può assumere valori fra 0 e 1. La probabilità è una funzione P : 2^U → [0,1], che è l’intervallo dei numeri reali tra 0 e 1, rappresenta il valore che può assumere una probabilità. Un evento certo ha probabilità 1. Un evento impossibile ha probabilità 0. Un evento incerto è un evento che ha probabilità fra ma diversa da 0 e 1.
La concezione classica della probabilità: la probabilità di estrarre un re da un mazzo intero (e regolare) di carte napoletane è 4/40. Per questa concezione, la probabilità di un evento E non è nient’altro che il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ad E e il numero totale di possibilità.
In simboli: P(E) = fₑ/n. Dove P denota la probabilità, fₑ denota il numero di casi favorevoli ad E, n denota il numero totale di casi possibili.
Il presupposto che i casi possibili nello spazio probabilistico hanno tutti la stessa probabilità, ovvero sono tutti equiprobabili, è un presupposto non banale. L’assunzione che tutti i casi possibili nello spazio probabilistico siano equiprobabili è legata al cosiddetto Principio di Indifferenza : “ a due o più eventi mutuamente alternativi vanno assegnate le stesse probabilità, se non ci sono particolari ragioni o informazioni empiriche che facciano pensare che qualcuno di essi abbia maggiori probabilità di verificarsi.”
Ci sono però dei casi in cui non possiamo ragionevolmente presupporre l’ equiprobabilità dei casi possibili (lancio di un dado truccato, probabilità di contrarre o meno una malattia, ecc.).
- A ogni evento viene assegnato un valore di probabilità compreso fra 0 e 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
- P (U) = 1. Ovvero, allo sp viene assegnato valore 1. Se quello sp è lo sp degli eventi, allora almeno uno degli eventi deve accadere.
- P (Ø) = 0. L’evento impossibile ha valore 0.
La probabilità di un evento complemento.
Qual è la probabilità di non estrarre un asso da un mazzo intero (e regolare) di carte francesi?
P(Ē) = 1 - P(E). Perché P(E ∪ Ē) = P(U) = 1, ma poiché E e Ē sono mutuamente esclusivi , avremo allora che P(E) + P(Ē). Quindi P(Ē) = 1 - P(E).
23) La probabilità di un evento intersezione.
Se due eventi E e F sono indipendenti l’uno dall’altro, allora la probabilità P(E ∩ F) della loro intersezione E ∩ F è: P(E ∩ F) = P(E) x P(F) La probabilità di ottenere due teste (T) con un singolo lancio di due monete è la seguente: P(T1 ∩ T2)= P(T1) x P(T2) = ½ x ½ = ¼
La probabilità degli eventi intersezione va definita anche nel caso in cui gli eventi di partenza non siano indipendenti. Dati due eventi E e F (indipendenti o no), la probabilità P (E ∩ F) = P(E) x P(F | E)
Calcoliamo P (E ∩ F), dove:
- E è l'evento di estrarre un re da un mazzo di carte napoletano completo e regole.
- F è l’evento di estrarre un re dallo stesso mazzo, ma con una carta in meno.
- E ∩ F è l’evento di estrarre due re di fila, senza aver rimesso il primo re nel mazzo.
P(E) = 4/ P(F | E) = 3/ P(E ∩ F) = P(E) x P(F | E) = 4/40 x 3/39= 0,
Se E ed F sono indipendenti, P(F | E)= P(F)
24) La probabilità di un evento unione.
La probabilità di estrarre un re (K) oppure una regina (Q) da un mazzo di carte su una singola estrazione è la seguente: P(K ∪ Q) = P(K) + P(Q) = 4/52 + 4/52 = 8/52 = 0, Quindi, se E e F sono mutuamente esclusivi , la probabilità del loro eventi unione E ∪ F è: P(E ∪ F) = P(E) + P(F)
Dati due eventi E e F (mutuamente esclusivi o no che siano), la probabilità P(E ∪ F) del loro evento unione E ∪ F= (P(E) + P(F)) - P(E ∩ F)
Calcoliamo P(S1 ∪ S2) dove: S1 è l’evento di ottenere un 6 da un dado in un lancio di due dadi; S2 è l’evento di estrarre un 6 dall’altro dado nello stesso lancio; S1 ∪ S2 è l’evento di ottenere almeno un 6 dal risultato del lancio;
La probabilità di ottenere almeno un 6 (S) dal lancio di due dadi:
P(S1 ∪ S2) = ((⅙ + ⅙ ) - (⅙ x ⅙)) = 2/6 - 1/36 = 0,
Se E e F sono indipendenti: P(E ∪ F) = (P(E) + P(F)) - (P(E) x P(F))
Se E e F non sono indipendenti: P(E ∪ F) = (P(E) + P(F)) - (P(E) x P(F | E))
Se E ed F sono mutuamente esclusivi, allora P(E ∪ F) = 0. Quindi: ((P(E) + P(F)) - P(E ∪ F)) = ((P(E) + P(F)) - 0= (P(E) + P(F))
Probabilità condizionata: il Teorema di Bayes;
Applicare il Teorema di Bayes;
La nozione di probabilità condizionata è fondamentale, perché è legata a quelle situazioni in cui l’accadere di qualcosa modifica la probabilità di qualcos’altro. La probabilità condizionata di E su F (P(E | F)) è definita come:
P(E | F)= P(E ∩ F)
P(F)
Se E e F sono indipendenti, allora: P(E | F)= P(E) = P(E | F̄) Se E e F non sono indipendenti, allora: P(E | F) ≠ P(E | F̄)
26) Il Teorema di Bayes
Permette di aggiornare i valori probabilistici una volta acquisite nuove informazioni. La sua formulazione è questa:
P(E | F) = P(E) x P(F | E)
(P(E) x P(F|E)) + (P(Ē) x P(F|Ē))
Dunque, per calcolare P(E|F) non è necessaria la probabilità di F. Possiamo calcolarlo anche se abbiamo la probabilità di E e F|E
Per essere forte, questo ragionamento deve soddisfare alcuni standard:
- Il campione deve essere sufficientemente grande. Altrimenti, la generalizzazione è ingiustificata. Generalmente, più è largo il campione, più è piccolo il margine d’errore nel risultato. La proporzione minima fra dimensione del campione e popolazione totale non è costante: per popolazioni con più di 100.000 unità, la larghezza del campione rimane costante al crescere della popolazione, anche se desideriamo mantenere lo stesso margine di errore.
- Il campione deve essere rappresentativo della popolazione.
- La procedura di campionamento deve essere imparziale.
Terminologia: proprietà target , l’oggetto della nostra indagine, la proprietà di cui vogliamo capire la distribuzione nella popolazione; proprietà misurata , la proprietà di cui misuriamo effettivamente la distribuzione all’interno del campione (ad esempio, la proprietà di dire che si preferisce un dato candidato); margine d’errore , il valore massimo entro il quale ci si aspetta che i risultati sul campione possano differire da quelli sulla popolazione intera; accuratezza , quanto sia buona la proprietà misurata come indicatore delle proprietà target.
Le applicazioni statistiche
Si ragiona in senso inverso rispetto alle generalizzazioni statistiche. Da informazioni circa una popolazione traiamo conclusione circa un elemento o un sottoinsieme della popolazione in questione. Forma logica:
(P1) n% degli F ha la proprietà G (P2) a è un F ( C) a ha la proprietà G
In maniera analoga, la conclusione di un’applicazione statistica può essere anche negativa. Per esempio:
(P1) Il 3% dei democratici in CA ha votato per Romney (P2) Sheila è una democratica e vive in California ( C) Sheila non ha votato per Romney
Questi argomenti sono forti quando le informazioni sulla popolazione in oggetto hanno percentuali vicine allo 0 o al 100%. Se, ad esempio, è un fatto che il 50% degli abitanti di Alessandria tifano per il Milan, e Carlo è di Alessandria, non posso concludere che Carlo tifi Milan né che non tifi Milan.
Lezione 7
L’induzione per enumerazione semplice;
L’induzione eliminativa;
Cattive induzioni e induzioni fasulle;
Il ragionamento induttivo è un tipo di ragionamento plausibile che va da una ripetizione di casi noti all’ignoto. Proietta quindi ai casi ignoti una proprietà che viene riscontrata sempre in tutte le ripetizioni di casi noti. Come tutte le forme di ragionamento plausibile, il ragionamento induttivo ha tre caratteristiche fondamentali:
1) Ampliatività: l’informazione veicolata dalla conclusione non è contenuta, nemmeno implicitamente, dell'informazione veicolata dalle premesse. 2) Fallibilità: un ragionamento induttivo può essere molto forte, e nonostante ciò può portarci da premesse vere a una conclusione falsa. 3) Non-monotonicità : il ragionamento induttivo è non-monotono. L’aggiunta di nuova informazione alle premesse può portarci ad abbandonare la conclusione che avevano raggiunto senza quella nuova informazione. Questo vale anche per il ragionamento induttivo al suo meglio.
Pensa al tacchino induttivista.
L’induzione per enumerazione semplice (indes)
Esempio: ( Laddove non abbiamo osservato tutti i corvi ), altrimenti avremmo un caso di induzione completa.
Tutti i corvi che abbiamo finora osservato sono neri. Quindi, il prossimo corvo che osserveremo è nero.
L’indes consiste nel proiettare a tutti gli oggetti di un dato tipo, o a qualche oggetto di quel tipo non osservato, una proprietà che abbiamo riscontrato in tutti quegli oggetti di quel dato tipo che abbiamo osservato.
Siamo interessati a un insieme X con proprietà P. Osserviamo oggetti in un insieme Y tale che Y ⊂ X Constatiamo che tutti gli oggetti in Y hanno la proprietà Q Concludiamo che ad avere la proprietà Q è anche un oggetto in X ma non in Y
(⊂ sta per “strettamente contenuto in”)
Usando un esempio concreto:
Siamo interessati a dei corvi. Osserviamo un numero di corvi, che non sono tutti i corvi. Constatiamo che tutti i corvi che abbiamo osservato sono neri. Concludiamo che un dato corvo che non abbiamo ancora osservato è nero (il prossimo che vedremo, o alcuni, o tutti i corvi).
- L’induzione eliminativa (indelim)
E’ un tipo di induzione che si usa quando si cerca il fattore determinante di un fenomeno, o del possesso di una proprietà, o quando si cerca di basare la presenza di una relazione causale su una serie di regolarità.
Esempio: Siamo a cena fuori con cinque amici (a1,...,a5). a1,...,14 sono stati male dopo la cena. Vogliamo capire il fattore determinante del loro malessere. Abbiamo sentito a1,...,a4 e constatato che tutti loro hanno mangiato zuppa di pollo, e sono stati male. E’ sufficiente per capire il fattore determinante del malessere?
Si compie una inferenza:
(M(a1) ∧ Z(a1)) ∧ … ∧ (M(a4) ∧ Z(a4))
(M(a1) → Z(a1)) ∧ … ∧ (M(a4) → Z(a4))
∀ x (M(x) → Z(x))
Il problema con questo ragionamento è concludere che tutti quelli che stanno male hanno mangiato la zuppa ∀ x (M(x) → Z(x)). Ciò non ci consente di escludere che a5 abbia mangiato la zuppa ma stia bene. Non ci dà informazioni su ciò che accade in assenza del malessere. In questo caso, l’ies oscura il possibile ruolo di a5. Se lui non è stato male ma ha mangiato la zuppa, allora la zuppa non sarà da considerarsi il fattore determinante del malessere, perché sarà condizione necessaria del malessere, ma non condizione sufficiente.
Supponendo di sentire a5, e che ¬M(a5) ∧ Z(a5), quindi che non è stato male ma ha mangiato la zuppa), abbiamo come conclusione che l’ingestione della zuppa non è condizione sufficiente per il malessere e non può quindi essere un fattore determinante.
Si supponga che tutti gli altri (che sono stati male) hanno mangiato ostriche (O). Per capire se il mangiare O sia condizione necessaria e sufficiente a star male, dobbiamo sapere se a abbia mangiato O.
a5 non ha mangiato ostriche. Quindi: ((M(a1) ∧ O(a1) ∧…∧ (M(a4) ∧ O(a4)) ∧ (¬M(a5) ¬O(a5))) E tramite rdv (ragionamento deduttivamente valido): ((M(a1) → O(a1)) ∧…∧ (M(a4) → O(a4)) ∧ (¬M(a5) ¬O(a5))) Da qui concludiamo che: ∀x(((M(x) → O(x)) ∧ ((¬M(x) → ¬O))).
Questo ci consente di concludere che le ostriche sono il fattore determinante del malessere, perché ricorre in tutti quei casi in cui il malessere ricorre, e non ricorre in tutti quei casi in cui il malessere non ricorre.
L’induzione eliminativa consiste quindi nel considerare un insieme X caratterizzato dalla proprietà P e vedere se tutti gli oggetti in X che abbiano osservato la proprietà Q. Consiste anche nel considerare il complemento X̄ di X (caratterizzato dall’assenza di P) e vedere se Q si verifica anche per qualche oggetto in X̄. Se si verifica, escludiamo che Q sia un fattore determinante per gli oggetti in X.
Dato un insieme X (anche infinito) caratterizzato dalla proprietà P, un suo sottoinsieme finito di oggetti che abbiamo osservato (a1,a2,ecc), il complemento X̄ di X e un suo sottoinsieme (b1,b2, ecc):
(P(a1) ∧ Q(a1)) ∧…∧ (P(ak) ∧ Q(ak)) (¬P(b1) ∧ ¬Q(b1)) ∧…∧ (¬P(bk) ∧ ¬Q(bk))
∀ x((P(x) → Q(X)) ∧ (¬P(x) → ¬Q(X)))
Ovvero: si ha Q se e solo se si ha P.
E’ importante che gli insiemi in questione siano infiniti, altrimenti si tratterebbe di una induzione completa. Questa considerazione consente di capire che il caso della indigestione non fosse in realtà un vero e proprio caso di indelim. In questa forma, l’induzione completa può essere un utile strumento di controllo delle ipotesi esplicative.
Induzione da un solo caso.
Consiste nel proiettare a tutti gli oggetti di un dato tipo una proprietà riscontrata su un solo oggetto di quel tipo che abbiamo osservato. Non è mai un buono strumento di generalizzazione.
Esempio: Questa Toyota è blu. Quindi, la prossima Toyota che vedrò sarà blu. Questa Toyota è blu. Quindi, tutte le Toyota sono blu.
Induzione completa
Consiste nel riscontrare una proprietà in ciascun singolo elemento di un insieme, e concludere che tutti gli elementi di quell’insieme hanno la proprietà.
Supponiamo che a1,...,a6 siano gli inquilini di un condominio. Quindi: a1,...,a6 = X, dove X è l’insieme di inquilini. Si riscontra che a1,...,a6 hanno un’automobile. Concludo che tutti gli inquilini del condominio abbiano un’auto. Questa è un’induzione fasulla.
Dato un insieme X = (a1,...,a6) di cui osserviamo tutti gli elementi:
P(a1) ∧…∧ P(ak)
∀ xP(x)
Per un insieme di riferimento finito costituito da a1,...,an, P(a1) ∧ … ∧ P(ak) e ∀ xP(x) sono equivalenti.
