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D E 12 I^ V^ A^ T^ A
SIA F^ UNA^ FUNZIONE DEFINITA IN^ UN^ INTORNO^ DI^ Xo APPARTENENTE^ AL^ DOMINIO
DELLA MIA FUNZIONE , F SI DICE DERIVABILE IN^ X DI Xo SE ESISTE ED È FINITO IL
LIMITE PER^ h CHE TENDE^ A ZERO DEL RAPPORTO INCREMENTALE
lim flxoth) - ffxo) = (^) f' (xo)
h-☐ o
h
significato geometrico
IL RAPPORTO INCREMENTALE È^ IL^ COEFFICIENTE^ ANGOLARE^ DELLA^ REITA^ SECANTE^ DEL^ GRAFICO
DELLA MIA FUNZIONE NEI^ PUNTI^ P^ E^ Q^.
ffxoth) . Q
MPQ =^ =^ f(✗o -^ h)^ -^ f(✗^ a)^ =^ f-^ (✗0th)^ -^ f^ (✗^ a) =^ RAPPORTO^ INCREMENTALE
(Xo-^ h) -^ ✗o h
QUANDO Q TENDE A^ P^ AVRA
'
2 PUNTI^ COINCIDENTI ( REITA TANGENTE)
QUINDI (^) LA DERIVATA DELLA FUNZIONE IN UN^ PUNTO ✗ (^) UGUALE A ✗o NON È^ ALTRO (^) CHE IL (^) COEFFICIENTE
ANGOLARE DELLA REITA TANGENTE AL GRAFICO IN UN PUNTO ✗ = ✗ o
y - yo=^ mt^ (✗^ -^ ✗o) yo =^ flxo) mt^ -
LA PROPRIETÀ^ DI DERIVABILITÀ^ È^ MAGGIORE^ DI^ QUELLA DI^ CONTINUITÀ
LE RETTE PARALLELE All' ASSE Y HANNO COME COEFFICIENTE ANGOLARE ± a
1) ✗^ " = a✗^ a-^
'
LA DERIVATA DI UNA COSTANTE È UGUALE A 0
SE F È^ DERIVABILE IN ✗ =^ ✗ 0 ALLORA FÉ^ CONTINUA IN ✗^ =^ ✗o
NON VALE VICEVERSA - DES . Y = / ✗ I^ PK LA DERIVATA DESTRA E SINISTRA SONO DIVERSE
9=1× 1
- ☐ - ✗ '^ _^ ' = (^) -1 es
- D (^) + ✗ '^ -^ ' = (^) +..
CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI NON DERIVA BILITÀ^ (non (^) appartengono al dominio della (^) D)
LA DERIVATA DESTRA E SINISTRA ESISTONO IN ✗◦ E SONO DIVERSE TRA LORO, ALMENO UNA DELLE DUE E
'
FINITA
f'+^ (✗a) ≠^ f
' -
(Xo) →^ prima^ specie^ dei^ punti di^ discontinuità
- CUSPIDE : LA (^) DERIVATA DESTRA E (^) SINISTRA (^) SONO INFINITE MA DI SEGNO OPPOSTO (^) (discordi)
f-
'
- (^) (✗ (^) a) = ± & f ' - (✗^ a) = ± (^) &
- FLESSO A (^) TANGENTE VERTICALE : D
LA DERIVATA DESTRA E^ SINISTRA^ SONO^ INFINITE^ E CONCORDI
LA TANGENTE NEL PUNTO ✗^ o E
'
VERTICALE (asintoto verticale)
- PUNTO DI MASSIMO RELATIVO
SI DICE^ CHE^ Xo^ È^ UN^ PUNTO^ DI^ MASSIMO^ RELATIVO^ SE^ ESISTE^ UN^ INTORNO^ I^ DI^ ✗o TALE^ CHE
FA)^ ≤^ f(✗a) PER^ OGNI^ ✗^ APPARTENENTE^ A^ QUESTO^ INTORNO
IL VALORE M ASSUNTO^ DALLA^ FUNZIONE^ IN^ X, E
'
DEITO MASSIMO RELATIVO DELLA FUNZIONE
- PUNTO DI MINIMO (^) RELATIVO
SI DICE CHE^ Xo È^ UN PUNTO DI^ MASSIMO RELATIVO SE ESISTE UN INTORNO^ I DI ✗o TALE CHE
FA)^ ≥^ f(✗a) PER^ OGNI^ ✗^ APPARTENENTE^ A^ QUESTO^ INTORNO
IL VALORE^ M ASSUNTO^ DALLA^ FUNZIONE^ IN^ ×, E
'
DEITO MINIMO^ RELATIVO^ DELLA^ FUNZIONE
SE (^) QUELLO CHE (^) VALEVA LOCALMENTE VALE PER Tutto IL (^) DOMINIO ALLORA SONO DETTI PUNTI DI (^) MASSIMO 0 MINIMO ASSOLUTO
- PUNTI STAZIONARI :^ punti di^ Massimo, minimo^ e^ di^ flesso a^ tangente orizzontale PUNTI IN^ CUI^ LA^ DERIVATA^ PRIMA^ È^ UGUALE^ A^ ZERO
I PUNTI DI ESTREMO RELATIVO SONO^ PUNTI STAZIONARI MA NON^ VALE VICEVERSA
punti di^ flesso^ a^ tangente orizzontale
SE NELL'^ INTORNO^ DI^ UN^ CAMBIA SEGNO^ , P. STAZIONARIO^ E
'
DI
PUNTO (^) STAZIONARIO LA °^ ESTREMO RELATIVO
DERIVATA
° NON CAMBIA SEGNO
, P.^ STAZIONARIO^ E
'
Di
FLESS A^ TANGENTE^ RIZZONTALE^.
teorema derivata del prodotto
DIFIX)^
- (^) = (^) f' (x)^ - glx)^ tflx)^ . g' (×)
DERIVATA DEL PRIMO. IL SECONDO 1-^ IL PRIMO^ - DERIVATA DEL SECONDO
teorema del quoziente
DEI
gg,
= f'f)^ ' 94 ). flx). g. (×^ )
92 (X^ )
DERIVATA DEL NUMERATORE. DENOMINATORE - NUMERATORE. DERIVATA DEL DENOMINATORE DIVISO IL QUADRATO
DEL DENOMINATORE
derivata (^) funzione esponenziale e^ logaritmica ☐ (^) [è] =^ a " Ina ☐[è] =L "
the =^ è^ PERCHÉ lne =^1
[logà] =^ f.^ ma DI'ni ne
PS :^ NEI LOGARITMI ✗^ DEVE ESSERE MAGGIORE DI^ ZERO^ SENNÒ l'ARGOMENTO DEL LOGARITMO NON È
DEFINITO.
☐ (^) [ FA) + (^) gfx)] = DITA)] + DI - -91 ×-^5
- (^) [Kf/×)] =^ KD (^) [f- (X)] PER L'OPERAZIONE DI DERIVAZIONE VALE LA LINEARITÀ flx)# = f' ( × )= =
- (^) [×^
= -1×-2^ =
È
derivata funzione composta
☐ (^) [9/(-1×1)]= ' /FA)) - f' (^) (x) 9=(1/21-3)
ffx) =^ ✗^ ' +3 (^91) ×1=+
- (^) [( ✗ ' 1- 3)Il =3/✗ ' 1- (^) 3)2.^ ZX =^6 / ✗ (^73) )?^ ✗
CRITERIO DI^ MONOTONIA :
SIA f UNA FUNZIONE DERIVABILE IN^ UN^ INTERVALLO I
SE LA DERIVATA PRIMA >^0 ALLORA f È (^) STRETTAMENTE CRESCENTE
SE LA DERIVATA PRIMA <^0 ALLORA f E STRETTAMENTE DECRESCENTE
@ ⑨^ LA^ DERIVATA^ PRIMA^ SI^ ANNULLA^ IN^ X^ ,^ E^ ✗^2
STUDIO DEL SEGNO DI UNA DERIVATA
PER IL CRITERIO^ DI^ MONOTONIA SE UNA^ FUNZIONE E
' POSITIVA È^ CRESCENTE SE^ È^ NEGATIVA^ È^ DECRESCENTE
i.IO FA,) = punto di M relativo
1- ✗^ i -^ ✗a t^ f/ ✗
a) =^ "^ di^ M^ relativo
t t^ -^ -^ -^ t^ t -
FLESSO MINIM^ NASSIM
- FUNZIONE CONCAVA UNA FUNZIONE SI^ DICE^ CONVESSA (^) (CONCAVITÀ RIVOLTA^ VERSO^ L'ALTO) IN^ UN^ INTERVALLO I
SE PER OGNI COPPIA DI PUNTI ✗ , e Xz APPARTENENTI AD I IL SEGMENTO CHE UNISCE I^2
PUNTI È AL DI SOPRA DEL GRAFICO
- • FUNZIONE CONVESSA UNA FUNZIONE SI^ DICE^ CONCAVA (^) (CONCAVITÀ^ RIVOLTA^ VERSO^ IL^ BASSO) IN^ UN^ INTERVALLO^ I
SE PER OGNI COPPIA DI PUNTI ✗ , e Xz APPARTENENTI AD I IL SEGMENTO CHE UNISCE I^2
PUNTI È AL DI SOTTO DEL GRAFICO
Sef è convessa al^ crescere \ Crescono i (^) coefficienti D' risulta (^) crescente dei valori^ di^ ×^ angolari delle rette D^ " è (^) positiva tangenti nel^ punto di (^) ascissa ✗ Sef è^ concava^ al^ crescere \ decrescono^ i^ coefficienti D ' risulta decrescente dei valori di^ ×^ angolari delle rette D^ " è (^) negativa tangenti nel^ punto di (^) ascissa ✗
IL PUNTO ✗ o SI DICE DI FLESSO SE ESISTE :
- UN INTORNO DESTRO DI (^) Xo IN CUI F È CONVESSA
UN INTORNO SINISTRO DI^ ✗o IN CUI F^ È CONCAVA
2 ( b)
ES - ☐
§
✗ '
di →
/
✗ 2 " ☐ ¥ → (^) μ, ☐ FORMULA^ X^ RISOLVERLO
- 2 2+1^ f(B) - f- (^) (A) ☐ (^) o
' ¥ 12 ) - ¥ 1
✗ ti §
TEOREMA CALCOLO (^) ☐ Sia (^) flx) una (^) funzione continua in (^) Ia , b^ e sia Flx) una sua INTEGRALE (^) primitiva in^ a^ , b^.^ Allora^ :^ F/b) - Fla)
CALCOLO DELLE AREE
(^1) CURVA E ASSE X ^ A SPECCHIO^. F^ PARI, [ ?
/ MMETRKA Rispetto
☐ (^) {bffx)^ di^ AY^ - ☐^2 / "
flx)di
0 μF
. DISPARI^ , SIMMETRICA ;
> RISPETTO^ All'^ ORIGINE
Idx
- a ☐ (^) { ' flx)^ di^ - Sbflx) dx ( o
somma tra^ queste
aree fa sempre o
3 AREA COMPRESA TRA
2 TRA 2 CURVE CURVA E
ASSEY
{
( (×)^ - glx)) dx {
fly)^ dy si (^) scelgono
sull' asse y
