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Diffrazione di Bragg
Consideriamo un'onda piana incidente su un cristallo. Possiamo sicuramente pensare all'onda come un'onda di Schroedinger, anche se il fenomeno della diffrazione che andremo a studiare si manifesta per qualsiasi onda capace di interagire con il cristallo. Nel nostro caso, pensando all'onda di Schroedinger come rappresentativa di un fascio di elettroni liberi, considereremo il cristallo come un potenziale periodico V( r)
r che possiamo collegare con la distribuzione di carica dovuta ai protoni ed
elettroni del materiale. Essendo periodico, potremo descrivere il potenziale come:
( ) (^ )
∫^ ( )^ (^ )
∑
cella cella
G
G
G
Vrexp iGrd r V
V
Vr V expiGr
r rr r
r rr
r
r
r
Definito così il cristallo nello spazio, possiamo anche rappresentare l'onda piana tramite il suo vettore d'onda uˆ
k λ
π
r dove
uˆ^ è un vettore unitario diretto nella direzione dei "raggi", ossia nella direzione di propagazione dell'onda, perpendicolarmente ai fronti d'onda (le superfici equifase) che sono, per definizione, piani. Consideriamo ora come in ogni punto del cristallo l'onda possa subire una diffrazione locale, ossia una "frantumazione" ad opera della materia ed uno "sparpagliamento" dei raggi in ogni direzione. Si noti che con questo sottintenderemo che l'onda cambi solo di direzione, ma non di energia, ossia di lunghezza d'onda. Se ora uˆ^ ′^ è il vettore unitario in una possibile nuova
direzione, avremo k k
r r
′ ≠ , ma anche k k
r r ′ =.
Prendiamo ora due raggi dell'onda incidente, diffratti entro il cristallo nei punti P 1 e P 2 rispettivamente. Definiamo P 1 come l'origine di un sistema di riferimento ed indichiamo la posizione di P 2 tramite il vettore r r .
Notiamo che, dato il cristallo e l'onda
incidente k
r
, il ragionamento si può costruire scegliendo ad arbitrio la
direzione k ′
r
(per tenere in conto le molte possibili, ed anche simultanee, direzioni di diffrazione) ed i punti P 1 e P 2 (come si vedrà tra poco, sommeremo su tutti i punti del cristallo, per cui la scelta dei due punti di partenza sarà irrilevante). I due raggi incidenti non solo viaggiano paralleli, ma sono anche in fase tra loro. All'uscita dal cristallo però i due raggi
indicati dal vettore d'onda k ′
r
, benchè paralleli per costruzione, saranno diversi per la fase ϕ, in quanto frutto di percorsi ottici di lunghezza l differente.
λ
∆ ϕ= π
l 2
Per calcolare questo sfasamento, facciamo riferimento alla figura seguente, ed osserviamo che l è dato dalla somma dei segmenti s 1 e s 2 indicati, che a loro volta sono dati dalla proiezione di r
r su uˆ e su uˆ^ ′^ rispettivamente. Poiché le proiezioni hanno versi opposti, la seconda proiezione andrà presa col segno cambiato: ( ) ( ) uˆr
uˆr ruˆ ruˆ 2 2 s s 2 1 2 r r
r r ′ λ
π − λ
π
λ
= π λ
∆ ϕ= π ossia (k k)r
r r r
k
r
k ′
r
P 1
P 2
k
r
k
r
k
r
k
r
r
r
P
Ma che probabilità si avrà di avere realmente diffrazione in P 2? Se in quel punto vi fosse solo il vuoto, probabilmente il raggio non verrebbe diffratto in alcun modo, per cui la ampiezza dell'onda diffratta sarebbe nulla. Se invece vi fosse un atomo, l'effetto sarebbe ragionevolmente significativo. Si intuisce una proporzionalità tra ampiezza diffratta e valore locale del potenziale. Assegneremo dunque al raggio diffratto dal punto P 2 una ampiezza, fase e direzione date da
e i^0 V ( r) exp[i (k k)r]
r r r r α ϕ − ′
dove α è una costante e ϕ 0 la fase del raggio diffratto in P 1. Sommando ora su tutti i punti del cristallo (ossia su tutte le possibili posizioni di P 2 ) abbiamo la ampiezza (e fase) complessiva dell'onda diffratta:
= α ϕ ∫ ( ) [ ( − ′)] =α ϕ∑ ∫ ( ) [ ( − ′)] =α ϕ ∑ ∫ [ ( − ′+ )]
cristallo G cristallo
G
i G
G
i cristallo
A ei^0 Vrrexpikr kr rrdrr e^0 V expiGrrrexpikr kr rrdrr e^0 V expikr kr Grrrdrr r
r r
r
L'integrale in generale è nullo, essendo l'argomento una funzione oscillante, a valor medio nullo, calcolata su un grandissimo numero di periodi (celle). In generale, quindi non vi è alcuna onda diffratta. Tuttavia se l'esponente è nullo l'integrale è grandissimo, e si ha diffrazione. La condizione di diffrazione
viene definita Legge di Bragg.
Rappresentazioni della Legge di Bragg.
Caso unidimensionale. In una dimensione, l'onda incidente e l'onda diffratta hanno la medesima direzione. Poichè il modulo di k non cambia, questo significa o che k'=k (nel qual caso semplicemente non c'è diffrazione: l'onda prosegue imperturbata), oppure k'=-k. In questo caso, poiché anche il vettore del reticolo reciproco avrà una sola dimensione G=2πn/a, avremo -2k=2πn/a. Poiché n è un intero qualsiasi, potremo riconoscere in questa condizione la relazione
a
n k
π
che è la condizione per cui nel teorema di Bloch (caso unidimensionale) la funzione d'onda non è data da una semplice onda piana, ma da un'onda stazionaria. Come si vedrà più estesamente riprendendo quel teorema , il teorema di Bloch e la legge di Bragg sono due aspetti di un medesimo fenomeno.
Sfera di Ewald
Una semplice costruzione geometrica mostra la condizione di diffrazione data dalla legge di Bragg. Poichè k k
r r ′ = si
possono disegnare questi due vettori come raggi di una sfera. Avremo la accortezza di disegnare questa sfera sul grafico del
uˆ^ ′
r r P
uˆ
s 1 s 2
( k k k )
k G r r r
r r
∆ = ′ −
Più dettagliatamente, le zone di Brillouin si individuano e si numerano a partire dalla prima, intesa come la minima area racchiusa dagli assi dei vettori G, per passare alla seconda zona di Brillouin che è data dal poligono di area immediatamente superiore, "svuotato" di tutta l'area corrispondente alla prima zona, e così via per le altre aree. La loro visualizzazione diventa rapidamente complessa, ma ha un risultato interessante: tutte le zone di Brillouin hanno la stessa area, come si può intuire raggruppando per traslazione i "ritagli" che costituiscono le zone di Brillouin di ordine superiore.
Nell'esempio riportato nel disegno si vedono le zone prima, seconda e terza per un reticolo bidimensionale quadrato. Si noti come la "ricostruzione" della seconda e terza zona per verificare la uguaglianza delle aree si ottenga traslando ogni "triangolino" orizzontalmente o verticalmente esattamente di una spaziatura reticolare (ossia 2π/a). Questa è una anticipazione della cosiddetta "rappresentazione ridotta" delle zone di Brillouin.
a b
c
d
f e
g
h
b
c
d
f e
g
h
a
prima seconda terza
