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Risoluzione e diffrazione
La risoluzione di uno strumento ottico è la capacità di produrre immagini distinte di due oggetti molto vicini tra loro. La risoluzione è limitata dal fenomeno della diffrazione.
Alcune considerazioni sulla figura di diffrazione della singola fenditura
La diffrazione è un particolare fenomeno di interferenza che avviene quando un’onda incontra un ostacolo. L’onda, nello spazio oltre l’ostacolo, si propaga in direzioni diverse da quella dell’onda incidente, cioè viene deviata dall’oggetto. Le onde deviate si possono sovrapporre dopo aver percorso diversi cammini ottici dando origine a fenomeni di interferenza con conseguente distribuzione dell’energia e creazione delle figure di interferenza. l’effetto diventa tanto più rilevante e osservabile quanto più le dimensioni dell’ostacolo o dell’apertura sono simili alla lunghezza d’onda dell’onda incidente.
P
Fig. 1
Nella figura 1 è riportata la figura di diffrazione prodotta da una fenditura orizzontale, lunga e sottile, illuminata da una sorgente puntiforme (punto giallo) posta a grande distanza dalla fenditura in modo che l’onda che arriva sulla fenditura sia assimilabile ad un’onda piana. Anche lo schermo è dove si forma l’immagine è distante dalla fenditura in modo che l’angolo θ sia piccolo. L’immagine in bianco e nero è l’immagine che si osserva sullo schermo. Le righe chiare, che corrispondono ai massimi relativi di intensità, sono parallele alla fenditura. La curva in rosso rappresenta l’ intensità (energia per unità di tempo e di superficie) della figura di diffrazione. L’espressione analitica della curva in rosso è:
2
2 (^0) β
senβ I = I 1)
con β = (πbsenθ)/λ, in cui b è la larghezza della fenditura, θ è la distanza angolare tra il massimo centrale e il generico punto P sullo schermo e λ è la lunghezza d'onda della radiazione utilizzata. Il massimo centrale
Fig. 2
(Po), vedi figura 2, si ha per β = 0 e quindi θ = 0, il primo minimo (P 1 ) si ha per β = π e quindi senθ 1 = λ/b e poiché θ 1 è piccolo, θ 1 ≈ λ /b.
Fig. 3
Nel caso in cui la fenditura sia circolare la figura di diffrazione diventa una macchia circolare circondata da cerchi concentrici (figura 3^1 ). In questo caso la distanza angolare tra il centro della figura e il primo minimo è data da :
D
1 1.^22
dove D, è il diametro della fenditura circolare. Il fattore numerico tiene conto della geometria della fenditura.
Risoluzione e criterio di Rayleigh Se si hanno due sorgenti puntiformi vicine, le loro figure di diffrazione si sovrapporranno generando una figura complessa in cui potrebbe essere difficile riconoscere le immagini delle due sorgenti.
a) b)
Fig. 4 a b
Nella figura 4 sono mostrate le immagine di diffrazione di due sorgenti puntiformi prodotte da una fenditura circolare. Nella figura 4 a) le sorgenti sono poste a distanza sufficiente affinché i massimi centrali delle figure di diffrazione siano ben separati – c’è sovrapposizione del secondo massimo -. le immagini delle
(^1) Questa immagine, come quella di figura 1, è stata ottenuta con una esposizione particolarmente lunga per rendere visibili i
massimi secondari sino al quarto ordine. Normalmente è ben visibili solo il primo massimo e il secondo appare come un debole alone.
Potere risolutivo del microscopio Ogni strumento ottico è assimilabile ad una apertura, in genere circolare, per cui la sua risoluzione è limitata dagli effetti della diffrazione. Le condizioni geometriche descritte prima, in cui sorgente e piano immagine sono entrambi distanti dalla fenditura, sono del tutto analoghe a quelle delle condizioni di lavoro di un telescopio. Pertanto per un telescopio due sorgenti puntiformi sono considerate risolte se la loro distanza angolare è:
D
1 1.^22
Nel caso del microscopio, poiché l’oggetto (sorgente) è posto vicino all’obbiettivo, che non può essere considerato come una lente infinitamente sottile si deve usare la condizione dei seni di Abbe per lenti spesse che porta ad esprimere il limite di risoluzione in funzione dell’angolo sotto cui l’oggetto sottende l’apertura dell’obbiettivo (vedi figura 7). Inoltre si preferisce usare la distanza lineare tra le due sorgenti puntiformi piuttosto che la distanza angolare per cui, per un microscopio, due sorgenti puntiformi si ritengono risolte quando la loro distanza s è:
2 n sen(i )
s ⋅
λ ≥
Dove n è l’indice di rifrazione del mezzo in cui è posto l’oggetto, ed i è l’angolo definito nella figura 7, in cui la lente convergente rappresenta l’obbiettivo, D è il dimetro dell’obbiettivo e d è la distanza del punto oggetto dall’obbiettivo.
O
Fig. 7
D
d
i
