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Domini di funzioni
D. Barbieri
November 5, 2011
1 Esercizi
Determinare il dominio D delle seguenti funzioni.
Esercizio 1
f (x) =
|x + 1| − 3
Esercizio 2
f (x) =
|x^2 − 3 | − 1
Esercizio 3 f (x) =
|x + 1| − |x − 1 |
Esercizio 4 f (x) =
|x^2 + 4x| − |x + 2|
Esercizio 5
f (x) = log
|x| − 1 x^2 − 3
2 Soluzioni
Esercizio 1 Per determinare quando si annulla il denominatore
|x + 1| = 3 ⇔ x = 2 oppure x = − 4
dunque D = {x ∈ R | x 6 = 2, − 4 }
Esercizio 2 Analogamente all’Esercizio 1
|x^2 − 3 | = 1 ⇔ x^2 − 3 = 1 oppure x^2 − 3 = − 1
dunque D = {x ∈ R | x 6 = 2, − 2 ,
Esercizio 3 Dalla definizione della funzione radice quadrata, si ha che
D = {x ∈ R | |x + 1| − |x − 1 | ≥ 0 }
dunque occorre valutare la disuguaglianza
|x + 1| ≥ |x − 1 |
e questo pu´o essere fatto graficamente: in Figura 1 in blu si vede la funzione |x + 1| ed in rosso la funzione |x − 1 |, ed il dominio ´e dato dal luogo dei punti in cui la curva blu sta sopra alla curva rossa, dunque
D = {x ∈ R | x ≥ 0 }
Figure 1: Esercizio 3
Esercizio 4 Analogamente all’Esercizio 3
D = {x ∈ R | |x^2 + 4x| − |x + 2| ≥ 0 }.
Proviamo ad affrontare la disequazione
|x^2 + 4x| ≥ |x + 2|
svolgendo i valori assoluti. Abbiamo che
|x^2 + 4x| =
x^2 + 4x = x(x + 4) x > 0 oppure x < − 4 −(x^2 + 4x) − 4 < x < 0
mentre
|x + 2| =
x + 2 x > − 2 −(x + 2) x < − 2
dunque la disuguaglianza va ripartita su 4 intervalli:
x^2 + 4x ≥ x + 2 per x > 0 −(x^2 + 4x) ≥ x + 2 per − 2 < x < 0 −(x^2 + 4x) ≥ −(x + 2) per − 4 < x < − 2 x^2 + 4x ≥ −(x + 2) per x < − 4
La disequazione |x| − 1 x^2 − 3
´e verificata dove numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. Sono en- trambi positivi quando x >
3 oppure x < −
3, mentre sono entrambe negativi quando − 1 < x < 1, dunque
D = {x ∈ R |x < −
3 } ∪ {x ∈ R | − 1 < x < 1 } ∪ {x ∈ R |x >
Osserviamo che la nota propriet´a dei logaritmi
log
( (^) a b
= log a − log b a, b ∈ R+
va usata con attenzione quando al posto di a e b ci sono delle funzioni, che possono essere entrambe negative in determinati intervalli, come in questo caso. Se avessimo sviluppato subito
f (x) = log (|x| − 1) − log
x^2 − 3
non avremmo riconosciuto l’intervallo di dominio − 1 < x < 1. In generale quindi pu´o essere utile ricordare
log
( (^) a b
= log |a| − log |b| a, b ∈ R tali che a b
Figure 3: Esercizio 5. Le funzoni |x| − 1 (blu) e x^2 − 1 (verde).
