Duration convexity, Dispense di Matematica Finanziaria

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a. a. 2010- 11

Appunti su Duration e

Convexity

Corso di Metodi Quantitativi per le decisioni

Aziendali

G. Foschini

Indici Temporali ed Indici di variabilità

Consideriamo due (o più) progetti di investimento: se vogliamo confrontare e assegnare un ordine di preferibilità ai progetti stessi si deve considerare sicuramente la loro redditività. Spesso però i criteri di ordinamento dei progetti in base alla sola redditività non sono sufficienti: è necessario tener conto anche della struttura finanziaria dell’investimento e, quindi, della sua rischiosità. Consideriamo progetti con flussi certi (sia nell’importo che nelle scadenze): la rischiosità è intesa nel senso di non certezza del risultato reddituale ottenuto. Gli indicatori di rischio di cui ci occuperemo sono essenzialmente “indicatori temporali”.

Consideriamo un progetto A di investimento^1 con i seguenti flussi:

a =(-€100,00; €5,00; €5,00; €5,00;€105,00) t =( t 0 ; t 1 ; t 2 ; t 3 ; t 4 )

Il TIR di tale investimento è TIR(A)=5%. Definiamo orizzonte temporale del contratto l’intervallo [t 0 , tn]. Nel nostro esempio l’orizzonte temporale del contratto è [t 0 , t 4 ]. La “durata” dell’orizzonte temporale del contratto, tn-t 0 , è definita “vita a scadenza”, mentre l’epoca a cui è riferito l’ultimo flusso (tn) è la maturity dell’operazione finanziaria stessa: la maturity è il primo indicatore temporale di rischio: più un investimento è a lungo termine e più elevato è il suo livello di rischio. Se “semplifichiamo” lo scadenzario relativo all’investimento A, ponendo t 0 pari all’origine del tempo e ci riferiamo ad un’operazione finanziaria periodica^2 (per comodità con rate annue) il nuovo scadenzario diviene: t =( 0; 1; 2; 3; 4)

La maturity dell’investimento A è na =4 (anni) e coincide con la vita a scadenza. La maturity misura semplicemente la vita residua dell’investimento, senza tener conto di quali sono i flussi associati a ciascuna scadenza. Se ponderiamo ogni scadenza con il flusso che in tale epoca si verifica otteniamo la scadenza media aritmetica:

(^1) Si tratta di un investimento i cui flussi possono essere riferiti ad un coupon bond a tasso fisso, emesso e rimborsato alla pari. 2 Ovvero in cui la distanza temporale tra due flussi qualunque è sempre costante.

Se consideriamo la scadenza media aritmetica (1) e ponderiamo ciascuna scadenza con il valore attuale dei flussi otteniamo la durata media finanziaria o duration^3 :

( )

( )

∑ (^ )

∑

=

= ⋅

= (^) n s s

n s s a v s

s a v s DA 1

1 0 ,

Se ipotizziamo di lavorare in capitalizzazione composta, la (3) può esplicitarsi in funzione di tassi a pronti^4 䙨⠵ᆑ䙦0, ᡱ䙧䙩^ o in funzione dei tassi a termine 䙨ᡡ䙦0, ᡱ − 1, ᡱ䙧䙩. Se ipotizziamo una struttura per scadenza piatta, la (3) diviene ( flat yield curve duration ):

( )

( )

∑ (^ )

∑

=

−

=

−

⋅ +

= (^) n s s s

n s s s a i

s a i DA 1

1 1

Se esiste ed è unico il TIR dell’operazione finanziaria analizzata, possiamo porre TIR = i. In tal modo otteniamo un valore (approssimato) della Duration. Il denominatore della (3) e della (4) è il valore attuale dei flussi futuri calcolato in base al TIR, dunque, per la definizione stessa di TIR, è proprio il “prezzo” dell’investimento. Per costruzione la duration è la media aritmetica ponderata delle scadenze, calcolata usando come pesi il valore attuale dei flussi. La duration del progetto A è:

( ) 100 1 ,^053 , 72325 (anni)

2 3 4

DA =

La duration è una misura della rischiosità del progetto: più elevata è la duration e maggiore è la rischiosità associata al progetto in esame. Ha come limite superiore la maturity: (^) D ( (^) A ) (^) ∈ ( (^0) ; n ],

coincide con essa solo per progetti con una sola entrata (tipo operazioni finanziarie semplici), infatti:

(^3) Introdotta da Macaulay “… to signify the essence of the time element in a loan ” F. Macaulay, 1938 (Hicks, 1939).

(^4) Possiamo calcolare la duration anche in funzione della struttura per scadenza a pronti dei tassi istantanei, δ(0,t), o della struttura per scadenza a termine dei tassi istantanei δ(0,t-1,t). Si veda oltre.

( )

( ) ( )

∑ (^ )^ (^ )

∑ − =

− −

−

− −

⋅ + + ⋅ +

0

1 0 1 1

n s s s n n

n s s s n n a i a i

s a i na i D A (5)

Se il progetto ha un’unica entrata all’epoca n , la (5) diviene:

( ) (^ ) ( )

n a i

D A n a i n n

n n

⋅ +

−

− 1

La duration di una rendita a rata costante è

( )

( )

( )

( )

( )

( )

v^ n

nvn vn v

i i

nvn v

vn

a

i

a nv

a

Ia i

s i

R i

R s i DA

n i

n ni

ni

ni n s

s

n s

s n s

s

n s

s

∑

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

1

1

1

1

O, in termini di tasso:

( )

= n

i

n

i

i

vn

nv^ n

v

D A

La duration della rendita

1. è una funzione decrescente del tasso i;
2. è una funzione crescente del numero di rate della rendita (più in generale della maturity del cash-flow);
3. è invariante rispetto all’ammontare delle rate;
4. converge al crescere della maturity. Infatti:

i

i

in

n

i

D i

n n





 

 



 



lim lim^1

Graficamente quindi ha un asintoto orizzontale, di equazione 1 + i^ i (si veda la Figura 1).

La (5) evidenzia che la duration di un titolo con cedole calcolate a tasso costante è pari alla media ponderata della duration del flusso cedolare e della duration dello zero coupon bond con pesi pari ai valori attuali normalizzati del flusso cedolare e dello zero coupon bond:

V

nCv^ n

V

cV^ c

D

V

nCv n

V

Vc

Vc i

D c^ Ian

 

dove VC^ rappresenta il valore attuale del flusso di cedole, DC^ la duration del flusso di cedole, n la duration dello ZCB, Cv(0,n) il valore attuale dello ZCB e V=VC+Cv(0,n). Si può dimostrare che, dati due titoli aventi la stessa maturity, la relativa duration è tanto minore quanto maggiore è il tasso cedolare. Ciò equivale a dire che tra due obbligazioni aventi tassi nominali diversi, quella con cedole di importo maggiore – cioè con un maggiore tasso nominale – è a più breve termine. L’andamento della duration di un titolo a tasso costante è funzione della quotazione del titolo stesso. Esaminiamo i tre possibili casi (si veda la Figura 2):

1. titolo quotato sotto la pari (tasso di valutazione > tasso nominale): al crescere della maturity la duration raggiunge un massimo per poi convergere al valore 1 + i^ i ;
2. titolo quotato alla pari (tasso di valutazione = tasso nominale): al crescere della maturity la duration è monotòna crescente e converge al valore 1 + i^ i ;

3) titolo quotato sopra la pari (tasso di valutazione < tasso nominale) al crescere della maturity la duration è monotòna crescente e converge al valore 1 + i^ i.

Figura 2

Riassumendo, le proprietà della duration sono:

1. Dalla definizione di duration (media delle epoche ponderate con gli importi attualizzati) segue immediatamente che – se il flusso dell’operazione finanziaria prevede n esborsi – è D ≤ n, essendo D = n se e solo se il rimborso avviene in un’unica soluzione (es. zero coupon bond)
2. La duration decresce al crescere di ciascuno degli importi Rs se s è un’epoca precedente all’epoca duration, viceversa cresce (tendendo alla maturity) al crescere di Rs con s epoca successiva all’epoca duration (es.titoli a bassa cedola, cd. deep discount bonds). Infatti, se calcoliamo la derivata della duration rispetto al cash flow Rs otteniamo:

n

Duration D = n

sotto la pari

alla pari sopra la pari

(1 + i ) / i

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

2

1

1

1

1

2 n k s s

n k s s n s s s

n s s s

a v

sa v

av

s a v

v

i

D

Poiché la varianza, σ^2 , è

0

2

1

1

1

1

2 (^2) >

























= − ∑

∑

∑

∑

=

=

=

= n

s

s s

n

s

s s n

s

s s

n

s

s s

a v

sa v

a v

s a v σ

Segue

=−^2 < 0 ∂

∂ v σ i

D

La duration rappresenta “l’epoca ottima di smobilizzo”, ovvero l’epoca in cui, disinvestendo, si ottiene con certezza il rendimento preventivamente associato all’investimento, a prescindere dalle condizioni effettive del mercato. Definiamo, a tale scopo, il rischio di realizzo come la variazione del valore attuale dei flussi futuri di un progetto a seguito di variazioni dei tassi di mercato^8 ; e rischio di reinvestimento come la variazione del montante dei flussi relativi alle epoche precedenti di un progetto a seguito di variazioni dei tassi di interesse^9. Le due tipologie di rischio sono inversamente correlate e si bilanciano perfettamente all’epoca t = D.

Esempio 1

Calcolare il valore di smobilizzo all’epoca t =3 ( Calcoliamo il montante (o valore di reimpiego, Mt ) dei flussi dell’investimento A all’epoca t =3 nel caso di tassi fissi al 5%:

M 3 ( 5 % )^ = a 1 ⋅( 1 + i )^2 + a 2 ⋅( 1 + i )^ + a 3 =€ 5 ⋅ 1 , 052 +€ 5 ⋅ 1 , 05 +€ 5 =€ 15 , 61

Il valore attuale (o valore di realizzo, Vt ) del flusso all’epoca t= 4 è, sempre nel caso di tassi fissi al 5%:

V 3 ( 5 % ) = a 4 ⋅ 11 + i =€ 105 ⋅ 1 ,^105 =€ 100

Ricalcoliamo i due valori nel caso di tassi in aumento ( i 1 =6%):

M 3 ( 6 % ) = a 1 ⋅( 1 + i ) 2 + a 2 ⋅( 1 + i ) + a 3 =€ 5 ⋅ 1 , 062 +€ 5 ⋅ 1 , 06 +€ 5 =€ 15 , 92

V 3 ( 6 % ) = a 4 ⋅ 11 + i =€ 105 ⋅ 1 , 061 =€ 99 , 06

e nel caso di tassi in diminuzione ( i 2 =4%):

M 3 ( 4 % ) = a 1 ⋅( 1 + i ) 2 + a 2 ⋅( 1 + i ) + a 3 =€ 5 ⋅ 1 , 042 +€ 5 ⋅ 1 , 04 +€ 5 =€ 15 , 61

V 3 ( 4 % ) = a 4 ⋅ 11 + i =€ 105 ⋅ 1 ,^104 =€ 100 , 96

Dunque, il valore dell’investimento, all’epoca t =3, nell’ipotesi di vendita del progetto, è dato dalla somma di M 3 e di V 3 , che risulta, nelle tre ipotesi sui tassi:

( ) ( ) ( (^4) %) (^) € 116 , 57

3

3

3

=

W

W

W

Il rendimento associato all’investimento A, nell’ipotesi di mantenere fino a scadenza l’investimento è HPRannuo (5%)=5% HPRannuo (6%)=5,07% HPRannuo (4%)=4,93%

Se smobilizzo l’investimento ad un’epoca t > D prevale l’effetto reimpiego sull’effetto realizzo, infatti si ottiene un rendimento ex post maggiore nell’ipotesi di aumento dei tassi di interesse sul mercato.

Esempio 3

Calcolare il valore di smobilizzo all’epoca t =3,72 (=D) del progetto A, in tre ipotesi di mercato: a) tassi di mercato invariati (5%); b) tassi di mercato in aumento (6%); c) tassi di mercato in diminuzione (4%).

Calcoliamo il montante dei flussi dell’investimento A all’epoca t =3,72 e il valore all’epoca t del flusso futuro, nelle tre ipotesi sui tassi di mercato:

( 5 % ) ( 1 ) 51 , 052 ,^7251 , 051 ,^7251 , 050 ,^7216 , 329

3 1 3 , 72 =^ ∑ ⋅ +^3 ,^72 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

− s

M as i s

( ) ( )

1 , 05105 119 ,^920

V 3 , 72 = a 4 ⋅ + i 4 − 3 , 72 = 0 , 28 =

( 6 % ) ( 1 ) 51 , 062 ,^7251 , 061 ,^7251 , 060 ,^7216 , 603

3 1 3 , 72 =^ ∑ ⋅ +^3 ,^72 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

− s

M as i s

( ) ( )

1 , 06105 119 ,^9235

V 3 , 72 = a 4 ⋅ + i 4 − 3 , 72 = 0 , 28 =

( 4 % ) ( 1 ) 51 , 042 ,^7251 , 041 ,^7251 , 040 ,^7216 , 057

3 1 3 , 72 =^ ∑ ⋅ +^3 ,^72 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

− s

M as i s

( ) ( )

V 3 , 72 = a 4 ⋅ + i 4 − 3 , 72 = 0 , 28 =

Il tasso interno di rendimento associato all’investimento A, nell’ipotesi di mantenere fino all’epoca t =D l’investimento è HPRannuo (5%)=5% HPRannuo (6%)=5% HPRannuo (4%)=5%

Se smobilizzo l’investimento ad un’epoca t=D i due effetti si bilanciano perfettamente, infatti si ottiene un rendimento ex post sempre maggiore o uguale al tasso inizialmente previsto (5%) a prescindere dalle condizioni di mercato. Dimostriamo tale affermazione. Il valore di smobilizzo del progetto di investimento ad una generica epoca H è:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (^ )

( )

( ) (^) ∑ ( )

∑

∑ ∑

=

−

=

−

= +

− −

−

n s

H s s

n s s Hs

n sH

H s Hs s s Hs

H H H

i a i

a i

a i a i

W i M i V i

1

1

1 1

deriviamo la (7) rispetto ad (1+ i ):

( ) ( ) (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ ) ( ) ( ) ( ) (^)  

= + ⋅^ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ +

∑ ∑

∑ ∑

=

−

− −

=

−−

− − n s

n s s s

H s s

n s

n H s s s

H H s s

i H a i s a i

dWd ii H i a i i s a i

1 1

1

1

1 1

1

Cerchiamo un punto stazionario (quindi, per la condizione necessaria, un valore di H che renda la (8) pari a zero):

possibile dare un ordine di preferibilità tra essi. Ipotizziamo una struttura di mercato piatta al 5%, e calcoliamo il saldo finale delle tre alternative.

t saldi progetto A saldi progetto B saldi progetto C 0 1 € 50,00 € 230, 2 €102,50 € 473, 3 € 157,63 € 728, 4 € 215,51 € 995, 5 € 1.276,28 € 1.276,28 € 1.276,

Tutte le tre alternative hanno lo stesso saldo finale: dunque in ipotesi di struttura piatta i tre investimenti sembrano indifferenti. Il risultato però cambia nel momento in cui si ipotizza una struttura dei tassi crescente (o decrescente). Si supponga che sul mercato si osservano i seguenti tassi a pronti:

i (0,1)=5% ; i (1,2)=5,5%; i (2,3)=6%; i (3,4)=6,5%; i (4,5)=7%

Calcoliamo i saldi finali delle tre alternative ai tassi di mercato (Tabella 2):

t saldi progetto A saldi progetto B saldi progetto C 0 1 € 50,00 € 230,97 € - 2 € 102,75 € 474,65 € - 3 € 158,92 € 734,11 € - 4 € 219,24 € 1.012,80 € - 5 € 1.284,59 € 1.314,67 € 1.276,

HPR

(annuo)

Tabella 2 In caso di tassi di mercato crescenti, è preferibile investire nell’alternativa B, che presenta un saldo

finale maggiore ed un holding period return su base periodale maggiore. Se i successivi tassi a

pronti sono decrescenti, invece, è preferibile scegliere l’alternativa con i flussi intermedi più bassi.

Siano in vigore sul mercato i seguenti tassi a pronti:

i (0,1)=5% i (1,2)=4,5%

i (2,3)=4% i (3,4)=3,5%

i (4,5)=3%

Calcoliamo i saldi finali delle tre alternative ai tassi di mercato (Tabella 3):

t saldi progetto A saldi progetto B saldi progetto C 0 1 € 50,00 € 230,97 € - 2 € 102,25 € 472,34 € - 3 € 156,34 € 722,21 € - 4 € 211,81 € 978,46 € - 5 € 1.268,17 € 1.238,79 € 1.276,

HPR

(annuo)

Tabella 3 In ipotesi di tassi decrescenti risulta preferibile l’alternativa C, che garantisce il saldo finale e l’holding period return su base periodale maggiore.

Cosa distingue i tre progetti? Pur avendo lo stesso esborso iniziale, la stessa durata e lo stesso TIR, i tre progetti hanno una differente allocazione temporale dei flussi: l’alternativa C ha un unico ritorno all’epoca t =5, mentre le altre due hanno flussi intermedi, in particolare l’alternativa B ha flussi costanti nel tempo. Tale profonda diversità nella struttura temporale dei flussi è evidenziata dalla duration, che permette di ordinare i tre progetti in funzione della loro rischiosità e in funzione delle aspettative sull’andamento dei tassi di mercato.

( ) ( ) V ( ) i

i d i D dV i 0

⋅^ +

La duration quindi esprime l’elasticità del prezzo (valore attuale) al tasso di interesse. Il rapporto ( ) d ( i ) V ( ) i

dV i − (^10) + 0 prende il nome di volatilità e misura il tasso istantaneo di variazione del valore

attuale al variare del tasso di interesse i. Definiamo, quindi, volatilità

( ) ( ) i

D

V i Vol V i = =− 1 +

0

La (12) prende il nome di duration modificata. Infine, poiché

( ) ( )

( ) ( i ) D V i d i

dV i 1 + =− ⋅ 1 +

0 0

la duration è, a meno di una costante, la derivata prima della funzione valore attuale, dunque, per il

significato stesso di derivata in un punto, ne rappresenta la pendenza.

Per quanto detto, la duration è un coefficiente di proporzionalità: più elevata è la duration e tanto più il prezzo del titolo è sensibile a variazioni del tasso di interesse (il progetto con duration elevata è più rischioso del progetto con duration più bassa).

Esempio 5

Si considerino i due progetti (di investimento in titoli) descritti nella Tabella 4:

t At Bt 0 - € 1.000,00 - € 1.000, 1 € 301,92 € - 2 € 301,92 € - 3 € 301,92 € - 4 € 301,92 € 1.360, TIR 8% 8% Duration 2,40395978 4 Volatilità 2,22588868 3, Tabella 4

Poiché D(A)