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Mercato dei titoli a reddito fisso
(bozza)
Mario A. Maggi
a.a. 2008/
Indice
1 Introduzione 1
2 Valutazione dei titoli a reddito fisso 2 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)................ 4 2.2 Obbligazioni (coupon bond).................... 4 2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo............... 8
3 Sensibilit`a dei valori al tasso di interesse 10 3.1 Immunizzazione........................... 13
4 Struttura per scadenza dei tassi di interesse 18 4.1 Tassi a pronti............................ 19 4.2 Tassi a termine........................... 23 4.3 Valutazione titoli indicizzati (paragrafo incompleto)...... 30 4.4 Immunizzazione e struttura per scadenza............ 32
5 Esercizi 33
1 Introduzione
Queste dispense costituiscono una breve introduzione agli strumenti e alle tecniche per valutare e gestire titoli a reddito fisso. Il mercato dei titoli a reddito fisso fornisce anche le informazioni necessarie per ricavare i tassi di va- lutazione di mercato riferiti a periodi di impiego diversi, la cosiddetta struttura per scadenza dei tassi di interesse. Il tasso di interesse `e una grandezza che riflette le preferenze intertempo- rali degli individui. Per il postulato di impazienza, (come appreso nel corso di Microeconomia) un agente economico preferisce il consumo immediato di un
2 2. Valutazione dei titoli a reddito fisso
determinato bene, al suo consumo posticipato. Per questa ragione, per indurre un consumatore a posticipare, almeno in parte, i propri consumi occorre un “premio”: a fronte della rinuncia al consumo presente, si offre un consumo dif- ferito, ma superiore in quantita. Questa puo essere una spiegazione plausibile dell’esistenza dell’interesse. Per studiare il tasso, o meglio i tassi di interesse, sarebbe utile trovare un mercato in cui gli agenti contrattano proprio sulla base dei tassi di interesse. Ebbene, questo mercato esiste: si tratta del mercato dei titoli a reddito fisso. Su questo mercato vengono fissati i prezzi di titoli che promettono determinati pagamenti in date future. Semplificando, si possono considerare solo due cate- gorie di titoli: i titoli di puro sconto (detti anche a capitalizzazione integrale o zero coupon bond) e quelli con cedole (coupon bond). I titoli indicizzati preve- dono flussi di cassa legati all’evoluzione di variabili economiche e finanziarie, per esempio il tasso di inflazione, il tasso ufficiale di sconto, il tasso dei BOT a un anno, ecc.. Mi occupero di loro nel paragrafo 4.3. Un titolo di puro sconto ha una struttura molto semplice: a fronte del pagamento del prezzo di acquisto, promette il versamento di una certa somma, il valore nominale o facciale, alla data di scadenza (maturity). Vengono detti di puro sconto, perch´e al momento dell’acquisto si paga un prezzo (inferiore al valore nominale) pari al valore attualizzato (scontato) dell’incasso futuro. Tali titoli si chiamano anche zero coupon, perch´e durante la loro vita non prevedono l’incasso di nessuna cedola (coupon). I BOT (buoni ordinari del tesoro) italiani sono un esempio tipico di titoli di puro sconto. Un titolo con cedole (coupon bond) a fronte del pagamento del prezzo di acquisto, promette il pagamento di determinate somme (le cedole) a date stabilite; inoltre, alla scadenza finalee previsto il rimborso del valore nominale (a cui eventualmente si aggiunge un premio di rimborso). I BTP (buoni del tesoro poliennali) italiani e molte obbligazioni sono titoli di questo tipo.
2 Valutazione dei titoli a reddito fisso
In generale un titolo a reddito fisso A e un titolo di credito che da al possessore il diritto di incassare le somme ak alle date tk. Presento ora un po’ di termini tecnici riguardanti i titoli a reddito fisso. L’importo scritto sul titolo viene detto valore nominale o facciale. I titoli possono essere di vario taglio, intendendo per taglio la dimensione in termini di valore nominale di un singolo titolo. Di solito il taglio di un titolo e mul- tiplo del taglio base, ad esempio 2· 000 e. Per ragioni pratiche, ci si riferisce comunemente ad un taglio fittizio di 100 e di valore nominale per il calcolo del prezzo (valore o corso) del titolo. Il corso di un titoloe proprio il prezzo di 100 e di valore nominale. Se il titolo prevede delle cedole, cio`e corrisponde pe-
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4 2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)
2.1 Titoli di puro sconto (zero coupon)
Nel caso di un titolo zero coupon, e previsto un solo incasso C al tempo t, per cui il suo valoree V (0, y) = Cvt. (2.1)
Ad esempio un titolo zero coupon che pagher`a 2· 000 e (valore nominale) fra un anno, se valutato al tasso annuo del 4%, ha un valore pari a
V (0; 0,04) = 2· 000
≃ 1 · 923 , 08 e.
Come detto sopra, la quotazione di questo titolo appare nei listini riferita ad un taglio fittizio di 100, per cui avr`a un corso di
che significa che 100 e di valore nominale costano 96, 154 e; in questo modo `e facile trovare il prezzo di un titolo dal valore nominale di 2· 000 e:
96 , 154 100
× 2 ·000 = 1· 923 , 08 e.
2.2 Obbligazioni (coupon bond)
Un po’, ma non molto, piu complessae la valutazione dei titoli obbligazionari che prevedono cedole. Considero un titolo dal valore nominale C che paga n cedole annue calcolate al tasso annuo cedolare i e che prevede a scadenza, dopo n anni dall’emissione, il rimborso di R. Se R = C, si dice che il rimborso e alla pari, se invecee R > C o R < C, si dice, rispettivamente, sopra o sotto la pari. L’importo di ogni cedola annuale e Ci. Il prezzo di emissione di questo titolo, calcolato al tasso annuo di valutazione y, che puo essere diverso da i, `e^1
V (0, y) = Ci a (^) n y + R (1 + y)−n^. (2.2)
Se la valutazione viene fatta ad una data t successiva a quella di emissione, il principio non cambia: si calcola il valore attuale alla data t dei flussi di cassa
(^1) Ricordiamo la definizione di a (^) n y : e il simbolo che indica il valore attuale, calcolato in capitalizzazione composta al tasso periodale y, di una rendita periodica, immediata, postici- pata, con n rate costanti ed unitarie. La rendita considerata prevede quindi rate di importo 1, pagate alle date 1, 2 ,... , n ed il tasso ye relativo al periodo che intercorre fra una rata e la successiva. Si pu`o facilmente ricavare a (^) n y = 1 −(1+y) (−1) y.
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2.2 Obbligazioni (coupon bond) 5
futuri. Il valore al momento t = (h + f ) ≥ 0, con h intero e 0 ≤ f < 1, di un titolo emesso al momento 0 e percio^2
V (t, y) = Ci
¨a (^) n−h y
(1 + y)−(1−f^ )^ + R (1 + y)−(n−t)^ ,
che riscrivo in modo equivalente:
V (t, y) = Ci
1 + a (^) n−h− 1 y
(1 + y)−(1−f^ )^ + R (1 + y)−(n−t)^. (2.3)
Ovviamente se le cedole avessero una periodicita non annuale (spesso infat- ti sono semestrali), basterebbe nelle (2.2) e (2.3) misurare i tempi nell’unita opportuna e usare il tasso effettivo equivalente riferito alla stessa unita di misura. Quando le cedole hanno frequenza infra-annuale, cioe ci sono k cedole all’anno, nella pratica il tasso nominale i annuo va inteso come tasso nominale annuo convertibile (pagabile) k volte l’anno, per cui il tasso effettivo da usare
`e i k
e le cedole sono pari a C i k
. Quindi, un’obbligazione con cedole semes-
trali al tasso annuo nominale 5%, prevede in realt`a cedole semestrali al tasso
semestrale pari a
= 2,5%, cioe cedole di importo 0, 025 C. Le (2.2) e (2.3), quando valutate per un titolo dal valore nominale di 100, forniscono rispettivamente il corso di emissione ed il corso tel quel, cioe il valore di mercato di 100 e di valore nominale del titolo in oggetto. Quando il corso e pari a 100, si dice che il titoloe alla pari, quando invece e superiore o inferiore a 100, si dice, rispettivamente, sopra o sotto la pari. Nella figura 2.1e rappresentato il corso tel quel di un’obbligazione quinquennale emessa a t = 0, con cedole annue, tasso cedolare 4% annuo e rimborso alla pari. Tale corso e calcolato per t ∈ [0, 5] al tasso del 3,5% annuo costante per tutto il periodo. Il grafico mostra che, all’avvicinarsi delle date di godimento, il corso tel quel (il valore di mercato) dell’obbligazione cresce in conseguenza all’avvicinarsi dei ricavi futuri. Al contrario, in occasione del pagamento (detto stacco) delle cedole, il corso tel quel del titolo subisce un salto verso il basso pari all’importo della cedola (in questo caso 4). Un valore che dipende dalla vicinanza della data di godimento puo “infas- tidire” gli operatori di mercato. Infatti, sui listini ufficiali non compare il corso tel quel, ma il corso secco, cioe un corso depurato dal rateo (o dietimo) Ci f di interessi maturati dall’ultimo godimento, ma non ancora esigibili, cioe la porzione f gia maturata della cedola, dove fe il rapporto fra il tempo trascor- so dall’ultimo godimento ed il tempo che separa due godimenti successivi. Il
(^2) L’orribile simbolo ¨a (^) n y indica il valore attuale di una rendita con le caratteristiche di quella descritta in nota 1 , ma anticipata, per cui prevede quindi rate di importo 1, pagate alle date 0, , 12 ,... , (n − 1). Si pu`o facilmente ricavare ¨a (^) n y = (1 + y)a (^) n y.
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2.2 Obbligazioni (coupon bond) 7
Spesso nella pratica si dice che il corso tel quel e pari al corso secco maggio- rato del rateo di interessi maturati V (t, y) + Ci f. In questo modo pero si di- mentica l’attualizzazione del rateo, sopravvalutando il titolo di un ammontare
pari a Ci f
1 − (1 + y)−(1−f^ )
Di solito, al momento dell’emissione, i titoli a reddito fisso vengono venduti per mezzo di un’asta di collocamento. Lo scopo di questa procedura e quello di far emergere il valore di mercato (2.2). Immaginiamo, al contrario, una col- locazione a prezzo fisso. Se il prezzo fosse troppo alto, cioe se il titolo avesse un rendimento inferiore al tasso di mercato, nessuno sarebbe disposto ad ac- quistarlo e l’emittente non riuscirebbe a finanziarsi. Se invece il prezzo fosse troppo basso, cioe se il titolo avesse un rendimento superiore al tasso di mer- cato, i titoli “andrebbero a ruba”: l’emittente riesce a finanziarsi, ma incassa dall’emissione dei titoli meno di quanto potrebbe. Il vantaggio in questo caso lo avrebbero gli acquirenti dei titoli. Costoro potrebbero rivenderli immediata- mente al prezzo di mercato (2.2) superiore a quello di emissione ottenendo un guadagno certo e non rischioso, quello che viene chiamato arbitraggio^3. Per- cio l’interesse dell’emittente e quello di piazzare i titoli al prezzo di mercato. Tornero sul concetto di arbitraggio nel paragrafo 4 , qui vale gia la pena osser- vare che quando sul mercato si trova una opportunita di arbitraggio, significa che qualche operatore (in questo caso l’emittente) non si sta comportando in modo razionale. Inoltre, si puo dimostrare che l’assenza di opportunita di arbitraggio e una condizione necessaria per l’equilibrio del mercato. Il tasso nominale dei titoli puo non coincidere con il tasso di mercato per operazioni analoghe. Inoltre, nel determinare il prezzo di acquisto, gli operatori tengono conto di tutti i costi accessori e del trattamento fiscale degli interessi. Per cui indicando con S le commissioni d’acquisto, con c′^ la cedola al netto della ritenuta fiscale^4 e con R′^ il rimborso al netto di oneri e spese le (2.2) e (2.3) diventano
V (0, y) = c′^ a (^) n y + R′^ (1 + y)−n^ − S, V (t, y) = c′^
1 + a (^) n−h− 1 y
(1 + y)−(1−f^ )^ + R′^ (1 + y)−(n−t)^ − S.
Dall’altra parte l’emittente si trover`a di fronte ad un’operazione che prevede spese di emissione e di rimborso. Indicando con N il numero di obbligazioni
(^3) Attenzione ai termini, non si tratta di speculazione. Nelle operazioni di arbitraggio si sfrutta una situazione di mercato per avere un guadagno certo, cioe senza rischio. Nelle speculazioni invece, l’operazionee rischiosa: lo speculatore prende un rischio, non perch´e ama rischiare, ma perch´e nelle sue valutazioni l’operazione prevede un compenso adeguato per il rischio preso. (^4) Sar`a c′^ = Ci (1 − z) , con z tasso di ritenuta fiscale.
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8 2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo
emesse e con Q le spese di emissione, l’incasso effettivo derivante dall’emissione dei titoli e N V (0, y) − Q. Inoltre, occorre considerare anche le spese accessorie Qc^ e QR, rispettiva- mente, per il pagamento delle cedole e per il rimborso finale. Quindi, il tasso a cui l’emittente effettivamente si finanziae il tasso x che soddisfa la seguente equazione
N V (0, y) − Q = (N Ci + Qc) a (^) n x +
N R + QR
(1 + x)−n^.
E facile dedurre che^ x > y, cioe l’emittente si finanzia ad un tasso effettivo superiore al tasso di mercato.
2.3 Obbligazioni a rimborso progressivo
Se una societa si finanzia emettendo obbligazioni come visto nel paragrafo precedente, si trova di fronte all’ammortamento di un prestito con pagamen- to periodico degli interessi e rimborso finale del capitale. Puo capitare che l’emittente abbia l’esigenza di un prestito con rimborso progressivo (di tipo francese, uniforme o altro). In questo caso alle date previste dovra pagare le cedole a tutti i titoli in circolazione e rimborsera una parte dei titoli in cir- colazione. Spesso la scelta dei titoli da rimborsare alla data k ∈ { 1 , 2 ,... , n} e effettuata mediante estrazione a sorte di Nk obbligazioni (ovviamente con N 1 + N 2 + · · · + Nn = N ). In questo caso ogni obbligazione da diritto a flussi di cassa futuri aleatori: l’incasso delle cedole future dipende dalla data di estrazione del titolo, data alla quale si avra anche il rimborso del capitale. Percio posso rappresentare cedole e capitale di rimborso per mezzo di variabili aleatorie. La k-esima cedola prevede quindi: un incasso pari al suo ammontare se il titolo non e stato rimborsato prima di k; un incasso nullo in caso con- trario. Ad ogni data k il capitale di rimborso prevede: un incasso pari al suo ammontare se il titoloe estratto in quel momento; un incasso nullo in caso contrario. Per calcolare il valore di un titolo, calcolo il valore attuale al tasso di mercato dei valori medi dei pagamenti previsti per ogni data.
Esempio 2.2 Considero un prestito obbligazionario triennale costituito da 300 obbligazioni ciascuna con valore nominale 1 · 000 e. Sono previste cedole annue calcolate al tasso cedolare del 3%. Ogni anno si estraggono a sorte 100 obbligazioni che vengono rimborsate pagando un valore di rimborso pari a 1 · 050 e. Il tasso di mercato per operazioni analoghe `e il 3% annuo. Calcolo il corso di emissione di un’obbligazione. Chi sottoscrive un’obbligazione al momento dell’emissione: dopo un anno:
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10 3. Sensibilit`a dei valori al tasso di interesse
Proviamo ora a calcolare il tasso interno di rendimento di un investimento nel- l’obbligazione considerata. Anche per questo abbiamo 3 casi possibili, ognuno con probabilit`a 13 :
- obbligazione rimborsata dopo un anno, tasso interno x 1 tale che
1 · 047 ,14 = (30 + 1·050) (1 + x 1 )(−1)^ , x 1 ≃ 3 , !14%;
- obbligazione rimborsata dopo due anni, tasso interno x 2 tale che
1 · 047 ,14 = 30a (^2) x 2 + 1·050 (1 + x 1 )(−2)^ , x 2 ≃ 3%;
- obbligazione rimborsata dopo tre anni, tasso interno x 3 tale che
1 · 047 ,14 = 30a (^3) x 3 + 1·050 (1 + x 1 )(−3)^ , x 2 ≃ 2 ,95%;
3 Sensibilit`a dei valori al tasso di interesse
Considero un generico titolo a reddito fisso A che da il diritto di incassare le somme ak alle date tk. Nei paragrafi precedenti si sono visti titoli dalla struttura semplice come i titoli zero coupon e i titoli a cedola fissa. Per i primi ho solo il capitale a 1 pari al valore nominale, con t 1 la scadenza del titolo. Per i secondi ak = Ci, tk = k, k = 1,... , (n − 1) e an = R + Ci, tn = n. Per semplicita pongo ora il tempo di valutazione t pari a 0 (non la data di emissione come sopra), caso al quale posso sempre ricondurmi ridefinendo opportunamente tutte le date coinvolte. Il valore al momento t = 0 del titolo A `e pari al valore attuale, calcolato al tasso di mercato y, dei flussi di cassa futuri V A^ (y) =
∑n k= ak (1 + y)−tk^ , (3.1)
oppure, in modo equivalente, posso esprimere il valore (3.1) in funzione del corrispondente tasso istantaneo δ = ln (1 + y):
V A^ (δ) =
∑n k=1 ake
−δtk (^). (3.2)
Si noti l’abiuso di notazione nelle (3.1) e (3.2). Per la precisione dovrebbe essere, rispettivamente, V (^) yA (y) e V (^) δA (δ), ma diventerebbe piu pesante. Una caratteristica tipica dei titoli a reddito fisso (con pagamenti certi) sta nel fatto che il loro valore dipende solo dai tassi di interesse, essendo fissi flussi e scadenze future.E interessante capire come varia il valore di A al variare del tasso di valutazione. Infatti, se si considerano due titoli zero coupon entrambi dal valore nominale 1· 000 e e con scadenze, rispettivamente, 1 anno e 2 anni,
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- Sensibilit`a dei valori al tasso di interesse 11
e facile notare che se il tasso di valutazione passa dal 3% al 3,5%, il secondo titolo subisce una diminuzione di valore piu forte:
V 1 (3%) =
≃ 970 , 87 V 1 (3,5%) =
≃ 966 ,18, variazione ≃ − 0 ,48%;
V 2 (3%) =
(1,03)^2
≃ 942 , 60 V 2 (3,5%) =
(1,035)^2
≃ 933 ,51, variazione ≃ − 0 ,96%.
Appare cosı che un indicatore della sensibilita di un titolo a variazioni nel tasso di interesse debba in qualche modo essere legato alla durata residua del titolo. Usando lo sviluppo in serie di Taylor di primo ordine (con resto di Peano), si pu`o esprimere la variazione nella funzione derivabile f (x) conseguente da una variazione ∆x in x come
∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x) = f ′^ (x) ∆x + o (∆x) ,
dove o (∆x) e un infinitesimo di ordine superiore a ∆x, cioe lim ∆x→ 0
o (∆x) ∆x
Perci`o se approssimo la variazione in f trascurando il termine o (∆x) com- metto un errore “piccolo” per variazioni ∆x “piccole”: f (x + ∆x) − f (x) ≃ f ′^ (x) ∆x. Per applicare questa approssimazione alle (3.1) e (3.2) calcolo le derivate necessarie
d dy V A^ (y) =
d dy
[∑n k=1 ak^ (1 +^ y)
−tk
]
∑n k=1 ak^ (−tk) (1 +^ y)
−tk− (^1) =
= − (1 + y)−^1
∑n k=1 tkak^ (1 +^ y)
−tk (^) ,
d dδ
V A^ (δ) = d dδ
[∑n k= ake−δtk
]
∑n k= ak (−tk) e−δtk^ = −
∑n k= tkake−δtk^ , (3.3)
per cui si ha
V A^ (y + ∆y) − V A^ (y) ≃
[
− (1 + y)−^1
∑n k=1 tkak^ (1 +^ y)
−tk
]
∆y =
= − (1 + y)−^1 V A^ (y)
( ∑n k=1 tkak^ (1 +^ y)
−tk V A^ (y)
∆y,
V A^ (δ + ∆δ) − V A^ (δ) ≃
[
∑n k=1 tkake
−δtk
]
∆δ = −V A^ (δ)
( ∑n k=1 tkake
−δtk V A^ (δ)
∆δ. (3.4)
Le espressioni fra parentesi tonde ∑n k=1 aktk^ (1 +^ y)
−tk V A^ (y)
∑n k=1 aktk^ (1 +^ y)
−tk ∑n k=1 ak^ (1 +^ y)
−tk e
∑n k=1 aktke −δtk V A^ (δ)
∑n k=1 aktke −δtk ∑n k=1 ake−δtk
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3.1 Immunizzazione 13
V 2 (3,5%) − V 2 (3%) = 933, 51 − 942 ,60 = − 9 , 09 e,
V 2 (3,5%) − V 2 (3%) ≃ V 2 (3%)
0 , 005 ≃ − 9 , 15 e.
Per titoli piu complessi la duratione appunto una durata media, essa dipende dal tasso di valutazione e dalla distribuzione dei flussi di cassa nel tempo. Si consideri per esempio il caso di titoli con cedole: il titolo A prevede 3 cedole annue di importo 60 e ed un rimborso finale al termine del terzo anno di 1· 000 e; il titolo B prevede 3 cedole annue di importo 30 e ed un rimborso finale al termine del terzo anno di 1· 000 e. Il tasso istantaneo di mercato `e δ = 3,5%, e le duration sono
dur (A, δ = 3,5%) =
1 × 60 e−^0 ,^035 + 2 × 60 e−^2 ×^0 ,^035 + 3 × 1060 e−^3 ×^0 ,^035 60 e−^0 ,^035 + 60e−^2 ×^0 ,^035 + 1060e−^3 ×^0 ,^035
cio`e 2 anni e 0, 839157 × 365 ≃ 306 giorni circa;
dur (B, δ = 3,5%) = 1 × 30 e−^0 ,^035 + 2 × 30 e−^2 ×^0 ,^035 + 3 × 1030 e−^3 ×^0 ,^035 30 e−^0 ,^035 + 30e−^2 ×^0 ,^035 + 1030e−^3 ×^0 ,^035
cioe 2 anni e 0, 912719 × 365 ≃ 333 giorni circa. Quanto sopra indica che un titolo con una cedola piu piccola (rispetto al capitale di rimborso) e piu sensibile a variazioni nel tasso di mercato di un titolo con cedola pi`u alta.
3.1 Immunizzazione
Calcolo ora la derivata seconda del valore V A^ (δ) di un titolo a reddito fisso rispetto al tasso istantaneo δ di valutazione
d^2 dδ^2 V A^ (δ) =
d dδ
∑n k=1 tkake
−δtk
∑n k=1 (tk)
(^2) a ke −δtk (^) = V A (^) (δ)
( ∑n k=1 (tk)
(^2) a ke−δtk V A^ (δ)
l’espressione fra parentesi viene detta duration di secondo ordine o convexity conv (A, δ). Fra breve sara chiaro il suo ruolo. Se si considera un portafoglio, cioe un’operazione finanziaria che consiste nell’acquisto di diversi titoli in quantita determinate,e facile calcolare la sua duration: la duration di un portafoglio `e pari alla media delle duration dei titoli che lo compongono, con pesi dati dai valori attuali dei vari titoli. Per esempio
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14 3.1 Immunizzazione
un portafoglio che chiamo x, composto da due titoli, A e B, ha duration calcolata al tasso istantaneo δ `e
dur (x, δ) = dur (A, δ) V A^ (δ) + dur (B, δ) V B^ (δ) V A^ (δ) + V B^ (δ)
Nello stesso modo, un portafoglio y composto dall’acquisto del titolo A e dall’emissione (indebitamento o vendita allo scoperto) del titolo B ha duration
dur (y, δ) =
dur (A, δ) V A^ (δ) + dur (B, δ)
[
−V B^ (δ)
]
V A^ (δ) + [−V B^ (δ)]
Lo stesso vale per la convexity
conv (x, δ) = conv (A, δ) V A^ (δ) + conv (B, δ) V B^ (δ) V A^ (δ) + V B^ (δ)
Per un portafoglio x la (3.3) diventa
d dδ V x^ (δ) = −V x^ (δ) dur (δ) (3.7)
e la (3.6) d^2 dδ^2 V x^ (δ) = V x^ (δ) conv (δ). (3.8) Naturalmente, il valore di mercato V x^ (δ) di un portafoglio x `e pari alla somma dei valori di mercato dei titoli che lo compongono
V x^ (δ) = V A^ (δ) + V B^ (δ).
In modo equivalente, il valore di mercato di un portafoglio `e pari al valore attuale al tasso di mercato dei flussi di cassa futuri previsti dal portafoglio
V x^ (δ) =
∑n k=1 (ak^ +^ bk)^ e
−δtk (^).
Un portafoglio x si dice immunizzato se, a seguito di “piccole” variazioni nel tasso di mercato, il suo valore V x^ (δ) non subisce diminuzioni. In termini piu formali, un portafoglioe immunizzato se il suo valore di mercato V x^ (δ) `e un minimo almeno locale rispetto a δ.
Teorema 3.1 (di Redington) Sia δ il tasso istantaneo di mercato; sia il portafoglio x composto da flussi di sole entrate future A (per esempio l’acquisto di un titolo) e da flussi di sole uscite future B (per esempio un’emissione o una vendita allo scoperto). Se valgono le seguenti condizioni
V A^ (δ) = −V B^ (δ) , dur (A, δ) = dur (B, δ) , conv (A, δ) > conv (B, δ) ,
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16 3.1 Immunizzazione
titoli
V H^ = 100 (1,035)−^1 ≃ 96 , 618
V K^ = 5a (^3 0). 035 + 100 (1,035)−^3 = 5
1 − (1,035)−^3
+ 100 (1,035)−^3 ≃ 104 , 202
dur (H) = 1
dur (K) =
1 × 5 (1,035)−^1 + 2 × 5 (1,035)−^2 + 3 × 105 (1,035)−^3
conv (H) = 1^2 = 1
conv (K) =
12 × 5 (1,035)−^1 + 2^2 × 5 (1,035)−^2 + 3^2 × 105 (1,035)−^3
Indicando con h la quantit`a di valore nominale acquistata del titolo H e con k quella di K, le entrate future, che chiamo A come nel teorema 3.1, hanno valore di mercato duration e convexity pari a
V A^ = h
V H
V K
= 0, 96618 h + 1, 04202 k
dur (A) =
dur (H) h V^ H 100 + dur (K)^ k^
V K 100 V A^
0 , 96618 h + 2, 862 × 1 , 04202 k 0 , 96618 h + 1, 04202 k
conv (A) =
conv (H) h V^
H 100 + conv (K)^ k^
V K 100 V A^
0 , 96618 h + 8, 405 × 1 , 04202 k 0 , 96618 h + 1, 04202 k
Le uscite future, che chiamo B come nel teorema 3.1, 30 · 000 e fra 2 anni e 6 mesi, hanno valore attuale (negativo perch´e `e un’uscita), duration e convexity pari a
V B^ = − 30 ·000 (1,035)−^2 ,^5 ≃ − 27 · 527 , 73 , dur (B) = 2, 5 , conv (B) = 6, 25.
Ora per soddisfare le condizioni del teorema 3.1 deve valere
V A^ = −V B^0 , 96618 h + 1, 04202 k = 27· 527 , 73 dur (A) = dur (B) 0 , 96618 h + 2, 862 × 1 , 04202 k 0 , 96618 h + 1, 04202 k
conv (A) > conv (B)
0 , 96618 h + 8, 405 × 1 , 04202 k 0 , 96618 h + 1, 04202 k
cio`e 0 , 96618 h + 1, 04202 k = 27· 527 , 73 0 , 96618 h + 2, 862 × 1 , 04202 k 27 · 527 , 73
0 , 96618 h + 8, 405 × 1 , 04202 k 27 · 527 , 73
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3.1 Immunizzazione 17
Le prime due equazioni formano un sistema lineare, la cui soluzione `e
h ≃ 5 · 539 , 13 , k ≃ 21 · 281 , 68
e verifica l’ultima disequazione
0 , 96618 × 5 · 539 ,13 + 8, 405 × 1 , 04202 × 21 · 281 , 68 27 · 527 , 73
Riassumendo, l’acquisto di 5 · 539 , 13 e di valore nominale di titolo zero coupon con un anno di vita residua (spendendo 0 , 96618 × 5 · 539 ,13 = 5· 351 , 80 e) e di 21 · 281 , 68 e di valore nominale di titolo con durata residua 3 anni con cedole al 5% e rimborso alla pari (spendendo 1 , 04202 × 21 · 281 ,68 = 22· 175 , 94 e), permettono di immunizzare un’uscita di 30 · 000 e prevista fra 2 anni e 6 mesi.
Il risultato del teorema 3.1 merita alcuni commenti, esso non contiene nulla di miracoloso. L’esempio appena visto puo essere utile per capire le ipotesi del teorema. L’uscita prevista fra 2 anni e 6 mesie coperta mediante l’acquisto di due titoli, uno con duration inferiore a 2,5, l’altro con duration superiore. Nel complesso si producono cosı dei flussi di cassa in entrata collocati in date precedenti e successive (ma non uguali) alla data dell’uscita, che chiamo ¯t. L’ipotesi implicitae che le entrate precedenti a ¯t possano essere reinvestite al tasso di mercato; inoltre i titoli posseduti a ¯t possono essere venduti al loro valore attuale calcolato al tasso di mercato. Per questo a seguito di un aumento [diminuzione] del tasso di mercato le entrate precedenti a ¯t possono essere impiegate a condizioni piu [meno] vantaggiose, mentre il valore a ¯t delle entrate successive diminuisce [aumenta]. In una situazione di immunizzazione queste variazioni di valore, almeno per variazioni piccole del tasso di mercato, si compensano, anzi gli aumenti di valore superano le diminuzioni. Attenzione pero che il portafoglio e immunizzato contro variazioni piccole del tasso, quindi, come tutti i risultati locali, il teorema 3.1 va usato con le opportune cautele. Inoltre, una volta avvenuta una variazione del tasso di mercato, cambiano i valori, le duration e le convexity dei titoli del portafoglio. E quindi necessario ribilanciare la composizione del portafoglio per immuniz- zarlo contro ulteriori variazioni nel tasso. Infatti, se nell’esempio precedente il tasso subisse un aumento di mezzo punto percentuale si avrebbe
V B^ ≃ − 27 · 198 , 06 , dur (B) = 2, 5 , conv (B) = 6,25; V H^ ≃ 96 , 154 , dur (H) = 1, conv (H) = 1; V K^ ≃ 102 , 775 , dur (K) = 2, 861 , conv (K) ≃ 8 , 401.
e le quantita h = 5· 539 ,13 e k = 21· 281 ,68 non soddisfano piu le prime due condizioni del teorema 3.1:
V A^ = 0, 96154 × 5 · 539 ,13 + 1, 02775 × 21 · 281 , 68 ≃ 27 · 198 , 34 6 = −V B^ = 27· 198 , 06 ,
dur (A) =
0 , 96618 × 5 · 539 ,13 + 2, 861 × 1 , 04202 × 21 · 281 , 68
≃ 2 , 529 6 = dur (B) = 2, 5.
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4.1 Tassi a pronti 19
4.1 Tassi a pronti
Sul mercato dei titoli a reddito fisso, in ogni momento, posso rilevare i prezzi dei titoli. Se sono trattati titoli zero coupon, il loro valore deve essere pari al valore attuale del valore a scadenza del titolo, ma quale tasso e nascosto nel prezzo di mercato? Per la (2.1), il valore, che qui chiamo P (0, t), al momento 0 di un titolo zero coupon con vita residua t e valore nominale Ce P (0, t) = Cvt, per cui P (0, t) C = vt^ =
(1 + h (0, t))t^
= e−δ(0,t)t.
Questo significa che posso leggere nei prezzi di mercato i fattori di attualiz- zazione, da cui ricavare il tasso annuo di mercato h (0, t) per un impiego che inizia oggi e termina fra t anni
h (0, t) =
c P (0, t)
) (^1) t − 1
e il corrispondente tasso istantaneo
δ (0, t) =
t
ln
c P (0, t)
t
ln
P (0, t) c
I tassi appena trovati, sono i tassi, rispettivamente annuo e istantaneo, effettivi di rendimento dell’investimento nel titolo. Naturalmente sono quotati titoli con diverse durate residue, per ognuno dei quali e possibile calcolare il tasso implicito. Immagino di trovare sul mercato titoli zero coupon At^1 , At^2 ,... , Atn^ tutti con lo stesso valore nominale C, ma con diverse durate residue 0 < tt < t 2 < · · · < tn. Indico i loro prezzi di merca- to P (0, t 1 ), P (0, t 2 ),... , P (0, tn). E ovvio che il prezzo di un titolo sar`` a tanto piu basso quanto piue lontana la data di incasso del valore nominale (postu- lato di impazienza): P (0, 0) = C > P (0, t 1 ) > P (0, t 2 ) > · · · > P (0, tn). Da questi prezzi posso ricavare i tassi a pronti (o spot) di mercato annui
h (0, ti) =
C
P (0, ti)
) (^) t 1 i − 1
e istantanei
δ (0, ti) = −
ti
ln
P (0, ti) C
riferiti ad impieghi con durate diverse. Le funzioni h (0, t) e δ (0, t) che as- sociano il tasso annuo e istantaneo alla durata dell’impiego forniscono la cosiddetta struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti. Quando h (0, ti) = h e δ (0, ti) = δ per ogni scadenza ti si dice che la struttura per sca- denza al tempo 0 `e piatta. Si parla spesso di curva dei tassi a pronti e si usa
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20 4.1 Tassi a pronti
0.000 0 5 10 15
t
Figura 4.1: Esempio di struttura per scadenza di tassi di interesse.
rappresentare la struttura per scadenza su un grafico come quello in figura 4. (dopo un’eventuale interpolazione dei tassi ottenuti dai titoli quotati).
Esempio 4.1 I corsi tel quel di titoli zero coupon con durate rispettivamente di 6 mesi un anno e 18 mesi sono: 98 , 533 , 96 , 805 , 94 , 833. Questi corsi rappresentano il prezzo di acquisto di 100 e di valore nominale di titoli zero coupon. Da questi prezzi si possono ricavare i tassi annui di mercato
h (0, 0 ,5) =
h (0, 1) =
h (0, 1 ,5) =
e i corrispondenti tassi istantanei
δ (0, 0 ,5) = −
ln
δ (0, 1) = − ln
δ (0, 1 ,5) = −
ln
In questo caso la struttura per scadenza non `e piatta, ma crescente: impieghi per durate maggiori hanno un tasso di rendimento superiore.
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