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CAP 1: ELETTROSTATICA NEL VUOTO
La maggior parte delle forze che si manifestano nelle interazioni fra oggetti macroscopici è riconducibile a forze di contatto o alla forza gravitazionale. Fra oggetti macroscopici opportunamente trattati (ad esempio mediante strofinio con un panno di lana) si esercita un’altra forma di azioni a distanza, dette azioni elettriche. In estrema sintesi, l’essenza del fenomeno può essere riassunta come segue: a) due oggetti della medesima sostanza (plastica, vetro, ambra, ecc.) dopo essere stati strofinati con un panno o con altro, se posti l’uno in vicinanza dell’altro si respingono; b) ponendo in vicinanza, dopo averli strofinati, due oggetti di sostanza diverse, si riscontra ancora forza di mutua interazione. Tali forze possono essere però, a seconda dei casi, repulsive o attrattive. Naturalmente, anche queste forze di natura elettrica soddisfano il terzo principio della dinamica (principio di azione e reazione): quando, in particolare, i due oggetti che interagiscono siano puntiformi, le forze che si scambiano costituiscono una coppia di braccio nullo. Strofinamento: alcuni materiali, dopo essere stati strofinati, si attraggono mentre altri si respingono -> presenza di cariche Le cariche possono essere:
- Negative come l’ambra
- Positive come il vetro Se strofiniamo un materiale o è attratto dall’ombra o viene attratto dal vetro dunque si comporta come l’ambra o come il vetro. Dopo «elettrizzazione per strofinio»: -se un corpo A e un corpo B sono separatamente attratti da un corpo C, allora A e B si respingono fra loro;
- se A è attratto da C e B respinto da C allora A e B si attraggono fra loro. Fino ad oggi, non è mai stata osservata alcuna carica elettrica che sia frazione della carica del protone: essa può essere considerata come la carica elementare. I tre costituenti elementari della materia, unendosi in una grande varietà di combinazioni, danno origine alle varie manifestazioni che la materia assume nel mondo macroscopico. Tali combinazioni avvengono per effetto di due delle forze fondamentali della natura. -Protoni e neutroni si legano fra di loro in virtù della forza nucleare. Il numero di nucleoni costituenti un nucleo viene detto numero di massa. -Gli elettroni ruotano attorno al nucleo da cui sono attratti da forza di tipo elettrico. La neutralità elettrica dell’atomo rappresenta una manifestazione di una legge di carattere generale, che verrà meglio precisata dallo leggi dell’elettrostatica: un sistema costituito da più cariche, manifesta una carica elettrica complessiva pari alla somma algebrica delle cariche costituenti. Gli atomi dei vari elementi, che costituiscono gli ingredienti di tutte le sostanze conosciute, differiscono fra di loro per il "loro diverso numero atomico”. Se a parità di numero atomico (cioè di protoni nel nucleo) cambia il numero di massa (cioè cambia il numero di neutroni) si hanno diversi isotopi dello stesso elemento.
Atomo: struttura essenzialmente vuota, costituita da un nucleo di nucleoni e una nuvola di elettroni che ruota attorno ad esso. Se il materiale una volta strofinato acquista elettroni si carica negativamente e si comporta come l’ambra. Se invece perde elettroni si carica positivamente. Anche per strofinio possiamo strappare o dare elettroni a un materiale. Unità di misura della carica: [S.I.] Coloumb è derivato da Ampere, ovvero una carica che passa per un secondo in un conduttore percorso da corrente di 1 A. La carica è una grandezza quantizzata: 1 elettrone -> 1,6 x 10^-19 C. Possiamo supporre che la carica varia in forma continua. Non esiste in natura una carica che sia frazione della carica dell’elettrone, in realtà si ma non sono liberi. Possiamo variare la carica al minimo della carica dell’elettrone. Nelle varie sostanze, è diversa l’intensità del legame con cui gli elettroni (e in particolare quelli periferici) sono trattenuti in vicinanza del nucleo: da ciò deriva, la sostanziale differenza fra materiali detti conduttori e materiali detti isolanti. Materiali isolanti o dielettrici : la carica immessa in un materiale isolante resta localizzata nel punto in cui viene immessa. Materiali conduttori : la carica si distribuisce e non rimane isolata. Solido cristallino in cui gli atomi sono ben localizzati (struttura tridimensionale). In questa struttura ordinata ciascun atomo mette a comune un elettrone che si distribuisce su tutto il solido (come un mare di elettroni). Supponiamo di mettere una carica positiva, poi una seconda si disporranno lontane tra loro perché cariche dello stesso segno tendono a respingersi. Si distribuiscono sulla superficie. Elettrizzazione per strofinio : tramite strofinio dunque gli elettroni possono spostarsi dal corpo in cui gli sono meno fortemente legati verso quello in cui lo sono di più. Possiamo elettrizzare un corpo anche per contatto : La Q rimane localizzata nel punto di contatto. La Q si distribuisce sulla superficie. Elettrizzazione per induzione Terra è un’enorme conduttore, capacità infinita di prendere cariche
Forza di Coloumb Il versore ci indica il verso della forza, mentre il vettore omonimo è dato dal versore e l’ampiezza. K dipende dall’unità di misura utilizzata S.I. k 9 x 10^ 8, 854 x 10^- La carica di 1 C è estremamente intensa Forza di gravità è pressoché trascurabile rispetto a quella elettrica Assomiglia alla forza di gravità. Nella forza di Coloumb ci sono 2 proprietà di base dell’elettrostatica: forza centrale: in qualunque punto è rivolta verso un centro ed è conservativa. In realtà c’è un’altra proprietà, non direttamente legata alla forza di Coloumb: Principio di sovrapposizione degli effetti : considero la forza agente su una carica trascurando gli effetti delle altre cariche. Campo elettrico Grandezza che ci permette di determinare la F che agisce sulla carica in ogni punto
= campo elettrico dipende solo dalla sorgente. Produce in tutto lo spazio una perturbazione, prodotta da una sorgente carica. Questa perturbazione si manifesta se aggiungo una carica nello spazio e calcolo la forza esercitata su essa Posso definire il campo elettrico in ogni punto dello spazio anche se non so da chi è stato prodotto. (In realtà è prodotto dal campo magnetico e non dalle cariche, vedremo più avanti). perturbazione dello spazio per cui se in un punto dello spazio pongo una carica su di essa vi è una forza data da F0. La carica q (nella formula della forza) deve essere piccola perché non deve disturbare la distribuzione di carica. Se q cambia la distribuzione di carica, la F su q sarà dovuta alla distorsione di Q. Distribuzione di carica Q= grandezza integrale non si trova in un punto specifico Densità di Q= grandezza locale Considero un volume infinitesimo d , dove ci sarà una certa carica infinitesima
Rappresentazione del campo elettrico Come disegniamo i campi? Linee di forza o di campo. In ogni punto E0 è perpendicolare alle linee rispetto al verso di percorrenza. Il numero di linee è proporzionale all’intensità del campo elettrico. Qualunque sezione consideriamo il numero di linee che lo attraversa è sempre lo stesso Carica puntiforme: in ogni punto E0 è radiale nella direzione del raggio Sistema di cariche puntiformi: formato da 2 cariche di segno opposto -> DIPOLO. Teorema di Gauss Il calcolo del campo elettrico generato da una qualunque distribuzione cli carica nota e costante (cioè indipendente dal tempo), è tuttavia concettualmente semplice: si tratta di suddividere le cariche sorgenti in elementi puntiformi e calcolare in base alla legge di Coloumb il contributo che ciascun elemento fornisce al campo risultante. È necessario che le cariche non siano libere di muoversi per effetto delle loro reciproche interazioni: condizione necessaria e non sufficiente affinchè ciò accada con buona approssimazione è che le cariche siano dislocate su corpi isolanti. Diverso è il caso in cui le cariche sorgenti siano dislocate su conduttori. In tal caso il problema si presenta nei seguenti termini: sono note le cariche totali possedute da ciascun conduttore; e si vuole calcolare non solo il campo elettrico generato nello spazio circostante, ma anche la distribuzione che la carica posseduta da ciascun conduttore assume sul conduttore. Per arrivare a risolvere queste situazioni più complesse, introduciamo la legge di Gauss e la grandezza fisica potenziale elettrico. Il teorema Gauss vale per qualunque campo vettoriale che sia additivo e che, per sorgenti puntiformi, abbia modulo proporzionale all’inverso del quadrato della distanza e sia diretto come la congiungente con il punto-sorgente.
Sia dato un campo vettoriale E0 (x,y,z); e, immersa nel campo, una superficie S cui si assegna convenzionalmente una faccia come positiva: nei caso di superficie chiusa, come faccia positiva si assume sempre quella rivolta verso l'esterno (uscente). Consideriamo una porzione elementare dS della superficie: ricordiamo che l’elemento vettoriale dS è definito come , dove è il versore normale all’elemento di superficie (con verso uscente dalla faccia positiva) e dS è l'area dell’elemento di superficie stesso. Ambiguità di verso può essere da una parte o dall’altra della superficie, questa ambiguità rimane se la superficie è aperta. Se invece prendiamo una superficie chiusa, la normale avrà verso uscente. Flusso di un campo vettoriale Si definisce come flusso elementare del vettore E0 attraverso l’elemento di superficie dS la quantità: Modulo, quindi è positivo ciò vuol dire che Q può essere negativo ma io prendo in quel caso il valore assoluto perché mi serve il modulo di E0. Il flusso è una grandezza scalare! Il flusso del campo vettoriale delle velocità di un fluido attraverso una superficie S rappresenta il volume di fluido che attraversa S nell’unità di tempo (portata). Enunciato del teorema di Gauss Il flusso del campo elettrico nel vuoto attraverso una superficie chiusa qualunque S è pari alla somma algebrica (nel caso di distribuzione continua di cariche, è pari all’integrale) delle cariche contenute all’interno di S diviso per Eventuali cariche disposte esternamente alla superficie S non portano alcun contributo al flusso di E0. Dimostrazione Consideriamo una superficie chiusa (per ogni elemento la normale è uscente). Supponiamo di prendere un elementino di superficie dS. Immaginiamo di tracciare una sfera incentrata su Q di raggio r. Mando inoltre un cono elementare che intercetta dS, al cui vertice presenta un angolo detto solido Angolo solido : rapporto tra la superficie (identificata da questo angolo) e il quadrato del raggio. Si misura in steradianti. Il suo valore massimo inoltre è Indichiamo con dSn la superficie intercettata dal cono sulla sfera. Se le superfici sono piccole
Sfera. Per applicare Gauss ho bisogno di trovare una superficie chiusa. In questo caso posso prendere una sfera di raggio r. Per un ellissoide per esempio non posso prendere una superficie chiusa e devo applicare l’integrale. può dipendere da r, ma se dipendesse dall’angolo non posso più applicare Gauss perché il E sopra e sotto la sfera sarebbe diverso. Posso applicare Gauss prendendo una sfera di raggio più piccolo. Le due espressioni diventano uguali. La prima equazione di Maxwell La prima equazione di Maxwell esprime la legge di Gauss in forma locale anziché nella forma integrale. Essa è soggetto ad alcune limitazioni. Cominciamo col dimostrare un teorema di matematica detto teorema della divergenza che servirà per ricavare la prima equazione di Maxwell: consideriamo un campo vettoriale definito entro un dominio spaziale all’interno del quale le componenti di E siano derivabili rispetto alle tre variabili X, Y, Z. Ci proponiamo di calcolare il flusso del campo elettrico uscente da un volumetto elementare di forma parallelepipeda e dimensioni lineari dx, dy, dz. Cominciamo così col calcolare il flusso elementare uscente dalle facce ortogonali all’asse X: Dove X è il valore della coordinata x all’altezza della faccia ABCD; sono il valor medio delle coordinate y e z sulla faccia ABCD. Il segno meno deriva dal fatto che la normale uscente dalla faccia ABCD ha verso opposto all’asse X. Analogamente si apre il flusso attraverso la faccia EFGH: Dunque:
Essendo y e z costanti è come se la funzione a tre variabili fosse a una sola variabile, perciò: E quindi: Si definisce divergenza del vettore campo elettrico la quantità Che l’espressione che assume il flusso uscente attraverso le facce del volumetto elementare. A partire da questa relazione si ricava facilmente per semplice integrazione, il flusso attraverso la superficie S che racchiude un volume finito. La somma dei flussi elementari da contributo nullo per tutte le superfici elementari interne ad S, ognuna delle quali attraversata due volte, ma in versi opposti quando si calcola il flusso uscente da due volumetti contigui. Il flusso di un vettore campo elettrico attraverso una superficie chiusa S è pari all’ integrale della divergenza del campo calcolato sul volume racchiuso da S (teorema della divergenza). Notiamo che la divergenza è l’operatore differenziale che applicato al campo vettoriale fornisce la funzione scalare. Introduciamo così un operatore differenziale vettoriale NABLA La divergenza di un vettore può essere scritta come prodotto scalare fra l’operatore nabla e il vettore stesso. Accoppiando il teorema della divergenza con il teorema di gauss otteniamo: Poiché il teorema di gauss vale qualunque sia la superficie chiusa di integrazione S, deve valere anche per qualsiasi volume di integrazione ciò implica:
Se il filo fosse finito non posso applicare Gauss Esempio 3: Cilindro infinito pieno r > a Posso applicare Gauss allo stesso modo del filo infinito r a Esempio 4 : Cilindro cavo Discontinuità di E0 fisicamente non è possibile, questo si verifica perché consideriamo lo spessore nullo quindi una superficie ideale. In realtà lo spessore non è nullo quindi il E0 è nullo all’interno dello spessore ma nel resto della superficie cresce linearmente. Esempio 5: Spira circolare Non posso sfruttare Gauss perché non ho una superficie con cui poterlo fare.
Esempio 6: Piano infinito E0 è costante in qualunque superficie parallela al piano ed è perpendicolare ad essa. Posso considerare il piano come una serie infinita di spire circolari (anche cerchi). Considero spira infinitesima di raggio r e spessore dr: Con Gauss prendendo un cilindro perpendicolare al piano: Filo: infinito di ordine 1 Sfera: infinito di ordine 2
è nella direzione di massima variazione di V0. Quando mi muovo perpendicolarmente rispetto il campo, il potenziale non cambia dunque si parla di superfici equi potenziali. Molto spesso il caso più comodo è quando P0 tende all’infinito dove V0 è nullo. Se le sorgenti hanno una distribuzione costante è nota così che si possa porre uguale a zero la costante additiva arbitraria allora l’espressione esplicita del potenziale si ottiene per immediata generalizzazione. Caso 1: carica puntiforme Caso 2 r1: Caso 3: Più cariche puntiformi Caso 4: distribuzione di Q
Se non posso assumere che il potenziale sia nullo all’infinito la (1) e la (2) non posso applicarle. Dove r è il vettore posizione del punto dove si calcola il potenziale, ri è il vettore posizione della carica iesima; r e la posizione dell’elemento di carica di cui si calcola via via il contributo al potenziale. Il potenziale è una funzione scalare che ovviamente risulta dipendere in generale dal vettore posizione e non solo dal modulo di esso. Nel caso più generale possono essere presenti sia distribuzioni discrete che distribuzioni continue e il potenziale è allora la somma dei potenziali generati separatamente da ogni tipo di distribuzione (principio di sovrapposizione). Quando le distribuzioni delle cariche sorgenti non ci siano note a priori allora le equazioni trovate non sono più utilizzabili per il calcolo del potenziale. Questa difficoltà si incontra tutte le volte in cui la distribuzione le cariche sorgenti si estende fino all’infinito dove è situata la maggior parte della carica che genera il potenziale stesso. Dunque le formule trovate per il potenziale sono utilizzabili solo qualora tutte le sorgenti siano localizzate in una regione limitata dello spazio. Caso 5: piano infinito Caso 6: filo infinito
Teorema del rotore La circuitazione lungo una linea chiusa di un campo vettoriale è uguale al flusso attraverso la superficie del rotore del campo. Essendo il campo elettrico conservativo la circuito azione risulta essere nulla e dunque il rotore del gradiente di una funzione è sempre uguale a zero. Coordinate sferiche Coordinate sferiche del gradiente
Dipolo elettrico Il campo elettrico generato da un sistema costituito da due cariche uguali ed opposte poste a distanza fissa pari a delta una dall’altra, sistema che abbiamo chiamato dipolo elettrico, caratterizzandolo con il suo momento di dipolo. Il dipolo elettrico è la più semplice fra le distribuzioni di cariche, subito dopo quella costituita da una singola carica puntiforme. Calcoliamo l’espressione del potenziale elettrostatico generato dal dipolo a distanza R molto maggiore delle dimensioni lineari del dipolo stesso: Ricordiamo che questa espressione del potenziale include la condizione che il potenziale sia nullo all’infinito. Il potenziale generato da una carica puntiforme decresce come 1/r mentre quello generato da un dipolo decresce come 1/r^2. Noto il potenziale, possiamo ora calcolare il campo elettrico semplicemente applicando al potenziale l’operatore di gradiente: tale procedura risulta in questo caso più immediata se si opera in coordinate polari. scegliendola asse Z come coincidente con la direzione del momento del dipolo, l’angolo che il momento forma con raggio vettore coincide con il coseno di theta del punto P in cui si calcola il potenziale. Osserviamo che il campo elettrico giace nel piano ZR come evidenziato dal fatto fatto che la componente del campo elettrico è nulla.
