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VI - Elettrostatica nel vuoto
Forza e carica elettrica
La legge di Coulomb asserisce che la forza elettrica tra due cariche puntiformi q 1 e q 2 poste a distanza r 12 l’una dall’altra nel vuoto è data da:
2 12 12
1 2 0
2 12 12
1 2 12 4 ˆ
ˆ (^) r r
qq r r
qq F k
con k = costante elettrostatica = (^2)
2 8 , 99109 C
Nm ⋅
ε 0 = costante dielettrica del vuoto = 2
2 8 , 851012 Nm
−^ C
Quando sono presenti più cariche elettriche, vale il principio di sovrapposizione:
= (^) ∑ i
F Fi
La forza esercitata da una distribuzione continua di cariche (volumetrica, superficiale o lineare) su una carica puntiforme è ottenuta integrando gli effetti delle cariche infinitesime che costituiscono la particolare distribuzione.
Il campo elettrico
Una qualunque distribuzione di cariche crea un campo elettrico nello spazio circostante. Considerando una carica di prova q 0 sufficientemente piccola collocata nel campo, il vettore campo
elettrico E
è definito come:
(^000)
lim q
F
E
q
→
La forza che agisce su una carica puntiforme q ’^ posta in un dato campo elettrico E
è:
F q E
= ’
Il campo elettrico generato in un punto P da una singola carica puntiforme qi nella posizione ri è:
2 0 0 0
i i
i i r r
q E
dove ri0 è la distanza tra la carica qi ed il punto P mentre r ˆ i (^) 0 è il versore diretto lungo la
congiungente qi e P ed orientato da qi a P. L’intensità del campo elettrico generato da più cariche è data dal principio di sovrapposizione:
= (^) ∑ i
E Ei
Il campo generato da una distribuzione continua di cariche, si ottiene invece per integrazione.
Potenziale elettrico
Il campo generato da una carica puntiforme è centrale e pertanto conservativo; si può dunque introdurre il concetto di differenza di potenziale:
− =− ∫ ⋅
B
A
VB VA E dl γ
con E campo elettrico creato dalla carica puntiforme e γ una qualunque linea tra A e B immersa nel
campo. Il potenziale elettrico alla distanza r da una carica puntiforme q situata nell’origine è dato da:
r
q V (^40)
se si assegna il valore zero al potenziale a distanza infinita. Per un sistema di cariche puntiformi, il potenziale è dato da:
= (^) ∑ i (^) i
i r
q V (^400)
dove la somma è estesa a tutte le cariche ed ri 0 è la distanza dell’i-esima carica dal punto P dove si deve calcolare il potenziale. Per una distribuzione continua finita di carica:
= ∫ Q r
dq V (^40)
Se la distribuzione di carica non è finita non si deve usare la formula sopra, perchè in essa è implicito che il potenziale all’infinito è nullo. Si deve pertanto ricorrere alla definizione di differenza di potenziale (p. es. nel caso del piano indefinito uniformemente carico). Se è noto il potenziale, il campo elettrico può essere determinato tramite:
E =− gradV =−∇ V
La legge di Gauss
Il flusso elettrico dovuto al campo elettrico E che attraversa una superficie qualsiasi è:
( ) (^) ∫ Σ
φ E = E ⋅ u ˆ nd Σ
dove l’integrale indefinito è esteso a tutto lo spazio e:
2 u^0 E e
è la densità di energia elettrostatica.
Condensatori
I condensatori sono dispositivi per l’accumulo di carica elettrica e di energia e consistono tipicamente di due conduttori con cariche uguali ed opposte q (induzione completa).
Indicando con ∆ V la differenza di potenziale, la capacità di un condensatore è definita come:
V
Q
C
L’energia potenziale accumulata in un condensatore può essere scritta come:
(^2) V (^2) qV C C
q U (^) e = = =
Condensatori collegati in parallelo equivalgono ad un unico condensatore con capacità:
C = C 1 + C 2 + ..... + Cn
Condensatori collegati in serie equivalgono ad un unico condensatore con capacità data da:
C C C n
C
1 2
Problema 1
Considerate tre cariche positive uguali di valore q poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato s (vedere figura), determinare:
a) La forza che agisce sulla carica che si trova nel vertice B.
b) Il campo elettrico totale E 0 nel punto medio della base A.
c) Il campo elettrico e il potenziale nel punto C in cui si intersecano le bisettrici dei tre angoli del triangolo.
Suggerimento: Si ricordi che per le forze ed i campi elettrici vale il principio di sovrapposizione.
Soluzione:
a) La forza è la risultante di quelle esercitate dalle altre due cariche:
2
2
0
2 1 cos s
q F F F F F
b) Il campo elettrico in A è dato solo da quello generato dalla carica in B perchè le altre due generano campi uguali ed opposti:
j s
q j s
q E
2
2
0
2 2
2
0
πε πε
dove si è tenuto conto che AB è l’altezza del triangolo equilatero e si è indicato con j
il versore da
A verso B.
c) C è equidistante dalle tre cariche. Il campo elettrico in C è nullo per simmetria, mentre il potenziale è il triplo di quello generato da una sola carica:
s
q s
q V 0 4 0
Ove s / 3 è la distanza BC.
Problema 2
Due piccole sfere cariche sono appese a due corde di ugual lunghezza l (come in figura), che
formano due piccoli angoli θ 1 e θ 2 con la verticale.
a) Assumendo per le cariche q 1 = Q , q 2 = 2 Q e per le masse m 1 = m 2 = m , si determini il rapporto
B
C
A
s
q q
î
2 2
1 1 2 sen cos
sen cos
mg F
mg F
cioè:
tan
tan 2
1 2
ove si è tenuto conto che gli angoli sono piccoli.
c) La distanza è data da:
d = l (sen θ 1 +sen θ 2 ) ≈ l (tan θ 1 +tan θ 2 ) ≈ l ( θ 1 + θ 2 )
dunque, per m 1 = m 2 = m è:
2
2
0
d
Q
mg
l mg
F
d l
cioè:
3 0
mg πε
lQ d =
dunque, per m 1 = m ed m 2 = 2 m è:
2
2
0
d
Q
mg
l mg
F
l mg
F
d l
≈ ^ +
cioè:
3 0
2
4
mg πε
lQ d =
Problema 3
Una sferetta puntiforme di massa m e carica q è sospesa ad un punto O mediante un filo lungo l , in
prossimità di una distribuzione piana infinita di cariche con densità superficiale σ (vedere figura).
d) Calcolare la distanza di equilibrio d 1 della sferetta dal piano carico sapendo che la distanza fra il piano carico ed il punto O è d.
e) Calcolare la distanza di equilibrio d 2 della sferetta dal piano carico nel caso in cui venga posto
un secondo piano con densità superficiale - σ in posizione speculare.
f) Come varia d 2 se si raddoppia la distanza del piano carico negativamente dal punto O?
[ m = 10 g; q = -2 μC; l = 10 cm; σ =86,7 pC/cm^2 ; d = 10 cm; ε 0 =8,85 10-12^ C^2 N-1m-2]
Suggerimento: la tensione del filo assume qualsiasi valore necessario affinchè il filo non si allunghi
Soluzione:
a) La forza elettrica F è orizzontale, mentre il peso è verticale: la loro risultante deve essere diretta
lungo il filo, cioè forma un angolo θ con la verticale, cioè con il peso. Dunque:
mg
q mg
F
tan
Dalla geometria del problema si ricava:
1 θ^2
1 tan
tan sen
d = d − l = d − l = 2,93 cm.
b) Il campo raddoppia, dunque anche la forza elettrica e la tangente di θ raddoppiano. Quindi:
d (^) 2 d l = d − l
= − = 1,06 cm.
c) Il campo generato da un piano carico indefinito è indipendente dalla distanza. Perciò spostando il piano non cambia nulla.
Problema 4
d 1
l
O
d
b) Calcolare la differenza di potenziale fra i punti A e B ed il lavoro compiuto per spostare la carica negativa - q dal punto A al punto B.
c) Determinare se l’energia potenziale calcolata in A è diversa da quella in B e se UA – UB è positivo o negativo.
Suggerimento: per dimostrare che il campo elettrico è conservativo, si può usare sia la condizione di circuitazione nulla, sia quella di rotore nullo.
Soluzione:
a) La forza elettrica F
è orizzontale e costante, quindi il lavoro è il prodotto di F per la componente orizzontale dello spostamento totale ed è positivo quando ci si sposta nel verso positivo delle x , negativo quando ci si sposta nel verso opposto. Se si calcola la circuitazione, lo spostamento totale è a nullo priori, quindi la circuitazione è nulla. Ergo il campo è conservativo.
b) Detta d la distanza AB , per quanto osservato nel punto a), essendo il potenziale il lavoro per unità di carica, si ricava:
VB – VA = Ed cos 45° = 2
Ed .
Il lavoro dal punto A al punto B è semplicemente il prodotto della differenza di potenziale per la carica:
WAB = - q ( VB – VA ) = - qEd cos 45° = 2
qEd −.
c) Per introdurre l’energia potenziale occorre fissare un’ascissa di riferimento. Prendendo per semplicità quella del punto A , è evidente che, mentre UA è nulla, UB è uguale a WAB , quindi negativa. Pertanto, UA – UB è positivo (la carica è negativa).
B
A x
y
-q
E
Problema 6
In un tubo catodico, un elettrone è accelerato orizzontalmente da una differenza di potenziale Vc. Dopo aver subito questa accelerazione esso viene fatto passare attraverso due piastre piane parallele orizzontali lunghe l e poste alla distanza d , fra le quali è mantenuta una differenza di potenziale V (figura).
a) Nel riferimento della figura, qual è il valore di y 0 tale che gli elettroni sfiorino l’estremità della piastra positiva quando escono dalle piastre stesse?
b) Con quale angolo θ si muovono gli elettroni dopo aver attraversato le piastre?
[ Vc = 20 kV; V = 200 V; l = 6 cm; d = 1 cm; e / m elettrone = 1,7 10^11 C/kg]
Suggerimento: si trascurino la forza di gravità e la velocità dell’elettrone quando parte dal filamento del tubo catodico.
Soluzione:
Le due piastre sono lunghe rispetto alla loro distanza, perciò si può approssimare il campo elettrico fra di esse con quello (uniforme) dovuto a piastre infinite e dato da V / d. La velocità v 0
all’ingresso delle due piastre ( x = 0) è data dalla conservazione dell’energia nel
cannone elettronico:
mv = eV c 2 2 0
cioè:
V c m
e v
0 =^ = 82,5 10
(^6) m/s
con v 0 diretta lungo l’asse x.
y 0 v 0 d
l
x
y
Soluzione:
Occorre usare il principio di sovrapposizione con un po’ di originalità: come detto nel
suggerimento, 0 = ρ +(- ρ ), vale a dire che la sfera con una cavità vuota è equivalente ad una sfera
piena più una cavità riempita di cariche negative di densità uniforme - ρ.
a) Per il punto esterno P , le due distribuzioni sferiche sono equivalenti a due cariche puntiformi Q 1 e Q 2 poste nei loro centri O 1 ed O 2 :
î
1
3 2
3 1
R Q Q
Q R
Le distanze da P sono ovviamente D e D - R /2, per cui la forza richiesta vale:
( )
P
D D R
R
q P R D
D
qQ F ˆ 22
3 0
2 2 0
1
= − ρ πε ε
dove P ˆ^ è il versore orientato da O 1 a P.
b) Dentro una sfera di densità di carica costante, il campo elettrico è:
E r
Ma O 2 è il centro della sfera piccola, quindi c’è solo il campo generato dalla sfera grande, per cui la forza vale:
R P
q F ˆ
perchè la distanza dei centri è R /2.
Problema 8
Si consideri una distribuzione sferica omogenea (raggio R ) di cariche positive (carica totale Q ), che presenta una cavità sferica (raggio r = R /4) come in figura.
Calcolare il campo elettrostatico E
! nei punti O , C , ed A.
Suggerimento: si ricordi la sovrapposizione degli effetti.
Soluzione:
Densità di carica:
3 3 3 3 3 63
4 R
Q
R
R
Q
R r
Q
Per il principio di sovrapposizione, il sistema è equivalente a due sfere piene di densità di carica ρ e
raggio R e densità di carica - ρ eraggio r. Dunque nei tre punti richiesti il campo è parallelo all’asse
x e:
a) in O :
x R
Q
x r E ˆ 21
"
b) in C :
x R
Q
x r E ˆ 21
c) in A :
x R
Q
x
r r E ˆ 21
2
$
Problema 9
O C x
A
r
R
Tre cariche puntiformi sono nei vertici di un triangolo equilatero di lato d. Le cariche q 1 e q 2 sono negative e valgono q 1 = q 2 = - q , mentre la carica q 3 è positiva e vale q 3 = 2 q. Calcolare il potenziale elettrico V 0 nel punto P 0 di coordinate x 0 e y 0 sia direttamente sia nell’approssimazione di dipolo.
[ d = 10 cm; q = 1 μC; x 0 = 0; y 0 = 40 cm]
Suggerimento: si ricordi che il potenziale generato da un dipolo a distanza r >> d vale (^2) (^40)
cos r
p V
con p
'
momento di dipolo e α angolo formato da p
( e r
) .
Soluzione:
a) Il potenziale elettrico è la somma di quelli generati dalle tre cariche:
( y d )
q
y d
q
y d
q V −
0 0
3 2 0
2 0
2 2 0
2 0
1 (^0 )
2
cioè:
( )
2 0
(^0002)
2
y
y d d
q V
= 15,3 kV
b) Il momento di dipolo totale è parallelo all’asse y , e vale:
p = qd 3. = 1,73 10-7^ Cm
perchè è la somma di due dipoli uguali diretti come i lati obliqui del triangolo. Il dipolo risultante si
può considerare posto nel baricentro geometrico del triangolo x b = 0, y b = 2 3
d = 2,9 cm:
P 0
d
d x
y
q 1 q 2
q 3
.
d
2 0 0
2 0 0
0
2 3
d y
qd d y
p V
= 11,3 kV
Problema 11
La distanza tra le armature di un condensatore piano carico (densità di carica superficiale σ )
disconnesso dalla batteria è L. Una lastra piana conduttrice viene inserita tra le armature del condensatore, parallelamente ad esse(figura). Lo spessore della lastra è d < L ; la lastra è elettricamente neutra.
c) Quanto vale la densità di carica indotta sulla superficie della lastra?
d) Di quanto varia percentualmente la differenza di potenziale tra le armature del condensatore dopo che la lastra metallica è stata introdotta?
Suggerimento: si ricordi la formula dei condensatori collegati in serie.
Soluzione:
a) La densità di carica è + σ sulla faccia della lastra rivolta verso l’armatura negativa, - σ sull’altra
faccia.
b)Dobbiamo confrontare la differenza di potenziale di un condensatore di capacità:
L
S
C = ε 0
dove S è la superficie di un’armatura, con la differenza di potenziale di una serie di due condensatori (caricati con la stessa carica di quello originario) di capacità
d
L
Soluzione:
Campo elettrico:
d
V
E
Accelerazioni:
d
V
m
e E m
e a e e
e
per l’elettrone, e:
d
V
m
e E m
e a p e
p
per il protone.
a) Applicando la formula che lega la velocità di un moto rettilineo uniformemente accelerato alla posizione, si ha:
î
v a d
v ad
p p
e e 2
da cui:
e
p p
e p
e m
m a
a v
v = = = 42.
b) Equazioni del moto delle due particelle:
î
2
2
y a t
y at d
p p
e e
Le particelle si incrociano quando y e = y p, cioè:
ap a e
d t −
; d m m
m d a a
a a a
d y a p e
e p e
p p e
p p
= 22 μm.
