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LE EQUAZIONI
Un'equazione è una uguaglianza fra due espressioni alfa-
numeriche (cioè dove compaiono lettere e numeri) che ci pone
una sola domanda:
“PER QUALE/I VALORE/I DI “ x ” L’UGUAGLIANZA DATA È VERA?”
ES.:
a)
sono equazioni lineari (o di primo grado): le “ x ” compaiono con esponente “1” (non compare x^2 , x^3 ,.) e non compaiono a denominatore (dove al massimo compaiono numeri).
b)
sono equazioni fratte : le qui “ x ” compaiono a denominatore (possono comparire anche a numeratore).
Torniamo alla domanda scritta in carattere rosso. Per i 4 esempi di equazione riportati sopra, si può procedere in due modi:
- Provare a sostituire di volta in volta valori diversi alla “ x ” scelti a casaccio (1, -1, 3/4, -7/8, 51, -25,..), fino a quando troviamo quello giusto che rende vere le uguaglianze. Esempio, nella prima equazione tipo “a”, si avrà: e, sostituendo x = 1 si ha:
7 ⋅ (1) + 14 = -21 ⋅ (- 1 – 2) da cui:
7 + 14 = -21 ⋅ (-3) da cui: 21 = 63
Ma 21 non è uguale a 63, per cui x = 1 non è soluzione dell’equazione data.
Proviamo per x = -2: e, sostituendo x = -2 si ha:
7 ⋅ (-2) + 14 = -21 ⋅ (- (-2) – 2) da cui:
-14 + 14 = -21 ⋅ (2 - 2) da cui:
0 = 0
Stavolta abbiamo azzeccato la soluzione giusta ( x = -2) al secondo tentativo. Ci è andata bene. Potrebbero volerci decine o centinaia o anche migliaia di tentativi. E per di più parliamo di una equazione facile. Allora, risolvere una equazione vuol dire:
- non procedere per tentativi alla ricerca della soluzione, ma attuare tutte quelle tecniche che ci porteranno direttamente alla “scoperta” di quel valore di “ x ” che ci farà esclamare “Tombola”.
EQUAZIONI LINEARI
Come già detto, in questo tipo di equazioni le “ x ” compaiono con esponente “1” (non compare x^2 , x^3 ,.) e non compaiono a denominatore (dove al massimo compaiono numeri). Riscriviamo:
Come le risolviamo? Cioè come troviamo quel valore di “ x ” in grado di soddisfare le uguaglianze date? Intanto, una buona notizia: Nelle equazioni lineari, se la soluzione esiste (perché non è detto che esista) questa è unica. Poco fa, per la prima equazione avevamo trovato la soluzione x = -2:
ovvero, semplificando:
rimane così:
x = - 2
che è la soluzione trovata prima per tentativi.
Potevamo anche portare le “ x ” a secondo membro ed i numeri al primo:
7 x + 14 = 21 x + 42
14 – 42 = 21 x - 7 x
- 28 = 14 x
x = - 2
Attenzione ragazzi! All’inizio del paragrafo ho detto che questo trasporto dal primo al secondo membro e viceversa costituisce solo l’ultima fase di un procedimento che vi porterà all’agognata meta, ovvero quella di trovare la soluzione giusta per “ x ”. Prima di arrivare a ciò, dovrete districarvi fra una serie di “intralci” che dovrete eliminare per poter raggiungere la meta. Io cercherò di fornirvi lo strumento per avanzare in questa foresta. All'inizio, con poca pratica, avrete solo le mani per farvi strada. Poi comparirà un coltellino. Poi un coltellaccio, poi un'ascia. I più bravi di voi, e solo con molti esercizi svolti alle spalle, alla fine avranno a disposizione un vero e proprio motosega per "disboscare" un'equazione fino a ridurla all'osso. Svolgete esercizi a casa. Cercateli già
svolti su internet. Se non farete nulla di tutto ciò, avrete sempre meno pratica e senza questa tutto si complicherà.
“GLI INTRALCI”
I suddetti intralci saranno costituiti da:
- Moltiplicazioni (o prodotti): a) fra monomi; b) fra monomi e polinomi; c) fra polinomi;
- Scomposizioni di polinomi con: d) Raccoglimento a fattor comune totale (vedi dispensa specifica); e) Raccoglimento a fattor comune parziale (vedi dispensa specifica); f) Riconoscimento del prodotto notevole “quadrato di binomio” (vedi dispensa specifica); g) Riconoscimento del prodotto notevole “Somma per differenza” (vedi dispensa specifica). h) Metodo del “trinomio speciale” (vedi dispensa specifica); i) Metodo di “Ruffini” (vedi dispensa specifica);
- Necessità di applicazione della cosiddetta “Legge di annullamento del prodotto”, che si basa sulla seguente semplice considerazione: “ se il prodotto fra due, tre, quattro,.,cento numeri dà come risultato zero, allora una cosa è certa: almeno uno di questi numeri deve essere zero ". Altrimenti il risultato della moltiplicazione non "avrebbe motivo" di dare zero. Se: a ⋅ b ⋅ c ⋅ d ⋅ e ⋅ f = 0
allora dovrà accadere che: o è a = 0 o è b = 0 o è c = 0 o è d = 0
intelligente scomposizione riuscirete a risolvere il problema. Qualche esempio:
a) x^2 – x = 0 ⇒ x ( x – 1) = 0 b) x^2 – 1 = 0 ⇒ ( x + 1) ( x – 1) = 0 riconoscimento di un prodotto notevole c) 2 ( x + 1)^2 - 4 = 2 x^2 – x ⇒ 2 ( x^2 + 1 + 2 x ) - 4 = 2 x^2 - x ⇒ 2 x^2 + 2 + 4 x - 4 = 2 x^2 - x ⇒ 2 x^2 + 4 x - 2 x^2 + x = 4 - 2 ⇒ 5 x = 2 ⇒ x = 2/
nell' esempio a) abbiamo applicato il cosiddetto “ raccoglimento a fattor comune totale ”, ovvero, dopo aver “ raccolto ” la x in quanto divisore comune tra i fattori x^2 e x , ci si è presentato un prodotto fra un monomio di primo grado ( x ) ed un binomio di primo grado ( x - 1). A questo punto l'equazione iniziale è facilmente risolvibile con la legge di annullamento del prodotto:
x ( x – 1) = 0 da cui:
x = 0
oppure
x - 1 = 0 ⇒ x = 1
nell' esempio b) , invece dopo aver constatato di avere a che fare con una “ differenza di quadrati ”, abbiamo riscritto l'equazione sotto forma di prodotto fra due binomi di primo grado ( x + 1) e ( x - 1): A questo punto l'equazione iniziale è facilmente risolvibile con la legge di annullamento del prodotto:
( x + 1) ( x – 1) = 0 da cui:
x + 1 = 0 ⇒ x = - 1
oppure
x - 1 = 0 ⇒ x = + 1
Infine, nell' esempio c) , dopo aver sviluppato il quadrato di binomio ( x + 1)^2 , ci siamo accorti che il termine ottenuto 2 x^2 faceva il “ paio ” con -2 x^2 , eliminandosi a vicenda. Rimanevano dunque solo le " x " con esponente 1.
EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE O IMPOSSIBILI
Nella pratica degli esercizi, talvolta, potrebbe capitare di incontrare delle situazioni “ambigue”. Nulla di preoccupante. In questo piccolo paragrafo spiegheremo “in soldoni” la differenza tra IDENTITÀ ed EQUAZIONI e distingueremo i 3 casi in cui un’equazione risulterà essere determinata , indeterminata o impossibile. Come abbiamo visto, per quanto sia lunga l’espressione algebrica di un’equazione, dopo aver eliminato tutti gli “intralci” descritti sopra e portate tutte le x a sinistra di “=” (primo membro) e tutti i numeri a destra (secondo membro), al penultimo passaggio ci ritroveremo con una uguaglianza del tipo:
ax = b (2)
da cui, ricavando x :
=
Es.:
3x = -6 ⇒ = = −
Ma alcune volte potrebbero capitare dei casi in cui i valori di a e b nella (2) sono tali da metterci il bastone in mezzo alle ruote. Vediamo i vari casi:
caso 1: a ≠ 0 ; b ≠ 0 ⇒ l’equazione è determinata e la soluzione la
troviamo con i metodi finora visti. Nulla di nuovo.
E quanto “0 fratto 6”? Sapete benissimo che può leggersi pure “0 diviso 6”. In più di una verifica ho letto che sarebbe una divisione impossibile. Attenzione, ragionate con la logica spicciola: “0 diviso 6”. Ipotizzate di avere in tasca 0 € e di volerli dividere fra 6 vostri compagni. Che generosi che sareste. Forse i vostri compagni vi manderanno a visitare quel Paese ( “te c’hanno mai mannato a quer Paese ..”). Però vi garantisco che l’operazione matematicamente parlando ha un senso. È chiaro che ciascuno dei vostri amici rimarrà a bocca asciutta perché se dividiamo il nulla fra più persone, a ciascuno di essi andrà ancora il nulla. Cioè, in formula:
6x = 0 ⇒ = = 0
Dunque abbiamo nuovamente ottenuto la stessa unica soluzione possibile:
x = 0
caso 3: a = b = 0
In questo caso la (2) diventa
0x = 0 ⇒ 0 = 0
uguaglianza valida al di la dei valori numerici che potremmo mettere al posto della x. Cioè l’uguaglianza iniziale vale per tutti i valori di x. Dunque non c’è
un particolare valore di x che rende vera l’uguaglianza. Tutti i numeri sostituiti
la rendono vera. Dunque le soluzioni sono infinite. In tal caso l’equazione sarà indeterminata. Essa perde la denominazione di equazione ed assume quella di Identità , ovvero di un’uguaglianza valida per ogni valore assegnato all’incognita. Qualche esempio chiarirà meglio il concetto:
Caso 3 - esempio 1:
x^2 (x^3 - 1) + x(1 - x^4 ) + x(x - 1) + x = x^2 : x + x(x - 1) + x(1 - x)
eseguiamo le moltiplicazioni e le divisioni sia a sinistra che a destra dell'uguale:
x^5 - x^2 + x - x^5 + x^2 - x + x = x + x^2 - x + x - x^2
sommiamo algebricamente tra loro i termini simili sia al primo membro che al secondo (che si eliminano a vicenda), ottenendo:
x^5 - x^2 + x - x^5 + x^2 - x + x = x + x^2 - x + x - x^2
Alla fine rimane:
x = x (4)
Già si vede che l’uguaglianza ottenuta vale per ogni valore di x noi sostituiamo. Ma facciamo i pignoli. Se trasportiamo la x dal secondo membro al primo, cambiandole il segno, otteniamo un’uguaglianza nella forma (2) con a = b = 0:
x – x = 0 ⇒ 0x = 0
Ma una tale uguaglianza è sempre valida, perché vuol dire che 0= (zero=zero). E ci mancherebbe che zero non fosse uguale a se stesso. Trattasi dunque di identità, ovvero di un’uguaglianza sempre soddisfatta al di là del valore assegnato all’incognita x.
N.B.: potevamo anche fermarci alla (4) per dire che si trattava di una identità. Difatti anche l’uguaglianza x = x è una ovvietà che vale per ogni valore di x (2=2, 5=5, 124=124, -6=-6, -12.5=-12.5, ecc.)
E adesso? Come facciamo ad affrontare questo altro caso? Possiamo ancora fare ragionamenti su somme di denaro distribuite fra compagni? Mmmm 6 € da distribuire fra 0 persone? Non suona bene. La calcolatrice cosa ci dice?
Maledetta, non ci viene tanto in aiuto! Ci dice solo che non è possibile ma non ci spiega il perché. E allora che facciamo? Torniamo alla forma (5) dell’equazione:
0x = 6
Se 0x = 6 (che si legge “ 0 per x uguale a 6 ”), dovrebbe esistere almeno un numero da sostituire alla x al fine di rendere vera l’uguaglianza. In pratica dovremmo trovare quel numero che moltiplicato per “0” dia “6” come risultato del prodotto. Ma conoscete un numero che moltiplicato per “0” dia come risultato “6” (o qualsiasi altro numero)? Non sforzatevi più di tanto. Semplicemente non esiste. Possiamo dunque affermare che l’equazione (5) non ammette soluzioni. Essa si definisce “ impossibile ”. Un’equazione impossibile si può anche “creare” volutamente, ad esempio, scrivendo un’uguaglianza palesemente assurda fra due espressioni algebriche. Vediamo qualche esempio:
Caso 4 - Esempio 1 se diciamo: “sommando 2 ad un numero sconosciuto, otteniamo lo stesso numero diminuito di 3. Qual è il numero incognito?”. Traducendo in algebra:
x + 2 = x – 3
è chiaro che le due informazioni al primo ed al secondo membro sono in contrasto fra loro perché' ad un numero qualsiasi non possiamo una volta aggiungere 2 ed un’altra togliere 3 e pretendere di ottenere due numeri uguali. Risolvendo troveremo: x + 2 = x – 3 x - x = -3 - 2 0x = -
e, per quanto detto prima, l’equazione è impossibile.
Caso 4 - Esempio 2 Facciamo la seguente affermazione: “sommando 4 al quadrato di un numero sconosciuto, otteniamo il risultato -5. Qual è il numero incognito?. Traducendo in algebra:
x^2 + 4 = – 5 Svolgendo si avrà: x^2 = – 5 – 4 x^2 = – 9
Si, lo so cosa state pensando. Ma prof., qui compare una x di grado 2 e non è una di quelle equazioni di 1° grado camuffate da equazioni di 2° grado. Qui “sto” maledetto esponente “2” non riusciamo a farlo sparire. Cosa si fa? Avete ragione. In parte, almeno. L’esponente 2 non c’è modo di farlo sparire. Ma ragionate così. Dovete trovare quel numero che elevato a 2 dia come risultato
- “-3” dirà qualcuno di voi fra i meno attenti. Quindi secondo alcuni di voi,
E si dedurrebbe ancora che, poiché “2” non è “0” e “0” non è “2”, l’equazione è impossibile.
N.B.: Non avete notato nulla? Quel burlone del prof. ha costruito nuovamente ad arte una equazione impossibile. Difatti, l’uguaglianza
(2x + 3)^2 = 4x^2 + 7 + 12x
È palesemente impossibile in quanto è un “ quadrato di binomio sbagliato ” in cui al posto del “9” (quadrato di “3”) ho messo il “7”, appositamente per mandare in tilt l’uguaglianza. E infatti, poiché la matematica non riusciamo a fregarla, ha restituito un “rifiuto” alla nostra assurda richiesta ( per quale valore di “x”, l’uguaglianza data è vera? ).
RIEPILOGO SINTETICO TIPI DI EQUAZIONE
DETERMINATE, INDETERMINATE O IMPOSSIBILI
Dopo aver eliminato tutti gli “intralci” e portate tutte le x al primo membro e tutti i numeri al secondo membro, al penultimo passaggio ci ritroveremo con una uguaglianza del tipo:
ax = b ⇒ =
Ecco i quattro casi che ci possono capitare:
caso 1: a ≠ 0 ; b ≠ 0 ⇒ l’equazione è determinata e la soluzione vale:
=
E la soluzione è unica (cioè non ne esistono altre)
caso 2: a ≠0 ; b = 0 ⇒ l’equazione è determinata e la soluzione vale:
=
0
= 0
E la soluzione è unica (cioè non ne esistono altre)
caso 3: a = b = 0 ⇒ l’equazione è indeterminata in quanto si riduce a:
0x = 0 ⇒ 0 = 0
E le soluzioni sono infinite
caso 4: a = 0 ; b ≠ 0 ⇒ l’equazione è impossibile in quanto si riduce a:
ax = b ⇒ 0x = b
E non esistono soluzioni
