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Matematica Generale - Corso D
CdL in Banca, Borsa e Assicurazione
Prova scritta del 3 luglio 2012
Cognome Nome Matricola
PARTE I: PREREQUISITI
Questa parte vale 4 punti. È indispensabile raggiungere almeno 3 punti affinchè l’elaborato sia corretto.
- Tracciare nello stesso grafico le due rette di equazione y = 3x + 2 e y = − 3 x − 1.
-2 -1 0 1 2
0
-1.
-2.
x
y
x
y
y = 3x + 2 e y = − 3 x − 1
- Calcolare la derivata prima di f (x) = ln(x^3 − 2 x) + 1 + sin (2x − 1) + √cos x.
f′(x) =^3 x
x^3 − 2 x + 2 cos (2x^ −^ 1)^ −^
sin x 2 √cos x
- Tracciare il grafico di f (x) = | (x + 3)−^1 |, mostrando tutti i grafici intermedi.
-2.5 -1.25 0 1.25 2.
0 -1. -2.
x
y
x
y
y = (^1) x
-6 -4 -2 0 2
0 -1. -2.
x
y
x
y
y = (^) x+3^1
-6 -4 -2 0 2
0 -1. -2.
x
y
x
y
y =
(^) x+3^1
PARTE II: DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA
Una sola delle quattro soluzioni è corretta: barrare la casella corrispondente. E’ consentita una sola correzione per domanda: per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Ciascuna risposta corretta vale 1 punto. È indispensabile raggiungere almeno 3 punti affinchè l’elaborato sia corretto.
- I due vettori: x = (2, 2 , 1 , 3 , 7 a) y = (2, 2 , 1 , − 3 , − 7 a) sono: a linearmente dipendenti ∀a ∗ b linearmente indipendenti ∀a c linearmente dipendenti solo per a = 0 d nessuna delle precedenti
- Il dominio di: f (x) = 3
cos x + ln x ex^ − 4 è: a {x > 0 } ∗ b (0, ln 4) ∪ (ln 4, +∞) c {x = − 4 } d manca la risposta esatta
- L’insieme: A = [0, 1] ∩ Q è: a finito ∗ b numerabile c chiuso d nessuna delle precedenti
- Il limite: x→−∞^ lim e^1 −^1 x^ sin^ x vale: a 0 b − ∞ ∗ c non esiste d manca la risposta esatta
- Per la funzione: f (x) =
(^2) se x < 0 x + 2 se x ≥ 0 il punto x = 0 è: a un punto di discontinuità b un punto di minimo assoluto forte ∗ c un punto di minimo assoluto debole d nessuna delle precedenti
PARTE III: DOMANDE A RISPOSTA APERTA
- Questa domanda vale 5 punti.
(a) Dato un insieme A ⊂ Rn, fornire la definizione di punti interni, esterni e di frontiera di A. (b) Dato un insieme A ⊂ Rn, fornire la definizione di punti isolati di A e di punti di accumulazione per A. (c) Indicare le relazioni esistenti tra:
- punti interni e punti di accumulazione e isolati;
- punti esterni e punti di accumulazione e isolati;
- punti di frontiera e punti di accumulazione e isolati. (d) Dimostrare la seguente Proposizione: Se A ⊂ B allora A′^ ⊂ B′, dove A′^ è l’insieme dei punti di accumulazione di A e B′^ è l’insieme dei punti di accumulazione di B.
- Questa domanda vale 5 punti.
(a) Sia f : A ⊆ R → R, x 0 punto di accumulazione di A e L ∈ R. Dare la definizione ǫ − δ di:
x^ lim→x 0 f^ (x) =^ L (b) Sia f : A ⊆ Rn^ → R, x 0 un punto di accumulazione di A e L ∈ R. Dare la definizione con gli intorni di:
x^ lim→x 0 f (x) = L
(c) Data f : [a, b] → R, quando si dice che f è continua su [a, b]? (d) Enunciare il Teorema di esistenza degli zeri e il Teorema dei valori intermedi.
- Questa domanda vale 5 punti.
(a) Data f : R → R e x 0 ∈ R, quando si dice che f è differenziabile in x 0? (b) Data f : R^2 → R e (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 , quando si dice che f è differenziabile in (x 0 , y 0 )? (c) Sia data f differenziabile in x 0 ∈ R. Si dica se esiste la retta tangente ad f in x 0 e, in caso affermativo, se ne dia l’equazione e se ne illustri il significato. (d) Sia data f differenziabile in (x 0 , y 0 ) ∈ R^2. Si dica se esiste il piano tangente ad f in (x 0 , y 0 ) e, in caso affermativo, se ne dia l’equazione e se ne illustri il significato.
- Questa domanda vale 4 punti.
(a) Tra tutte le funzioni f : [a, b] ⊂ R → R, elencare tre classi di funzioni che sono integrabili secondo Riemann. (b) Dimostrare che una funzione f : [a, b] ⊂ R → R limitata e monotona è integrabile secondo Riemann. (c) Data f : [a, b] ⊂ R → R integrabile secondo Riemann su [a, b], enunciare almeno tre proprietà dell’integrale definito.
