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Matematica Generale - Corso D
CdL in Banca, Borsa e Assicurazione
Prova scritta del 7 febbraio 2012
Cognome Nome Matricola
PARTE I: PREREQUISITI
Questa parte vale 4 punti. È indispensabile raggiungere almeno 3 punti affinchè l’elaborato sia corretto.
- Tracciare nello stesso grafico le due rette di equazione y = x − 3 e y = − 3 x + 2.
-1.25 0 1.25 2.5 3.75 5
5
0
-2.
x
y
x
y
y = x − 3 e y = − 3 x + 2
- Calcolare la derivata prima di f (x) = e^3 x^ + cos (2x + 1) − √^3 x − 2.
f ′(x) = 3 e^3 x^ − 2 sin (2x + 1) − 13 (x − 2)−^ (^23) = = 3 e^3 x^ − 2 sin (2x + 1) − 1 3 3
(x − 2)^2
- Tracciare il grafico di f (x) = ex−^1 + 2 mostrando tutti i grafici intermedi.
-2.5 -1.25 0 1.25 2.
5
0 x
y
x
y
y = ex
-2.5 -1.25 0 1.25 2.
5
0 x
y
x
y
y = ex−^1
-2.5 -1.25 0 1.25 2.
5
0 x
y
x
y
y = ex−^1 + 2
PARTE II: DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA
Una sola delle quattro soluzioni è corretta: barrare la casella corrispondente. E’ consentita una sola correzione per domanda: per annullare una risposta ritenuta errata racchiuderla in un cerchio. Ciascuna risposta corretta vale 1 punto. È indispensabile raggiungere almeno 3 punti affinchè l’elaborato sia corretto.
- La disequazione: (^) 1 3
x^2 − 4 x ≤ 1 ha come soluzione: a
b [0, 4] ∗ c (−∞, 0] ∪ [4, +∞) d nessuna delle precedenti
- La funzione: f (x) = √x + 3 − 2 x sull’intervallo [0, 1]: a possiede minimo ma non possiede massimo b possiede massimo ma non possiede minimo ∗ c possiede sia minimo sia massimo d manca la risposta esatta
- Il dominio della funzione: f(x) = log^
x^2 − 3 e √x (^2) + è dato da: : ∗ a D =
b D =
c D =
d nessuna delle precedenti
- L’integrale definito: (^) 1 0
x^2 e^2 xdx vale: a 14 e^4 − 14 ∗ b 14 e^2 − (^14) c 54 e^2 − 14 d manca la risposta esatta
- Il limite: x→^ lim+∞
x + 2 x + 1
x
vale: a (^1) e b e^2 ∗ c e d manca la risposta esatta
PARTE III: DOMANDE A RISPOSTA APERTA
- Questa domanda vale 5 punti.
(a) Dato un insieme A ⊂ Rn, dare la definizione di punti interni, esterni e di frontiera di A. (b) Dare la definizione di insieme aperto e di insieme chiuso di Rn. Dare un esempio in R^2 (e non in R!) di un insieme aperto, di un insieme chiuso, di un insieme né aperto né chiuso e di un insieme sia aperto sia chiuso. (c) Dimostrare che l’intersezione di due insiemi aperti è un insieme aperto e che l’unione di due insiemi chiusi è un insieme chiuso. (d) L’intersezione infinita di aperti è un insieme aperto? Se la risposta è affermativa dimostrarlo, in caso contrario fornire un controesempio.
- Questa domanda vale 4 punti.
(a) Data una funzione f : A ⊆ R → R con A aperto e x 0 ∈ A, quando si dice che f è continua in x 0? Quando si dice che f è continua su A? (b) Fornire un esempio di funzione continua definita su R ed un esempio di funzione definita su R e discon- tinua nel punto x 0 = 0. (c) Fornire un esempio di funzione definita su [0, 1] e discontinua in ogni punto x ∈ [0, 1]. (d) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri e il teorema dei valori intermedi.
- Questa domanda vale 5 punti.
(a) Data una successione {an} a valori in R, quando si dice che è convergente ad L ∈ R? Quando si dice che è divergente a +∞? (b) Utilizzando la definizione data al punto precedente, dimostrare che an = (^) n^32 converge a zero. (c) Dimostrare che una successione convergente è limitata.
- Questa domanda vale 5 punti.
(a) Data una funzione f : [a, b] ⊂ R → R, enunciare la definizione di funzione primitiva F di f. Dare un esempio di funzione f e di funzione primitiva F di f. (b) Se f possiede una primitiva, quante ne possiede? Motivare la risposta. (c) Supponendo che f ∈ R(a, b), dare la definizione di funzione integrale di f. (d) Enunciare e dimostrare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.
