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MAURI SILVIA
MATRICOLA: 5103196
ASSIGNMENT B
- Nella seguente matrice dati, sono state riportate informazioni relative all’osservazione di 20 unità statistiche ,
ciascuna delle quali identifica uno studente/essa iscritto/a ad un corso di laurea in sociologia. Sull’intero collettivo
di riferimento, sono stati rilevati 11 caratteri statistici differenti :
4 caratteri qualitativi sconnessi : i caratteri G , FS , Y , Z – ciascuno di questi può anche essere identificato con
una variabile statistica dicotomica - ;
2 caratteri qualitativi ordinali : i caratteri SQ , SM ;
5 caratteri quantitativi discreti : i caratteri H , X , NF , S , V.
- Per descrivere le variabili statistiche Y e Z (entrambe mutabili sconnesse), l’unico indice di posizione opportuno è
la moda. La moda è la modalità del carattere cui corrisponde la numerosità n i
o la frequenza f i
più elevata e può
essere calcolata per qualsiasi variabile statistica, a differenza degli altri 2 indici di posizione: la media (calcolabile
solo per v.s. quantitative) e la mediana (solo per v.s. ordinabili). La moda della v.s. Y corrisponde alla modalità
“NO” ( lo studente non è intenzionato a trascorrere un periodo di studio all’estero ), avendo n i
=15; f i
=0,75. La
moda della v.s. Z , ancora, corrisponde alla modalità “NO” ( lo studente non ha effettuato in passato un periodo di
studio all’estero ) (n i
=1 1 ; f i
- Variabile statistica NF “numero di persone nel nucleo famigliare”
Il quantile 0,1 corrisponde al 10° percentile oppure al 1° decile. Il
1° decile
10
Q
1
(X) è la modalità x i
la cui frequenza cumulata F k
è la
prima a raggiungere o superare il valore 0,10 →
10
Q
1
(X)= 2.
Pertanto, il 20% degli studenti ha un nucleo famigliare composto al
più da 2 persone. Analogamente, il quantile 0,9 corrisponde al 9 0°
percentile oppure al 9 ° decile →
10
Q
9
(X)= 4. Pertanto, il 95% degli
studenti ha un nucleo famigliare composto al massimo da 4
persone.
- Si analizzino congiuntamente le variabili Y : “ intenzione di trascorrere un periodo di studio all’estero ” e Z :
“ effettuato in passato un periodo di studio all’estero ”. Per studiare la relazione funzionale che lega le due
variabili, si calcoli l’indice χ
2
, che misura il loro grado di connessione. Si riporti la distribuzione di frequenza
congiunta in una tabella a doppia entrata, poi si calcoli χ
2
con la sua formula operativa:
χ
2
= N ⋅ [∑
(n
yz
°)
2
n y
∗⋅𝑛 ∗𝑧
r,s
y= 1 ,z= 1
] χ
2
= 20 ∗ [ 1 , 0303 − 1 ] = 0 , 606
Per capire il grado di connessione osservato, si normalizzi chi-quadrato: 𝜒
2
∗
𝜒
2
𝜒 𝑚𝑎𝑥
2
0 , 606
20
= 0 , 0303 dove
𝑚𝑎𝑥
2
= 𝑁 ⋅ [𝑚𝑖𝑛{𝑟; 𝑠} − 1 ] = 20 ⋅ [ 2 − 1 ]. Osservando i risultati ottenuti, emerge che c’è una bassissima
connessione statistica (3,0%) tra l’intenzione di trascorrere un periodo di studio all’estero e l’averne effettuato uno
in passato. Anche calcolando le distribuzioni e le rispettive frequenze condizionate 𝑓
𝑧|𝑦
𝑛 𝑦𝑧
𝑛
𝑦
∗
o 𝑓
𝑦|𝑧
𝑛 𝑦𝑧
𝑛
∗𝑧
, si può
osservare che, indipendentemente dalla variabile di risposta scelta, non c’è perfetta corrispondenza tra i due
fenomeni (l’intenzione di trascorrere un periodo di studio all’estero non viene quasi per nulla condizionata
dall’esperienza precedente e viceversa).
- Si analizzino congiuntamente le due variabili Y e FS “ studente fuori sede ”. Si ricavi la distribuzione
di frequenza congiunta della variabile statistica doppia, poi si calcoli χ
2
: χ
2
[
]
Il risultato ottenuto dimostra che c’è perfetta assenza di connessione (quindi siamo in un caso di indipendenza
stocastica) tra il fatto di essere uno studente fuori sede e il voler trascorrere un periodo di studio all’estero. Anche
calcolando le distribuzioni e rispettive frequenze condizionate 𝑓
𝑦
| 𝑓𝑠
𝑛
𝑦𝑓𝑠
𝑛
𝑓𝑠
∗
o 𝑓
𝑓𝑠
| 𝑦
𝑛
𝑦𝑓𝑠
𝑛
∗𝑦
, dai risultati ottenuti si
può osservare che le distribuzioni per riga e le distribuzioni per colonna sono uguali tra di loro, oltre che 𝑛
𝑦𝑓𝑠
𝑦𝑓𝑠
. Ciò attesta quindi che ci si trova in un caso di indipendenza stocastica.
- Si analizzino congiuntamente le due variabili Z e FS e si calcoli χ
2
: χ
2
= 20 ∗ [ 1 , 015 − 1 ] = 0 , 3.
Si normalizzi chi-quadrato: 𝜒
2
∗
𝜒
2
𝜒
𝑚𝑎𝑥
2
0 , 3
20
A (2;4)
B ( 3 ;7)
C (4;19)
D (5;20)
Xi
MAURI SILVIA
MATRICOLA: 5103196
ASSIGNMENT B
Il risultato ottenuto dimostra che c’è una bassissima connessione statistica tra l’aver effettuato in passato un
periodo di studio all’estero e l’essere uno studente fuori sede (grado di connessione pari a 1,5%) >> esito
avvalorato anche calcolando 𝑓
𝑓𝑠|𝑧
o 𝑓
𝑧|𝑓𝑠
- Per fornire una stima per la proporzione di coloro che, fra gli iscritti a sociologia, hanno effettuato in passato un
periodo di studio all’estero (v.s. Z ), occorre utilizzare la seguente formula:
1
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
; 𝑝̂ = 9/20 = 0,45 = 45% → Si stima che il 45% degli studenti iscritti alla facoltà di sociologia
abbia effettuato in passato un periodo di studio all’estero.
Le proprietà principali della proporzione campionaria sono: non distorsione : E (P̂) = p ; consistenza : maggiore è
l’ampiezza del campione ( n ), minore sarà la varianza dello stimatore proporzione campionaria V(P̂); efficienza :
fra tutti gli stimatori non distorti per la proporzione, P̂ è lo stimatore più efficiente; distribuzione Normale : per il
TLC, al crescere del campione n , la distribuzione della proporzione campionaria tende a quella di una variabile
casuale Normale con media p e varianza
𝑝⋅( 1 −𝑝)
𝑛
- Fornire un IC (livello di confidenza 1 - α = 0,95) da associare alla stima 𝑝̂ = 0,
𝑝̂ ( 1 −𝑝̂ )
𝑛
0 , 45 ( 1 − 0 , 45 )
20
- 2475
20
1 −
𝛼
2
= ± 1 , 96 ; IC: 𝑝̂ ± 𝑧
1 −
𝛼
2
𝑝̂ ( 1 −𝑝̂ )
𝑛
L’IC va dal 23,2% al 66,8% → estraendo un campione probabilistico, nel 95% dei casi, la probabilità che uno
studente abbia effettuato in passato un soggiorno di studio all’estero può variare tra il 23,2% e il 66,8%. La
precisione dell’intervallo di confidenza risulta bassa, quindi si ha un margine di errore considerevole nel calcolare
la stima relativa al fenomeno.
- IC per 1-α = 0,99 Valore critico: 𝑧
1 −
𝛼
2
= ± 2 , 58 IC = 0,45±0,
L’IC va dal 16,4% al 73,6% → estraendo un campione probabilistico, nel 9 9 % dei casi, la probabilità che uno
studente abbia effettuato in passato un periodo di studio all’estero può variare tra il 16,4% e il 73,6%. Avendo
aumentato il livello di confidenza, l’ampiezza dell’intervallo è cresciuta ulteriormente. L’IC risulta pertanto
ancora meno preciso del caso precedente (con 1-α = 0,95).
- Si prendi in considerazione la variabile quantitativa H : “ ore dedicate allo studio nell’ultima settimana ” e si calcoli
un IC per la media (1-α = 0,95).
1
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
→ 𝑥̅ = 18 , 3 ≫ Essendo in presenza di un campione piccolo ( n <30) e
avendo varianza σ
2
e media μ ignote, occorre utilizzare la variabile casuale T di Student.
∑(𝑥
𝑖
−𝑥̅ )
2
𝑛− 1
10 , 01 = 3,164 quantile t di Student: t 19;0,
IC
0,
[
19 ; 0 , 975
𝑠
√
𝑛
19
𝑠
√
𝑛
]
= [ 16 , 819 ; 19 , 781 ] → estraendo un campione probabilistico, nel
95% dei casi, il numero di ore che uno studente ha dedicato allo studio nell’ultima settimana è compreso tra
1 6,819 (circa 17h) e 19, 781 (circa 20h). L’IC risulta pertanto abbastanza preciso.
- 1 - α = 0,95 p = 0,50 >> variabile statistica SQ : “ grado di sicurezza percepito nel proprio quartiere ”. Si testi
l’ipotesi nulla H 0
che la proporzione di studenti che si sentono sicuri nel proprio quartiere è pari a quella degli
studenti che non si sentono sicuri con il sistema di ipotesi: H 0
:p = 0,5 vs. H 1
:p ≠ 0,5.
Si utilizzi il test z e si calcoli 𝑝̂ per gli studenti che si sentono sicuri nel proprio quartiere [ 3 , 4 ](si potrebbe
calcolare equivalentemente 𝑝̂ per gli studenti che non si sentono sicuri [ 1 , 2 ]): 𝑝̂ = 9/20 = 0,45.
z oss
𝑝̂ −𝑝
0
√
𝑝
0
⋅( 1 −𝑝
0
)
𝑛
= |- 0,44 7 | = 0,44 7 → confrontando il valore z oss
= 0,44 7 con i valori teorici z 0,
= +1,96 e – z 0,
= - 1,96, si nota che esso cade entro l’area di accettazione delimitata dai valori critici − 1 , 96 ≤ ± 0 , 447 ≤ 1 , 96. A
livello di significatività 0,95, pertanto, si accetta l’ipotesi nulla H 0
- Considerando il test effettuato al punto precedente, poiché si accetta H 0
a livello di significatività 0,95, ci si
aspetterà un valore del p-value > 0, 05. Sarà quindi possibile dimostrare che c’è una certa evidenza empirica a
supporto di H 0
(i dati campionari suggeriscono che è molto probabile che H 0
sia vera). Le stime prodotte con i dati
campionari non risulteranno quindi statisticamente significative.
