Esercitazione statistica, Esercizi di Statistica

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Esercitazione 3

12/4/ probabilità

Probabilità – eventi elementari

Spazio campionario (S) Evento elementare (E)

Esercizi introduttivi

• Dopo aver lanciato per tre volte otteniamo la seguente terna di numeri: 1, 4, 3. Lanciamo altre tre volte e otteniamo: 4, 6, 1.
• Descrivere queste due terne di numeri come eventi A e B.
• Stabilire, sia per A che per B, l’insieme complementare.

Esercizi introduttivi

• Dopo aver lanciato per tre volte otteniamo la seguente terna di numeri: 1, 4, 3. Lanciamo altre tre volte e otteniamo: 4, 6, 1.
• Descrivere queste due terne di numeri come eventi A e B. A = {1, 4, 3} B = {4, 6, 1}
• Stabilire, sia per A che per B, l’insieme complementare. 𝐴 = {2, 5, 6} 𝐵 = {2, 3, 5}
• Gli eventi 𝐴 e 𝐵 sono i complementari di A e B. 𝐴 comprende tutti gli elementi di S che non appartengono ad A e 𝐵 quelli che non appartengono a B.

• Trovare l’unione tra A e B: {1, 3, 4, 6}
• L’intersezione tra A e B: {1, 4}
• L’unione tra A e 𝐴: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = S
• L’intersezione tra A e 𝐵: {3}

Esercizi introduttivi

Esercizi introduttivi

• Dividiamo il seguente spazio campionario S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} in due sottoinsiemi seguendo la seguente regola: insieme A numeri pari, insieme B numeri dispari.
• Descrivere gli eventi A e B.
• Stabilire, sia per A che per B, l’insieme complementare.

• Trovare l’unione tra A e B:
• L’intersezione tra A e B:
• L’unione tra A e 𝐴:
• L’intersezione tra A e 𝐵:

Esercizi introduttivi

• Trovare l’unione tra A e B: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = S
• L’intersezione tra A e B: {Ø}
• L’unione tra A e 𝐴: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = S
• L’intersezione tra A e 𝐵: {2, 4, 6, 8}

Esercizi introduttivi

• A e B sono collettivamente esaustivi?: SI
• A e 𝐴 sono collettivamente esaustivi?: SI

Esercizi introduttivi

• S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8, E9, E10}

• Dato A = {E1, E3, E6, E9} definire 𝐴
• 𝐴 rappresenta il complemento di A e contiene tutti gli eventi elementari che non sono presenti in A perciò: 𝐴 = (E2, E4, E5, E7, E8, E10)

Insieme complemento

a) A ∩ B = {E4, E5, E6, E10} b) A U B = {E1, E2, E4, E5, E6, E7, E8, E10} c) L’unione di A e B non è collettivamente esaustiva perchè non contiene tutti gli elementi dello spazio campionario (mancano E3 e E9).

Insieme complemento

Unione e intersezione

• A un’azienda viene consegnato un nuovo macchinario che, prima di essere operativo, deve essere installato e controllato. Il responsabile è sicuro che non occorreranno più di 7 giorni per effettuare l’installazione e la verifica. Sia A l’evento «occorreranno più di 4 giorni prima che il macchinario sia operativo» e sia B l’evento «occorreranno meno di 6 giorni prima che il macchinario sia operativo». a) Descrivete l’evento complementare di A. b) Descrivete l’evento intersezione di A e B. c) Descrivete l’evento unione di A e B. d) Gli eventi A e B sono mutamente esclusivi? e) Gli eventi A e B sono collettivamente esausitivi? f) Dimostrare che (A ∩ B) U (𝐴 ∩ B) = B g) Dimostrare che A U (𝐴 ∩ B) = A U B

d) No, gli eventi A e B non sono mutuamente esclusivi infatti la loro intersezione non è l’insieme vuoto. e) Si, perché la loro unione comprende tutti gli eventi dello spazio campionario.

Unione e intersezione

f) (A ∩ B) rappresenta l’evento che ci vogliano 5 giorni prima che il macchinario sia operativo. (𝐴 ∩ B) è l’evento che si impieghino 4 giorni, 3 giorni, 2 giorni, 1 giorno. L’unione tra questi due eventi è che ci vogliano meno di 6 giorni (da 1 a 5) perchè il macchinario sia operativo. Questo evento rappresenta esattamente la definizione dell’evento B perciò (A ∩ B) U (𝐴 ∩ B) corrisponde all’evento B. g) (𝐴 ∩ B) è l'evento che ci vogliano 4 giorni, 3 giorni, 2 giorni, 1 giorno. Siccome A è l’evento 5 giorni, 6 giorni, 7 giorni allora A U (𝐴 ∩ B) sarà l’evento da 1 a 7 giorni e rappresenta perciò A U B. AU(𝐴 ∩ B) equivale ad A U B.

Unione e intersezione