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INFERENZA STATISTICA
Metodi per trarre affermazioni su una popolazione da un campione
Obiettivo: ridurre al minimo gli errori che si commettono.
→momento obbligato di ogni indagine scientifica
finita
Tipi di popolazione
infinita (esiti lancio moneta)
Se popolazione infinita → campioni casuali (semplici o a
componenti correlate)
campioni casuali
Se popolazione finita
campioni non casuali
CAMPIONE CASUALE SEMPLICE: le sue componenti Xi sono estratte
sempre alle medesime condizioni e sono tra loro indipendenti.
STATISTICA: combinazione dei dati campionari usata per giungere
a delle conclusioni sulla popolazione oggetto di studio.
STIMA DI UN PARAMETRO: identificare il particolare valore assunto
da un indice descrittivo con riferimento alla distribuzione di un
carattere in una popolazione.
- Stima puntuale: propone un unico valore per il parametro .
- Stima intervallare: propone un intervallo di valori che
dovrebbe contenere quello di .
VERIFICA DI IPOTESI: si giudica la coerenza di alcune affermazioni
sulla popolazione con le osservazioni sperimentali disponibili.
STIMATORE: funzione dei dati del campione usata per calcolare la
stima dell’indice nella popolazione.
→ uno stimatore è una variabile casuale.
TEORIA DELLA STIMA PUNTUALE
La media campionaria può essere utilizzata per stimare la media
della popolazione non nota.
Questa scelta si basa sul fatto che:
- la sua distribuzione è centrata sulla media della popolazione;
- la precisione di stima migliora al crescere del campione.
Proprietà di uno stimatore:
- CORRETTEZZA: il valore atteso dello stimatore coincide con il parametro oggetto di studio
- CONSISTENZA: accade quando, fissato un margine di approssimazione qualsiasi, la probabilità che la stima ottenuta sia distante dal parametro oltre il margine scelto, tende a zero al crescere della numerosità campionaria.
TEOREMA: se per lo stimatore t ( X 1 ,…, Xn ) del parametro vale:
( ) = n → n
lim E t X 1 ,..., X & lim ( 1 ,..., )= 0 n → n
V t X X
allora t ( X 1 ,…, Xn ) è uno stimatore consistente.
Se si usa un campione casuale semplice, la media campionaria è
stimatore corretto e consistente della media della popolazione.
→ E ( X ) = e ( ) n
V X
2 = soddisfano le condizioni del teorema.
Metodo dei momenti
Momento dall’origine di ordine r :
n i
r r r Xi n
M X 1
Momento misto dall’origine di ordine r e s :
= (^ ) = =
n i
r s r s rs Xi Yi n
M X Y 1
Lo stimatore è determinato in due passi:
- riportando la relazione tra i parametri oggetto di inferenza e i momenti riferiti alla popolazione da cui è tratto il campione;
- sostituendo ai momenti teorici quelli campionari.
- ricavando la relazione inversa che esprime in funzione dei momenti campionari
Media e varianza di una popolazione normale
2 1 2 2 2
2 (^2 22) ~
x S n
x
x
n
x
x
E X
E X n i i
n i i
Retta dei minimi quadrati (modello lineare stocastico)
Modello: = ( y – a – b x ) ~ N (0;
2 ) con E ( x ) = 0
2 1
2
1 2 1
2
1
1
2 2 1
=
=
=
=
=
n
i
i i
n
i
i i i
n
i
i i
n
i
i i i
n
i
i i
y y b x x n
x y y b x x n
a y bx
y a bx n
x y a bx n
y a bx n
E
E x
E
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 1 1
2 2 1
2
1 1 1 2
1 1
1 1
~
− + − − − − =
− = −
= −
= = =
= = n
i
i i
n
i
i
n
i
i
n
i
i i
n
i
i i
y y x x n
x x b n
y y b n
x x x n
x y y b n
a y bx
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
2 2 2 2
2
~ 2
~
~
2
~
x
xy y x
xy
x
xy y
xy x
y x xy
xy x
S
S S S
S
S
S S
b S S
a y bx
S b S bS
S bS
a y bx
= + − = −
=
= −
=
= −
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2
y xy x y xy
xy x
S S S S r
b S S
a y bx
Sia ( X 1 , …, Xn ) un campione casuale semplice estratto da una
popolazione in cui X segue una distribuzione continua con densità
f ( x ) =
x +^
con x 1 e > 1. Determinare il valore atteso di X e lo
stimatore del parametro ottenuto con il metodo dei momenti.
E ( X ) =
x
x +1 dx^ =^
x dx^ =
x −(− 1 )
1
E ( X ) =
= x → 1 +
= x → =
x
x − 1
Sia ( X 1 ,…, Xn ) un campione casuale semplice estratto da una
popolazione in cui X segue una distribuzione continua con densità
f ( x ) = (1+ ) x^ ^ per 0 x 1 e nulla altrove. Determinare il valore
atteso di X e lo stimatore del parametro ottenuto con il metodo
dei momenti.
Ogni elemento di un campione casuale semplice ha quindi
probabilità p di presentare il carattere e 1 – p di non presentarlo
seguendo una stessa distribuzione di Bernoulli :
( ) ( 1 ) 0 , 1
1 = − =
− i
x x p xi p p p x i i
La probabilità di estrarre un campione X = ( X 1 , …, Xn ) è allora:
( ) ( ) ( )
(^) = − =
− = (^) (^) = = − = −
n i i
n n i i i xi n x i
n x x p X p i p xi p p p p p ( ) 1 1 1 1 1
1 1
Ad esempio, la probabilità di un campione che ripete per 3 volte il
carattere qualitativo su 5 estrazioni in un a certa sequenza è:
( )
3 2 p ( X 1 = 0 , X 2 = 1 , X 3 = 1 , X 4 = 0 , X 5 = 1 , p )= p 1 − p
che è proporzionale alla probabilità di osservare un generico
campione che contiene per 3 volte il carattere qualitativo su 5
estrazioni calcolata dalla v.c. binomiale.
→ la probabilità di osservare il campione X dipende quindi dalla
frazione p di soggetti che presentano il carattere nella popolazione
e può essere vista come una funzione di questo parametro.
Invertendo l’ordine di causalità che si è tenuto fino a questo punto,
si può usare la probabilità del campione per impostare un
ragionamento ipotetico e valutare il grado di accordo tra valori
congetturati di p e i risultati del campione X = ( X 1 , X 2 , …, Xn ).
Se si legge la probabilità o densità del campione X come una
funzione dei valori congetturabili per , questa funzione è detta
verosimiglianza ed è definita eliminando fattori di proporzionalità.
( ) ( ) (^) ( )
n
i
L f X X Xn f Xi 1
X 1 , 2 ,..., .
Il logaritmo della verosimiglianza è definita log–verosimiglianza
l ( ) L ( ) f ( X ) c
n X = ln X = (^) i = 1 ln i +
Riprendendo l’esempio precedente, la verosimiglianza associata a
un campione casuale semplice per un carattere che segue
distribuzione di Bernoulli è:
( ) ( ) ( ) ( )
n x n x nx n (^^ x ) i
x x L p p p p p p p
n i i
n i i i i − − =
− = (^) − = − = −
(^) = =^1 1
1 1 1 1 1 1
mentre la sua log–verosimiglianza è:
( ) ( ) ( ) n ( p ) p
p l p nx p n x p nx + − −
= + − − = ln 1 1
ln 1 ln 1 ln
Si consideri un campione casuale semplice estratto da popolazione
normale di media e varianza ^2. Determinare le funzioni di
verosimiglianza e di log–verosimiglianza rispetto ai due parametri.
( ) ( )
( )
= =
n
i
i
n n
i
i
x f f X 1 2
2 2 2 (^1 )
exp 2
X
( )
( )
=
n
i
i
n x L 1 2
2 2 2
2
2
exp
X
( )
( )
− = − − =
n
i
n xi l 1 2
2 2 2
2
ln 2
,
X
L’idea chiave nel considerare la verosimiglianza a fini inferenziali
è di scegliere come stimatore del parametro , l’espressione dei
dati campionari che rende massima la verosimiglianza, seguendo
2 1
2
X ˆ n
n
i
(^) i − =
e ( )
2 1
2 2 ˆ X X n S
n
i
= (^) (^) i − =
Si consideri un campione casuale semplice estratto da una
popolazione di bernoulli. Determinare lo stimatore di massima
verosimiglianza di p.
l (^ p )^ (^ x )^ p ( n^ x )^ (^ p ) c
n i i
n = (^) i = 1 i ln + −= 1 ln 1 − +
1 1
−
p
n x
p
x
p
l p
n i i
n i i
f n
x p x
n
p
x
n x
p
p
p
n x
p
x
n i i n i (^) i
n i i
n i (^) i
n i (^) i
n i (^) i
=
=
= = =
1
1
1
1 1 1
Sotto ampie condizioni di regolarità, il metodo dei momenti e
quello della massima verosimiglianza assicurano entrambi degli
stimatori consistenti e asintoticamente non distorti.
Proprietà stimatori di massima verosimiglianza:
- stimatori consistenti e asintoticamente corretti
- stimatori BAN ( Best Asymptotically Normal )
n N i
n i
N (^) n n n n
lim ˆ ~ 0 ;
lim ˆ ~ ; −
dove 1/( n i ()) è limite inferiore per la varianza di un qualsiasi
stimatore asintoticamente corretto (teorema di Cramer − Rao ).
STIMA PER INTERVALLI:
Stima di attraverso un intervallo casuale funzione del
campione X :
I ( X ) = [ a ( X ), b ( X )]
con a ( X ) b ( X ) e tale che P ( I ( X ) ) = 1 – .
QUANTITÀ PIVOT: espressione V ( X , ) dei dati e del parametro
oggetto di inferenza la cui distribuzione non dipende da .
V ( X , ) ~ D ( c )
Modello Xi ~ N ( , 02 ) nel caso di varianza nota,
n
X N
2 0 ~ 0 ;
e ( , ) ~ ( 0 ; 1 ) 0
N
X
V X n
V ( X , ) = n
X¯ −
è quantità pivot poiché la sua distribuzione è
N (0,1) per qualsiasi valore di .
Si noti come V ( X , ) non è una statistica perché dipende dal valore
ignoto di → V ( X ,) non è calcolabile neanche dopo aver estratto
il campione X.
L’idea è quella di
- individuare un intervallo entro cui la quantità pivot ricade nel
1 – % delle volte.
- trovare un intervallo con probabilità equivalente che isola il parametro di interesse.
Ampiezza intervallo minore di
=
− −
− = + − − − 2
1 2
1 2
1 ^2
z n
z n
z x n
b a x
Isolando n si ottiene 2
1
−
n z e quindi ( )
2 2 1 2
2 (^4)
−
n z
Da una popolazione N (;4) è stato tratto il campione casuale
semplice {2,3; 3,1; 1,6; 3,9; 1,2}.
a) Calcolare per degli intervalli di fiducia
1 − rispettivamente pari a 0,90; 0,95; 0,99. b) Trovare le numerosità campionarie minime affinché intervalli con stessi livelli di fiducia dei precedenti presentino ampiezza minore di 1.
( 2 , 3 3 , 1 1 , 6 3 , 9 1 , 2 ) 2 , 42 5
x = + + + + =
1 − = 0,90 /2 = 0,05 1 − (/2) = 0,95 z 0,95 = 1,
1 , 645 2 , 42 1 , 47 0 , 95 5
2 = − z 0 , 95 = 2 , 42 − = − = n
a x
1 , 645 2 , 42 1 , 47 3 , 89 5
2 = + z 0 , 95 = 2 , 42 + = + = n
b x
(0,95 ; 3,89) con fiducia 0,
1 − = 0,95 /2 = 0,025 1 − /2= 0,975 z 0,975 =1,
1 , 96 2 , 42 1 , 75 0 , 67 5
2 = − z 0 , 975 = 2 , 42 − = − = n
a x
1 , 96 2 , 42 1 , 75 4 , 17 5
2 = + z 0 , 975 = 2 , 42 + = + = n
b x
(0,67 ; 4,17) con fiducia 0,
1 − = 0,99 /2 = 0,005 1 − /2 = 0,995 z 0,995 = 2,
2 , 575 2 , 42 2 , 3 0 , 12 5
2 = − z 0 , 995 = 2 , 42 − = − = n
a x
2 , 575 2 , 42 2 , 3 4 , 72 5
2 = + z 0 , 995 = 2 , 42 + = + = n
b x
(0,12 ; 4,72) con fiducia 0,
Isolando n : ( )
2 2 1 2
2 (^4)
n z , si ottengono infine le numerosità
campionarie minime:
per 1− = 0,90 (^1 ,^645 )^43 ,^3 1
2 n = → n 44
per 1− = 0,95 ( 1 , 96 ) 61 , 5 1
2 n = → n 62
per 1− =0,99 ( 2 , 575 ) 106 , 1 1
2 n = → n 107
Modello statistico: N ( ,
2 ) con 2 non noto
Stima di : se in n
X¯ −
si sostituisce di 2 con la sua stima
puntale s 2 C :^ V ( X ,^ )^ =^ n^
X¯ −
sC
è ancora una quantità pivot ma
non si distribuisce più secondo una normale. Infatti
( )
( ) ( )^1 1
2
Y n
Z
n
n S
X
n
S
n X
S
X
n C C C
con Z che segue una distribuzione normale standard e Y una chi
quadrato con n – 1 gradi di libertà, tra loro indipendenti per le
proprietà del campionamento da popolazione normale.
Tavole dei percentili per V. C. t di student
Tornando al problema della stima per intervallo della media di una
popolazione normale, n
X¯ −
sC
si distribuisce secondo una t di
student con n – 1 gradi di libertà.
Conoscendo questo risultato, possiamo ora impostare passaggi
analoghi a quelli per l’intervallo sulla media con varianza nota e
ottenere gli estremi di un intervallo su usando i percentili della
distribuzione t di student con n – 1 gradi di libertà:
=^ −
2 ^ t 1 − 2 1 S
X
P t n C
( ) ^ ( )=^ −^
− (^1) − 2 − t 1 − 2 1 n
S
t X n
S
P
C C
e quindi:
a ( X ) = X¯ −
SC
n
t 1 −( / 2) b ( X ) = X¯ +
SC
n
t 1 −( / 2)
Si assume che i rendimenti mensili di un fondo azionario seguano
una distribuzione normale. Assimilando le seguenti rilevazioni,
a un campione casuale semplice, costruire un intervallo di
confidenza di livello 0,9 per la media .
( 0 , 1 1 , 9 ... 2 , 8 ) 1 , 033 9
x = − + + =
( ) ( )=^ −^
− (^1) − 2 + t 1 − 2 1 n
S
t X n
S
P X
C C
t n S
X
n C
Percentili della variabile casuale chi – quadro
per diversi valori di p = P ( X ≤ x ) Il campione casuale semplice {3,9; 3,5; 3,4; 3,5; 4,3; 4,2} è stato
- g.d.l. 0.900 0.950 0.975 0.990 0. - 1 3.0777 6.3137 12.7062 31.8210 63. - 2 1.8856 2.9200 4.3027 6.9645 9. - 3 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5. - 4 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4. - 5 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4. - 6 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3. - 7 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3. - 8 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3. - 9 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3. - 10 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3. - 11 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3. - 12 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3. - 13 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3. - 14 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2. - 15 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2. - 16 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2. - 17 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2. - 18 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2. - 19 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2. - 20 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2. - 21 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2. - 22 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2. - 23 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2. - 24 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2. - 25 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2. - 26 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2. - 27 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2. - 28 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2. - 29 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2. - 30 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2. - 60 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.
- + 1.2816 1.6449 1.9600 2.3264 2.
- g.d.l. 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0, p - 1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7, - 2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10, - 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12, - 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14, - 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 15,086 16, - 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18, - 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20, - 8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21, - 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,
- 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,
- 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,
- 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,
- 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 27,688 29,
- 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,
- 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,
- 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,
- 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,
- 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,
- 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,
- 20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,
- 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,
- 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,
- 23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,
- 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,
- 25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,
- 26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,
- 27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,
- 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,
- 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,
- 30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,
- 60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91,
- fiducia per ^2 di livello rispettivamente pari a 0,95 e 0,9 estratto da una popolazione normale. Si calcolino due intervalli di - x = 3 , 8 0 , - s = 0 , 127 0 ,
Intervallo di fiducia 1 – = 0,
a =
( n – 1 ) SC^2
2 0,95(^5 gdl )^
b =
( n – 1 ) SC 2
^2 0,05( 5 gdl )
Intervallo di fiducia 1 – = 0,
a =
( n – 1 ) SC^2
2 0,975(^5 gdl )^
b =
( n – 1 ) SC^2
^2 0,025( 5 gdl )
Stima per intervallo di una proporzione p :
Si consideri di voler stimare la frazione di soggetti che presentano
un determinato attributo in una popolazione.
Se X = ( x 1 , …, xn ) è un campione casuale semplice estratto da una
stessa popolazione di Bernoulli , l’elemento xi segnala la presenza
dell’attributo ricercato sulla i – esima unità del campione e:
o i Xi Bi ( n , p )
o x n
x
n
n f
n i i^ = = = 1 ^ = 1 è stimatore corretto e consistente
della media della Bernoulli ovvero di p
o s = f (1 − f ) è stimatore consistente della varianza della
Bernoulli di p (1 − p )
