Un cannone posto a un’altezza di h = 10.0 m rispetto al livello del suolo e con un alzo di 30◦^ spara un proiettile con velocit`a iniziale 100 m / s. A che distanza dalla verticale del punto di lancio il proiettile tocca terra? [Sol.: 900 m (posizionando il cannone alla quota h si aumenta la gittata del 2%)]
Due automobili uguali procedono incolonnate ed alla stessa velocita (v 01 = v 02 = 90 km / h) lungo una strada rettilinea. La loro distanzae pari a D (= 15 m). All’istante t 0 (= 0 s) la prima automobile inizia a frenare con una accelerazione negativa costante a 1 (= 6 m / s^2 ) fino a fermarsi. Supponendo che la seconda freni con la stessa modalita, determinare entro quale istante t 2 la seconda automobile debba iniziare la frenata affinch´e si possa fermare senza urtare quella che la precede. Determinare inoltre quale sia lo spazio necessario alla prima automobile per arrivare ad un arresto completo. [t 2 = 0.6 s, ` = 52.1 m]
Un nuotatore attraversa un fiume di larghezza = 20 m puntando in di- rezione normale alle sponde. La velocita di spostamento del nuotatore relativa all’acqua e costante e pari a 3.6 km / h. Si consideri come origine del moto il punto A di partenza del nuotatore da una delle due sponde. Se la velocita dell’acqua del fiume varia con la distanza y dalla sponda di partenza secondo la legge vf = αy(− y), con α = 5 · 103 (m · s)−^1 , si determini il tempo impie- gato ad attraversare il fiume e il punto di arrivo B. Si descriva la traiettoria del nuotatore mediante un grafico. [Sol.: 20 s; B si trova 6.7 m piu avanti di A lungo il corso del fiume]
Un punto materiale si muove di moto circolare lungo una circonferenza di raggio 10 m con accelerazione angolare costante. All’istante iniziale t 0 = 0 s si ha θ = 0, ω(0) = ω 0 ≡ 2 π s−^1 , mentre al tempo t 1 = 2 s si ha ω(t 1 ) = ω 1 ≡ 3 π s−^1. a) Calcolare l’accelerazione centripeta del punto materiale all’istante t 2 = 4 s.

b) Quanti giri o frazioni di giro ha compiuto tra t 0 e t 2?

c) Quanto tempo impiega a percorrere il primo giro?

d) E un moto periodico? Perch´` e?

e) Calcolare la velocit`a vettoriale e l’accelerazione vettoriale all’inizio e alla fine del primo giro. [Sol.: a) 160 π^2 m/s^2 ; b) 6; c) 0.90 s; d) no; e) (20 π m/s)ˆuy , −(40 π^2 m/s^2 )ˆux+ (5 π m/s^2 )ˆuy ,

6 π m/s

ˆuy , −(60 π^2 m/s^2 )ˆux + (5 π m/s^2 )ˆuy ]

Un cannone spara con velocita iniziale v = 300 m/s proiettili che devono colpire un bersaglio situato su un monte di altezza h = 10^3 m rispetto al cannone. La distanza in linea d’aria tra il cannone e il bersaglioe di 5 · 103 m. Trovare l’angolo di alzo. Si calcoli l’altezza massima raggiunta dal proiettile e la gittata se α = 30◦. [Sol.: 28◦^ oppure 72.5◦; 1150 m; 7940 m]
Un tuffatore si lancia orizzontalmente da un’altezza h = 35 m. Sapendo che ci sono scogli per 5 m dalla base della piattaforma di tuffo determinare il tempo di volo e la velocit`a minima che permette al nuotatore di evitare gli scogli. [Sol.: 2.7 s; 1.9 m/s]
Un arciere deve colpire un bersaglio posto ad una distanza di 25 m. La velocita iniziale della frecciae 38 m/s. Sapendo che se mira direttamente al bersaglio la freccia parte in direzione orizzontale, di che angolo deve inclinare l’arco per colpire la mela? [Sol.: 4.9◦; 85.1◦^ ]