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LE EQUAZIONI LINEARI Esercizi in più
Copyright © 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
Risolvi le seguenti equazioni.
9
x^2
2 x^3
x 54
4 x^2 1
2 x 36
3 x
x^2
[6]
x 2 1
0 x 9
^1
^ x
x
2 2
^0 0
^0
^ 4 x
2
x 1
4 x (4x 2) 2 x
^ 1
x^2 3 x 9 [impossibile]
3 x (^2)
7 x 2 ^ 9 x
x 3 1
7 x 2
x
)^1
4 x^2
x 9
2 x^2
5 x 3
2 x^2
x 3
^4
x
x
[impossibile]
x 3
x
x 2 x x 2
4 x
x (^2)
x
2 ^ ;^ ^
^2 ^
x^
1 2(2x 5)^1 2 x (^2)
x^ 10 [^ ^ 3] ^1 x
2 ^3
x
x
2 2 x
^1
x x
2 2 3 x
2
7 x
2 x
[impossibile]
2 x^4 4 x (^2) ^ x^ 2 x^3 4 [ 5]
x x
3 x (^2)
x x
2 6
x^2
x
x^2
x 2
x
^2
x
x (^2)
^1
x^2
x 4 x
[4]
x (^2) ^ x^ 4 x^1 4 x (^2) ^ x
2 5
x
6 x 2
x
x 2 0 [x 1 ∧ x 2 ∧ x 3]
x 2
x 6 x
5 x (^2)
x 1
0 x
x x
14 1 0 [impossibile]
^1 ^ x^2 x^3 8
2 x^2 7 x (^7) x (^3) 15 x (^2) 75 x 125
2 x^2
x
7 x
4 x 3
x
x 3
2
^ x
^3 ^4 x^2 8 x^3 1 12 x^2 6 x
^9 ^ x^ ^2 x 1
ESERCIZI IN PIÙ
LE EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE
LE EQUAZIONI LINEARI Esercizi in più
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Risolvi le seguenti equazioni.
(x 2)^4 (x^2 8 x 14)^2 0 3; ^5
(x^2 5) 2 8(x^2 5) 16 0 [ 3]
^1 ^
^ x^2
^1 ^
^3 x^2
^0 [^ 3; 0]
x^2 2 ^2 (1 x) ( 2)^2
9 x 4
5 x [2; 5]
2(x^4 30 7 x) x^2 (7x 23) 14 x 0 2;
2 ^ ; 5
(4x^2 1)(x 5) (10 2 x)^2 (4x 2) ^4
1 x x^2 x^3 x^4 x^5 0 [ 1]
x(x^2 6 x^3 7) 3 3(1 2 x^4 ) [ 3; 1; 2]
x^5 ^32 x^4 17 x^3 24 x^2 16 x 0 ^12 ; 0; 4; 2
10 8 x^3 6 x(2 x) 2 x [ 3; 2; 1]
ESERCIZI IN PIÙ
LE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Esercizi in più
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Dopo aver verificato che il triangolo di vertici A(4; 6), B(7; 9), C(0; 10) è rettangolo, calcola il perimetro e la lunghezza della mediana relativa all’ipotenusa.
^12 ^2 ;^
Dopo aver determinato l’equazione della retta in figura, scrivi l’e- quazione del fascio improprio di rette che la contiene. Determina per quale valore del parametro del fascio si ha una retta passante per il punto A(8; 4).
[x y 1 0; x y q 0; q 4]
Il parallelogramma ABCD ha vertici A( 2; 1), B( 4; 2), C(2; 2). Determina le coordinate del vertice D e calcola il perimetro di ABCD. Scrivi poi l’equazione della retta parallela all’asse x e passante per il punto di intersezione delle diagonali del parallelogramma.
(4; 1); 12^ ^2 ^13 ;^ y^ ^
È dato il fascio proprio di rette di equazione (2k 1)x 3 ky 4 0, k R. Determina per quale valore di k si ottiene una retta del fascio pa- rallela a quella disegnata in figura.
^
ESERCIZI IN PIÙ
ESERCIZI DI FINE CAPITOLO
y
O (^1) x
1
2
y
O
x
3
1
2
2
IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Esercizi in più
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Scrivi le equazioni delle rette rappresentate in figura e stabilisci se sono tra loro perpendicolari.
[x 2 y 0; y 2 x 5; r ⊥ s]
Data la retta di equazione
k k
^2
x^ ^ (1^ ^ k)y^ ^1 ^ 0,
determina k in modo tale che: a) la retta sia parallela all’asse x; b) la retta sia parallela all’asse y; c) la retta passi per il punto P(0; 4); d) la retta passi per il punto di ordinata 1 dell’asse y.
a)^ ^ 2; b) 1; c)^
; d) 2
Rappresenta nel piano cartesiano l’insieme delle soluzioni delle seguenti disequazioni: a) y x; b) 0 x 1; c) y x 1. Stabilisci poi quale parte di piano rappresenta le soluzioni dei seguenti sistemi:
d) ; e) ; f) .
Dati i punti A( 2; 3), B( 2; 1), C(3; 4), determina: a) perimetro e area del triangolo ABC; b) le equazioni delle rette su cui giacciono i lati di ABC; c) l’equazione della retta s passante per C e perpendicolare a BC; d) le coordinate del punto D, intersezione fra s e l’asse x; e) l’area del quadrilatero ABDC. [a) perimetro 4 5 2 26 ; area 10; b) x y 1 0; x 2 0, x 5 y 17 0; c) x y 7 0; d) (7; 0); e) 30]
0 x 1 y x 1
y x y x 1
y x 0 x 1
5 y
O
x
5
1 1
- 2
s
r
I SISTEMI LINEARI Esercizi in più
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ESERCIZI IN PIÙ
ESERCIZI DI FINE CAPITOLO
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni più opportuno.
(3x y)^2 2 x 3 (3x y)(3x y) 2 y 2 6 xy y
x 2
y 1
2 x 5
x 2
3 x 10
4 y
^ 3
6 ^ ;^ ^
^3 x^6
(^2) x 1 2 y
(x 2)^2 ^ y^ 3
^4 (x 5)(x 1) 2 y x
^
6 ^ ;^
^0
x 3
y 2
^3 xy^ ^2 1 ^ x 2 yy [impossibile]
^ x^
x
y
y 3
2 x 5
x 2
y
7 ^ ;^ ^
^ x
x
^ y ^3 2
3 x 4 y z 5
2 x 4 z 2 [( 1; 2; 0)] x y 3 z 3
x 3 y z 5
2 x y 8 [( 4; 0; 1)] 3 x z 11
Problemi
Determina due numeri sapendo che il quadrato del primo aumentato del doppio del secondo è uguale al prodotto del primo con il suo precedente, il tutto aumentato di 1. Inoltre la loro somma è uguale al triplo del primo numero aumentato di sette volte il secondo. [3; 1] Sono date le rette di equazioni 2x 3 y 2 0 e (a 2)x 2 ay 3 0. Determina per quale valore di a si incontrano in un punto appartenente all’asse x. [a = 5] Il perimetro di un triangolo isoscele è 64 cm. Il doppio del lato obliquo diminuito della metà della base è 28 cm. Determina l’area del triangolo. [192 cm^2 ]
I NUMERI REALI E I RADICALI Esercizi in più
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ESERCIZI IN PIÙ
ESERCIZI DI FINE CAPITOLO
Calcola il perimetro e l’area dei seguenti quadrilateri: a)
AC 10 5(2 2 3 1); 25 1 ^ 2 ^3
b)
AB 2 3 3 2 2 ; 2
Calcola il perimetro e l’area dei seguenti quadrilateri: a)
AB BC 10 5 ( 3 6 5); ^7
b)
AB 10 20 ^ 3 ^6 + 1 ; 50 1 ^ 3 ^3
30 ° 45 °
A^60 °
D
C
B
45 °
60 °
A D
B C
120 °
A
D
C
B
45 °
75 °
A
D
C
B
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
ESERCIZI
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Scrivi l’equazione nell’incognita x in forma normale, verifica che sia di secondo grado e scrivi i
coefficienti.
1 A (^4 )^ (^3 )(^7 )
x + x x x
[ a^ =^ 1;^ b^ = −2;^ c = −^1 ]
1 B ( ) ( )( )
x + x + = x − x +
[ a^ =^ 5;^ b^ =^ 9;^ c =^5 ]
2 A^4 ( x^ +^1 )(^2 x^ −^3 )^ =^ ( 3 x^ +^4 )( 3 x^ −^4 )^ −^ x^ ( 3 x −^5 ) [ a^ =^ 2;^ b^ = −9;^ c =^4 ]
2 B (^2) ( x + (^1) )( 2 x + (^3) ) = x (^) ( 4 − x (^) ) − (^) ( 2 x − (^3) )^2 [ a^ =^ 9;^ b^ = −6;^ c =^15 ]
LA RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO
Senza calcolare le soluzioni, indica se l’equazione ammette soluzioni reali e distinte, reali coincidenti o
non ammette soluzioni reali.
3 A x^2^ + 3 x − 28 = 0
3 B x^2^ − 5 x − 24 = 0
4 A 3 x^2 + 4 x − 1 = 0
4 B − 3 x^2 + 2 x − 1 = 0
Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere.
5 A (^) x^2^ + 10 x + 21 = 0 [ −7;^ −^3 ]
5 B (^) x^2^ − 6 x + 8 = 0 [ 2; 4]
6 A 2 x^2 − 7 x − 15 = 0
02 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO PROBLEMI DI FINE CAPITOLO
6 B 2 x^2 − 11 x + 12 = 0
7 A^2
x − x − =
7 B^2
x + x − =
8 A^2
x + x − =
;^5
8 B^2
x − x − =
9 A 3 x^2 − 4 5 x + 5 = 0
9 B 10 x^2 − 3 5 x + 1 = 0
10 A (^) ( ) ( )
2 2
2 − x + 2 2 − x = 2 ^ 2; 2^2
10 B (^) ( ) ( )
2 2
3 − x + 2 3 − x = 3 ^ 3; 2^3
11 A ( ) ( )( )
2 x − 1 + 18 = 4 − x x + 4 [∃^ /^ x ∈ R ]
11 B (^) ( 3 x − (^1) ) 2 + 18 = (^) ( 4 − 3 x (^) )( 3 x + (^4) ) [∃ / x ∈ R ]
12 A 3 x^2 − 5 x + 1 = 0
12 B 5 x^2 + 3 x − 1 = 0
13 A (^) ( )( ) (^) ( )
(^2 )
5 x + 1 x − 1 = 2 3 x − 3 − 3 x − 1
13 B (^) ( ) ( )
2 2
5 x + 3 = 2 3 − 5 − 28 − 10 3 x + 20 3
14 A
x x
x ^ − ^ = + ^ −
[ ±^9 ]
14 B
2
x ^^ x^ − ^ − = ^ − x
[^ ±^6 ]
02 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO PROBLEMI DI FINE CAPITOLO
30 B
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è 5 cm più lunga di un cateto e questo è 5
della sua
proiezione sull’ipotenusa stessa. Determina il perimetro del triangolo.
[60 cm]
31 A Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 7 cm più dell’altro e il perimetro di 30 cm. Calcolane
l’area.
30 cm^2
31 B Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 3 cm più dell’altro e il perimetro di 36 cm. Calcolane
l’area.
54 cm^2
32 A Data la retta r di equazione 3 x + y − 2 = 0 e il punto P (2; 1), determina i punti M che hanno
distanza da P pari a 5.
P 1 (^) ( −1; 5 , (^) ) P 2 ( 2; − (^4) )
32 B Data la retta r di equazione x − 2 y − 2 = 0 e il punto P (4; 6), determina i punti di r che hanno
distanza da P pari a 5.
P 1 (^) ( 4; 1 ,) P 2 ( 8; 3)
33 A
Data la retta r di equazione 5 x − 3 y − 20 = 0, e il punto
A ^ −
determina sulla retta
passante per A e perpendicolare a r i due punti che distano da r una distanza pari a 34.
P 1 (^) ( −4; − 2 ,) P 2 ( 6; − (^8) )
33 B
Data la retta r di equazione 5 x − 4 y − 30 = 0, e il punto 17 ; 0 ,
A ^ −
determina sulla retta
passante per A e perpendicolare a r i due punti che distano da r una distanza pari a 2 41.
P 1 (^) ( 12; −13 , (^) ) P 2 ( −8; 3)
34 A Trova i punti sull’asse delle ascisse tali che la loro distanza da A (2; 2) sia metà di quella da
B (^) ( −3; 2 .)
1 (^ ) 2
P P −
^
34 B Trova i punti sull’asse delle ascisse tali che la loro distanza da A (1; 1) sia metà di quella da
B ( −3; 4 .)
1 (^ ) 2
P P
−^ ^
^
02 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO PROBLEMI DI FINE CAPITOLO
LE EQUAZIONI PARAMETRICHE
Data l’equazione di secondo grado nella variabile x determina per quali valori reali del parametro k è
soddisfatta la condizione indicata.
54 A^2 ( k^ −^1 )^ x^^2 −^4 kx^ +^2 k −^1 =^ 0;non esistono soluzioni reali.^
k <
54 B^2 kx^2^ −^4 ( k^ +^1 )^ x^ +^2 k +^1 =^ 0;soluzioni reali.^
k ≥ −
55 A^3 ( k^ −^1 )^ x^ +^ ( 2 k^ +^1 )^ x^^2 −^ k +^1 =^ 0;soluzioni reali coincidenti.^
k = ∨ k =
55 B 3 ( k + 1 ) x + ( 2 k + 5 ) x^2 − k − 1 = 0;soluzioni reali coincidenti.
k = − ∨ k = −
58 A Data l’equazione (^) ( 9 m − (^2) ) x^2 − 6 mx + m = 0,con
m ≠ nella variabile x , determina m in modo
che:
a) le radici siano reali;
b) una radice sia 1;
c) le radici siano opposte;
d) la somma delle radici sia negativa;
e) le radici siano reciproche;
f) le radici siano concordi.
a) 0; b) 1 ; c) 0; d) 0 2 ; e) 1 ; f)^2
m ≥ m = m = < m < m = m >
58 B (^) Data l’equazione 27 kx^2 − 6 3( k + (^2) ) x + 3 k + 2 = 0,con k ≠ 0,nella variabile x , determina k in
modo che:
a) le radici siano reali;
b) una radice sia 1;
c) le radici siano opposte;
d) la somma delle radici sia negativa;
e) le radici siano reciproche;
f) le radici siano concordi.
a) 2 ; b) 5 ; c) 2 ; d) 2 0; e) 1 ; f) 0
k ≥ − k = k = − − < k < k = k >
