1. NUMERI COMPLESSI
Esercizio 1.1. Mettere in forma algebrica oppure in forma trigonometrica, e
quando possibile in entrambe le forme, i seguenti numeri complessi:
a)2 + i
i+ 1 b) (1 −√3i)10 c)(1 −i)6
(1 + i)7
d)2
√3−i+1
i10
e) (1 + i)5f) (1 + i√3)5(i−1)7
Esercizio 1.2. Usando la forma algebrica della variabile complessa, risolvere le
seguenti equazioni:
a) 2z+ ¯z= 2 + i b)|z|2¯z= 1 c)z4+ 1 = 0
Esercizio 1.3. Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso, rappresen-
tando poi le soluzioni sul piano:
a) (z−2)3+i= 0 b)z2+ (1 + i)z+i= 0 c)z3+z2+ 8z+ 8 = 0
d)iz2= ¯z e)z+ 2z−1= 1 f) (1 + z)4= (1 −z)4
g)z4+iz = 0 h)z4= (1 + 2i)8i) (¯z)3=|z|
j) ¯z z−5+ 16 = 0 k)z4+ (2 −i)z2= 2i l)|z|4z=i¯z
Esercizio 1.4. Decomporre in campo reale i seguenti polinomi a coefficienti reali
(tra parentesi `e suggerita una radice complessa del polinomio)
a)x3−3x2+ 4x−2b)x6+ 1 c)x4−16
d)x4−2x2−8e) (1 −x2)3+ 1 f)x4+x3+ 5x2+ 4x+ 4 [2i]
Esercizio 1.5. Decomporre i seguenti rapporti di polinomi a coefficienti reali in
fratti semplici:
a)2x+ 1
x3+xb)x
x4+ 1 c)1
x4−1
d)x−1
x3+x2e)x+ 5
x3−1f)2x2+ 3x
x3+x2−2
Esercizio 1.6. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false (z
indica una variabile complessa):
a) se |z|= 1 allora z=±1
b) z`e immaginario puro se e solo se z2`e reale e negativo
c) i27 `e reale
d) z4+ 4 ha i±1 come uniche soluzioni non reali
