I numeri complessi - Equazioni
Dario Grassi - Liceo Scientico A. Einstein, Cerignola
Marzo 2020
Contents
1 EQUAZIONI IN CAMPO COMPLESSO - 1/2 2
2 EQUAZIONI IN CAMPO COMPLESSO - 2/2 2
3 EQUAZIONI E LUOGHI GEOMETRICI 4
1
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Numeri complessi spiegazioni Da capire bene eccc falli bene
Tipologia: Esercizi
2019/2020
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I numeri complessi - Equazioni
Dario Grassi - Liceo Scienti co A. Einstein, Cerignola
Marzo 2020
Contents
1 EQUAZIONI IN CAMPO COMPLESSO - 1/2 2
2 EQUAZIONI IN CAMPO COMPLESSO - 2/2 2
3 EQUAZIONI E LUOGHI GEOMETRICI 4
1 EQUAZIONI IN CAMPO COMPLESSO - 1/
In questa parte tratteremo le equazioni a coe cienti reali e/o complessi, nel successivo paragrafo tratteremo le equazioni in cui tra le incognite compaiano elementi del tipo Re(z),Im(z), | z |, etc. Ricorda che le regole algebriche studiate per i numeri reali continuano a valere per i numeri complessi (ex. legge di annullamento del prodotto, formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, etc.), quindi per esempio esercizio pag. 982 n 406, risolvere y^3 = 8 equivale ad individuare wk = 3
81 , pertanto 8 = 8 (cos 0 + i sin 0) ed applicando la formula per la determinazione delle radici di un numero in campo complesso per k = 0, 1 , 2 si ha w 0 = 3
cos 0+2 3 ·^0 ·π+ i sin 0+2 3 ·^0 ·π
= 2 (cos 0 + i sin 0) = 2, w 1 = 3
cos 0+2 3 ·^1 ·π+ i sin 0+2 3 ·^1 ·π
cos 23 π + i sin 23 π
− 12 + i
√ 3 2
−1 + i
w 2 = 3
cos 0+2 3 ·^2 ·π+ i sin 0+2 3 ·^2 ·π
cos 43 π + i sin 43 π
− 12 − i
√ 3 2
− 1 − i
Esempio esercizio pag. 982 n 410, risolvere x^2 − 4 x + 13 = 0 x = 2 ±
Ovviamente poco cambia se i coe cienti sono complessi, risultano sicuramente più elaborati i calcoli, come per esempio esercizio pag. 982 n 424: risolvere x^2 − (2 + 2i) x + 2i − 1 = 0
x = (1 + i)±
(1 + i)^2 − 2 i + 1 = (1 + i) ±
1 + 2i + i^2 − 2 i + 1 = (1 + i)± 1 , quindi x 1 = i, x 2 = 2 + i.
2 EQUAZIONI IN CAMPO COMPLESSO - 2/
Quando l'equazione si presenta con due incognite (ovviamente legate tra loro), o con termini del tipo Re(z),Im(z), | z |, etc. l'approccio 'classico' perde di e cacia: bisogna agire in maniera completamente diversa introducendo la seguente premessa dati due numeri complessi z 1 = a 1 + ib 1 e z 2 = a 2 + ib 2 ,
allora (z 1 = z 2 ) ⇐⇒
Re(z 1 ) = Re(z 2 ) Im(z 1 ) = Im(z 2 )
a 1 = a 2 b 1 = b 2
, che in maniera
discorsiva si traduce aermando che due numeri complessi sono uguali se hanno stessa parte reale e stessa parte immaginaria. Tornando alle equazioni di questa (^1) osserva z = 8 =⇒ ρ = 8, θ = 0 (^2) osserva che la stessa equazione risolta nei reali avrebbe fornito come unico risultato y = 2 3 √−9 = √ 9 · √−1 = ± 3 i, osserva che in R non si può scomporre√− 9 come appena fatto
soluzione della disequazione
(x − 1)^2 + y^2 <
x^2 + y^2 7 =⇒ x^2 − 2 x+1+y^2 < x^2 + y^2 ⇒ 2 x − 1 > 0 : ricorda che anche se la variabile y si è sempli cata la disequazione è comunque in due variabili e quindi va risolta rappresentando sul piano di GA la retta x = 12 ed individuando quale semipiano risolve la
disequazione, quindi , scegliendo (0, 0) che non appartiene alla retta e sostituendo in 2 x − 1 > 0 , si ottiene − 1 > 0 che è falso: la disequazione è risolta quindi nel semipiano a destra della retta x = 12. Interpretando tale risultano nell'insieme dei numeri complessi si ha che un numero complesso z appartiene all'insieme E solo se la sua parte reale soddisfa Re(z) > 12 ( titolo esempli cativo (z 1 = 1 + i) ∈ E, (z 2 = −1 + i) ∈/ E.
Nota bene le disequazioni in campo complesso che si possono risolvere sono quelle in cui compaiono solo modulo, parte reale e parte immaginaria, sappi che la scrittura z < z 1 non ha alcun signi cato così come dati due numeri complessi non ha senso chiedersi chi è più grande o più piccolo (operazione che si può sempre fare tra numeri reali).
3 EQUAZIONI E LUOGHI GEOMETRICI
Come visto nell'ultimo esempio, l'interpretazione geometrica dei numeri complessi sul piano di GA permette di risolvere gra camente le disequazioni: anche le equazioni che contengono solo modulo, parte reale e parte immaginaria possono essere risolte gra camente individuando un insieme di punti che soddisfano una certa condizione, cioè un luogo geometrico. Per esempio l'equazione | z |= 1, individua un ben preciso insieme di punti sul piano di GA: in questo caso semplice (ricordando il signi cato di modulo di un numero complesso) rappresenta l'insieme di tutti i numeri complessi che distano una unità dall'origine, cioè la circonferenza di centro (0, 0) e raggio r = 1. A tale risultato si arriva (ed è quello che si fa in equazioni più complesse) esplicitando | z |=
x^2 + y^2 , quindi (^7) osserva che i radicandi sono positivi, pertanto basta elevare al quadrato.
| z |= 1 ⇐⇒
x^2 + y^2 = 1 ⇐⇒ x^2 + y^2 = 1, che è, appunto la circonferenza di centro (0, 0) e raggio r = 1. Risolviamo a pag. 990 n. 55 (quesito b): luogo individuato da | z | + | z − 1 − z 1 − z 2 |= 4, dal gra co assegnato si ricava z 1 = 1 − i e z 2 = i, come nei casi precedenti si risolve ponendo z = x + iy e calcolando i due moduli: | z |=
√ x^2 +^ y^2 e^ |^ z^ −^1 −^ z^1 −^ z^2 |=|^ x^ +^ iy^ −^1 −^ 1 +^ i^ −^ i^ |=|^ x^ −^ 2 +^ iy^ |= (x − 2)^2 + y^2 , sostituendo nell'equazione assegnata si ha √ x^2 + y^2 +
(x − 2)^2 + y^2 = 4 ⇐⇒
(x − 2)^2 + y^2 = 4 −
x^2 + y^2 (x − 2)^2 + y^2 = 16 − 8
x^2 + y^2 + x^2 + y^2 ⇐⇒ x^2 − 4 x + 4 + y^2 = 16 − 8
x^2 + y^2 + x^2 + y^2 ⇐⇒ 8
x^2 + y^2 = 4x − 12 9 ⇐⇒ 4
x^2 + y^2
= x^2 − 6 x + 9 ⇐⇒ 3 x^2 + y^2 − 6 x = 9 10 ⇐⇒ (x−1)^2 4 +^
y^2 3 = 1. Ricordando quanto studiato al terzo si ha un'ellisse con centro (1, 0), semiasse
maggiore a = 2 e semiasse minore b =
(^8) elevando al quadrato ambo i membri (^9) sempli cando per 4 ed elevando ambo i membri al quadrato (^10) applicando il metodo del completamento dei quadrati 3 (x (^2) − 2 x + 1 − 1 )^ + y (^2) = 9 ⇐⇒ 3 (x^2 − 2 x + 1)^ − 3 + y^2 = 9 ⇐⇒ 3 (x − 1)^2 + y^2 = 12, dividendo quindi per 12