INTEGRALI E STUDIO DI FUNZIONE
Proliferazione di una colonia batterica
Viene condotto uno studio sulla proliferazione batterica all’interno di un campione
inizialmente costituito da 1500 microorganismi. Si ottiene che l’andamento della
velocità di proliferazione può essere descritta dalla seguente funzione:
𝑣𝑃(𝑡)= 𝑘𝑡
𝑡2+3𝑡+2
Dove k è una costante positiva non nulla, il tempo t è espresso in secondi e la velocità
di proliferazione 𝑣𝑃 in numero di batteri al minuto (min-1).
a) Calcolare il valore che deve assumere k perché la velocità di proliferazione dopo
dieci minuti sia pari a 100 batteri al minuto.
b) Calcolare dopo quanto tempo il numero di batteri raggiunge le 10 000 unità.
c) Rappresentare graficamente la funzione 𝑣𝑃(𝑡).
d) Rappresentare graficamente la funzione generica 𝑣𝑃(𝑥) con k = 10.
Nota: Arrivare fino al calcolo della derivata seconda, senza studiarne il segno né
individuare i punti di flesso.
APPENDICE
Per risolvere l’integrale, è necessario scomporre la funzione utilizzando il metodo dei
fratti semplici:
∫𝑣𝑃(𝑡) 𝑑𝑡=𝑘∫ 𝑡 𝑑𝑡
𝑡2+3𝑡+2=𝑘∫ 𝑡 𝑑𝑡
(𝑡+1)(𝑡+2)
𝑡
(𝑡+1)(𝑡+2) =𝐴
𝑡+1+𝐵
𝑡+2=(𝐴+𝐵)𝑡+(2𝐴+𝐵)
(𝑡+1)(𝑡+2)
{ 𝐴+𝐵 = 1
2𝐴+𝐵 =0→{ 𝐴=−1
𝐵=2
𝑡
(𝑡+1)(𝑡+2) =−1
𝑡+1+2
𝑡+2
