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ricerca dell’equazione dell’iperbole
1
Scrivere l’equazione, riferita agli assi, dell’iperbole che ha l’asse delle ascisse come asse traverso, le rette 2 𝑥𝑥 − 3 𝑦𝑦 = 0 , 2 𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦 = 0 come asintoti e passa per il punto 𝑃𝑃 � 9 2 ;^ √^5 �.
𝑥𝑥^2 9 − 𝑦𝑦^2 4 = 1
2
Data l’equazione dell’iperbole 9 𝑥𝑥^2 − 16 𝑦𝑦^2 = 144, determina la misura del semiasse traverso, le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’eccentricità e l’equazione degli asintoti.
4; A’(-4;0); A’’(4;0); B’(0;-3); B’’(0;3); F 1 (-5;0); F 2 (5;0); e= 54 ; y=± 34 𝑥𝑥
3
Trova sul ramo destro dell’iperbole 𝑥𝑥^2 16 −^
𝑦𝑦 2 9 = 1 un punto la cui distanza dal fuoco destro sia 2 volte minore di quella dal fuoco sinistro.
𝑃𝑃(
48 5 ; ±
3 √ 119 5 )
4
Determina il luogo dei punti per i quali il rapporto tra la distanza dal punto ( 4 ; 0 ) e la distanza dalla retta 𝑥𝑥 = 7 4 vale^
4 √ 7.
𝑥𝑥^2 7 − 𝑦𝑦^2 9 = 1
5 Determina l’equazione, riferita agli assi, di un’iperbole in cui l’asse traverso 2 𝑎𝑎 sia la metà della distanza focale 2 𝑐𝑐.
3 𝑥𝑥^2 − 𝑦𝑦^2 = 3𝑎𝑎^2
6 Sull’iperbole^ 𝑥𝑥
(^2) − 𝑦𝑦 (^2) = 4 , determinare il punto in cui i raggi focali sono perpendicolari fra loro. P(±√6; ±√2)
7
Determina la traiettoria di un punto P che si muove in modo tale che
la sua distanza dal punto 𝐹𝐹(− 8 ; 0 ) risulta sempre il doppio della sua distanza dalla retta 𝑥𝑥 = − 2.
𝑥𝑥^2 16 −
𝑦𝑦^2 48 = 1
8
Determina per quali valori di k l’equazione
𝑥𝑥^2 4 𝑘𝑘^2 − 1 −^
𝑦𝑦 2 𝑘𝑘− 3 =^1 rappresenta: a) una ellisse; b) una circonferenza; c) una iperbole.
a) k<− 12 e 12 < 𝑘𝑘 < 3;
b) k=−1± 8 √ 65 ; c) − 12 < 𝑘𝑘 < 12 𝑒𝑒 𝑘𝑘 > 3
9
Un’iperbole ha un fuoco nel punto 𝐹𝐹( 0 ; − 2 )^ e ha per asintoti le rette di equazione 𝑦𝑦 = − 1 2 𝑥𝑥^ e^ 𝑦𝑦^ =^
1 2 𝑥𝑥. Dopo aver determinato l’equazione di tale curva, considera il vertice 𝑉𝑉 di ordinata positiva e da esso
traccia una retta parallela all’assex, indicando conP eQ i punti nei
quali interseca gli asintoti. Determina infine l’area del triangoloOPQ.
8 5
20 𝑦𝑦^2 -5𝑥𝑥^2 =16;
rette ed iperboli
10
Determina per quale valore di a l’iperbole di equazione 𝑥𝑥^2 − 𝑦𝑦^2 = 𝑎𝑎^2
stacca sulla retta di equazione 𝑥𝑥 − 4 𝑦𝑦 = 0 una corda lunga 16 � 1 15.^
a=±
11
Determina l’equazione dell’iperbole che ha un vertice nel punto 𝑉𝑉� (^2) √ 2 ; 0 � e come asintoti le rette di equazione 𝑦𝑦 = ± 2 𝑥𝑥. Calcola poi la lunghezza del segmento individuato dai punti di intersezione tra la curva e la retta di equazione 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 1 = 0.
4 𝑥𝑥^2 − 𝑦𝑦^2 = 32 ; 20 √ 2 3
12
Dopo aver determinato l’equazione dell’iperbole avente un vertice reale di coordinate ( 2 ; 0 ) e un vertice non reale nel punto ( 0 ; − 4 ), calcola la lunghezza della corda individuata sulla bisettrice del primo e terzo quadrante.
𝑥𝑥^2 4 −^
𝑦𝑦^2 16 = 1 8 √ 6 3
13
Data l’iperbole di equazione 𝑦𝑦^2 − 9 𝑥𝑥^2 = 9 , trova un punto P sull’asse
y tale che, detti A e B i punti di contatto delle tangenti per P
all’iperbole, sia 𝐴𝐴𝐴𝐴 =
8
𝑃𝑃(0; ±
9 5 )
14
Determina i punti di intersezione tra la curva di equazione 𝑥𝑥^2 4 −^
𝑦𝑦 2 9 = 1 e la retta che passa per l’origine ed ha coefficiente angolare − 1 2.^ Calcola^ poi^ l’area^ del^ triangolo^ che^ ha^ vertici nell’origine del sistema di riferimento, nel vertice di ascissa negativa dell’iperbole e nel punto di intersezione di ascissa negativa.
3 √ 2 4
( 3 √ 2 2 ; −^34 √ 2 );
(− 3 √ 2 2 ; 3 √ 42 );
15
Dai due punti 𝐴𝐴( 0 ; 1 ), 𝐴𝐴( 0 ; − 1 )^ si conducano le tangenti all’iperbole di equazione 𝑦𝑦 2 9 −^
𝑥𝑥^2 4 = 1 e si determinino l’area e il perimetro del rettangolo che ha come vertici i punti di tangenza.
𝑦𝑦 = ±1 ± 𝑥𝑥√ 2 ; 144 √ 2 ; (^16) √ 2 + 36
16
Dopo aver determinato le coordinate dei punti 𝐴𝐴 e 𝐴𝐴 di intersezione dell’iperbole di equazione 𝑥𝑥^2 − y 2 8 =^ −1 con la retta di equazione 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥, indicati con 𝐹𝐹 1 , 𝐹𝐹 2 i fuochi dell’iperbole stabilisci la natura del quadrilatero 𝐴𝐴𝐹𝐹 1 𝐴𝐴𝐹𝐹 2 e determinane l’area.
A(-1;-4); B(1;4); parallelogramma; 6
17
Determina il valore di q in modo tale che la retta 𝑦𝑦 =
5 2 𝑥𝑥^ +^ 𝑞𝑞: a) intersechi l’iperbole 𝑥𝑥^2 9 −^
𝑦𝑦 2 36 = 1; b) sia tangente all’iperbole; c) non intersechi l’iperbole.
𝑏𝑏) 𝑞𝑞 = ±
9 2 𝑐𝑐) |𝑞𝑞| <
9 2
a)|𝑞𝑞| > (^92)
18
Nel fascio di rette di equazione 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘, determina quelle sulle quali l’iperbole di equazione 𝑥𝑥^2 3 −^
𝑦𝑦 2 4 = 1 stacca una corda di lunghezza (^2) √30.
y=±
19
Determina il valore di m in modo tale che la retta 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 − 1 risulti tangente all’iperbole 2 𝑥𝑥^2 − 3 𝑦𝑦^2 = 6. Trova le coordinate dei punti di contatto e verifica che la circonferenza, che ha il centro nell’origine degli assi e passa per uno di questi punti, passa anche per l’altro. Ricerca inoltre le coordinate degli altri due punti comuni alla circonferenza e all’iperbole.
𝑥𝑥^2 + 𝑦𝑦^2 = 13;
m=±1; (-3;2); (3;2);
(−3; −2); (3;-2)
29
Un’iperbole ha il centro nel punto (− 2 ; 3 ), è tangente in uno dei suoi vertici all’asse y e passa per A( 2 ; 6 ). Trova le equazioni dei suoi asintoti.
2(𝑦𝑦 − 3) = ±√3(𝑥𝑥 + 2)
30
Determina per quali valori di k l’equazione x^2 + 2 ky^2 − kx + (k + 3 )y − 2 = 0 rappresenta un’iperbole. Trova poi per quali valori di 𝑘𝑘 l’iperbole: a) ha centro sulla retta di equazione 𝑦𝑦 = − 2 𝑥𝑥; b) ha come asse di simmetria la retta di equazione 𝑥𝑥 = 2.
𝑘𝑘 < 0 ; a) 𝑘𝑘 = − 34 ; b) 𝑘𝑘 = − (^13)
31
Data un’iperbole di equazione x^2 − y^2 = 7 , scrivi l’equazione della curva trasformata di quella data in una rotazione di 45 ° in senso antiorario con centro nell’origine degli assi.
𝑥𝑥𝑦𝑦 = 7 2
iperbole equilatera
32
Data l’equazione 2 𝑥𝑥^2 𝑘𝑘− 4 −^
3 𝑦𝑦 2
𝑘𝑘+1 = 1, determina per quale valore dik essa
rappresenta un’iperbole equilatera. Preso poiP appartenente a tale
iperbole nel primo quadrante, trova le sue coordinate, sapendo che,
dettiF e 𝐹𝐹′^ i fuochi, l’area del triangolo 𝐹𝐹𝑃𝑃𝐹𝐹′^ vale 10.
𝑘𝑘 = 14; 𝑃𝑃(√15, √10)
33
Dato il fascio di curve di equazione (𝑘𝑘 − 3 )𝑥𝑥^2 + 2 (𝑘𝑘 − 4 )𝑦𝑦^2 − 5 𝑘𝑘 + 3
2 = 0, determina per quali valori^ di k l’equazione rappresenta
un’iperbole e un’iperbole equilatera. Considera poi l’iperbole per 𝑘𝑘 = 7 2 , determinandone fuochi, vertici, asintoti ed eccentricità.
3 < 𝑘𝑘 < 4; 𝑘𝑘 =
11 3 ; 𝐹𝐹�±4√3; 0�; 𝑉𝑉�±4√2; 0�;
𝑦𝑦 = ± √ 2 𝑥𝑥 2 ; 𝑒𝑒 = √ 6 2
34
Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti con un
vertice nel punto 𝑉𝑉�√ 2 , √ 2 �. Determina poi le coordinate dei punti A
e B di intersezione fra la curva data e la retta di equazione
𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 − 5 = 0 e l’area del parallelogrammaABA’B’, dove 𝐴𝐴′^ e 𝐴𝐴′
sono i simmetrici di A e B rispetto all’origine degli assi.
𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2 ; 𝐴𝐴 � 1 2 ; 4� ; 𝐴𝐴(2; 1); 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 = 15
35
Data l’iperbole equilatera riferita agli asintoti di equazione 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑘𝑘, con 𝑘𝑘 > 0 :
a) stabilisci per quale valore del parametro k l’iperbole ha il
semiasse trasverso che misura 4; b) scrivi le equazioni delle rette tangenti all’iperbole nei suoi vertici.
a) 𝑘𝑘 = 2; b) 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 ± 2√ 2
36
Scrivi l’equazione, riferita agli asintoti, dell’iperbole equilatera che passa per il punto 𝑃𝑃( 1 ; 2 )^ e determina le equazioni della tangente alla curva in questo punto.
𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2 ; 𝑦𝑦 = − 2 𝑥𝑥 + 4
37 Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole^ equilatera 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 8 e parallele alla retta 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3 = 0.
2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ± 8 = 0
38
Determina l’equazione dell’iperbole equilatera (con asintoti gli assi
cartesiani) che passa per il punto d’incontro M delle due rette di
equazioni 𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 + 4 = 0 e 2 𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦 − 13 = 0 e determina inoltre gli
altri punti P e Q in cui le rette date incontrano l’iperbole trovata.
𝑥𝑥𝑦𝑦 = 6 ; 𝑃𝑃(−6; −1); 𝑄𝑄(
9 2 ,
4 3 )
39 Determina l’equazione dell’iperbole equilatera, riferita agli asintoti, che è tangente alla circonferenza 𝑥𝑥^2 + 𝑦𝑦^2 = 1. 𝑥𝑥𝑦𝑦 = ± 1 2
40
Determina le equazioni delle iperboli equilatere, riferite agli asintoti, che sono tangenti alla circonferenza di equazione 𝑥𝑥^2 + 𝑦𝑦^2 = 4, e trova l’area del quadrilatero che si ottiene congiungendo i punti di tangenza.
𝑥𝑥𝑦𝑦 = −2; 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2; 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒𝑎𝑎 = 8
41
Dopo aver determinato l’equazione dell’iperbole equilatera, riferita agli asintoti, che passa per il punto 𝐴𝐴(− 2 ; − 8 ), trova le equazioni delle rette tangenti nei vertici.
𝑥𝑥𝑦𝑦 = 16 ; 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 ± 8
42
Considera l’iperbole di equazione 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 12. Calcola quindi le aree dei triangoli formati dagli assi cartesiani e dalle tangenti all’iperbole nei suoi punti di ascissa 4 e − 6.
24
funzione omografica
43
Determina a, b, c, d in modo tale che la funzione y = ax +b cx +d passi per i punti P �1; 1 3 �^ , Q^ �
1 2 ;^
2 11 �^ , R(−3;^ −3). Trova le equazioni delle rette tangenti alla curva, perpendicolari alla retta y = − 5 2 x e verifica che la retta r, intermedia tra queste, passa per il centro C di simmetria della curva.
𝑌𝑌 =
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 5 ; 5 𝑦𝑦 − 2 𝑥𝑥 = 0, 2 𝑥𝑥 − 5 𝑦𝑦 + 40 = 0; 𝐶𝐶(− 5 ; 2 )^ ∈ 𝑎𝑎: 2 𝑥𝑥 − 5 𝑦𝑦 + 20 = 0
44
Determina a, b, c, d in modo tale che la funzione y = ax +b cx +d abbia come asintoto orizzontale la retta y + 1 = 0 e sia tangente alla retta 3 x + y − 4 = 0 nel punto A � 4 3 ;^0 �.
𝑦𝑦 =
3 𝑥𝑥 − 4 − 3 𝑥𝑥 + 3
45
Scrivi l’equazione dell’iperbole equilatera traslata sapendo che passa per il punto P( 2 ; 2 )^ ed ha il centro di simmetria nel punto O′^ (1; 1). Determina, quindi, la traslazione mediante la quale l’equazione trovata assume la forma XY = k. Calcola infine l’equazione della tangente all’iperbole riferita ai propri asintoti nel punto Q �3; 1 3 �.
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 1 ;
�𝑥𝑥^ =^ 𝑥𝑥^
′ (^) + 1 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ′^ + 1
; 𝑥𝑥 + 9 𝑦𝑦 − 6 = 0
46 Trova per quale valore di a l’equazione y = 2 ax + 1 (a−6)x− 4 rappresenta un’iperbole equilatera.
∀𝑎𝑎 ∈ ℝ − {
2 3 , 6}
