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TIPOLOGIA ESERCIZI IPERBOLE
1. STUDIARE L’IPERBOLE
a. IPERBOLE CON I FUOCHI SULL’ASSEy
Trovo i semiassi: 𝑎𝑎 2 = 4 → 𝑎𝑎 = (^) √4 = 2 𝑏𝑏 2 = 9 → 𝑏𝑏 = √9 = 3
→ 𝑏𝑏 > 𝑎𝑎 𝑰𝑰 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑰𝑰 𝑺𝑺𝑭𝑭𝑺𝑺𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑭𝑭𝑺𝑺𝑺𝑺′^ 𝑨𝑨𝑺𝑺𝑺𝑺𝑨𝑨 𝒚𝒚
Trovo i fuochi: 𝑐𝑐 2 = 𝑏𝑏 2 − 𝑎𝑎 2 = 9 − 4 = 5 → 𝑐𝑐 = √ 5
𝐹𝐹 1 = �0, −√ 5 � 𝐹𝐹 2 = �0, +√ 5 �
Eccentricità:
𝑐𝑐 =
Vertici: 𝑉𝑉 1 = (0, +𝑏𝑏)^ 𝑉𝑉 2 = (0, −𝑏𝑏)
→ 𝑉𝑉 1 = (0, +3)^ 𝑉𝑉 2 = (0, −3)
Trovo le equazioni degli asintoti:
𝑦𝑦 =
Disegno:
b. IPERBOLE CON I FUOCHI SULL’ASSE x
𝑥𝑥 2 16 −
𝑦𝑦 2 4 = 1
Trovo i semiassi: 𝑎𝑎 2 = 16 → 𝑎𝑎 = (^) √16 = 4 𝑏𝑏 2 = 4 → 𝑏𝑏 = √4 = 2
→ 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 𝑰𝑰 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑰𝑰 𝑺𝑺𝑭𝑭𝑺𝑺𝑭𝑭 𝑺𝑺𝑭𝑭𝑺𝑺𝑺𝑺′^ 𝑨𝑨𝑺𝑺𝑺𝑺𝑨𝑨 𝒙𝒙
Trovo i fuochi: 𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎 2 − 𝑏𝑏 2 = 16 − 4 = 12 → 𝑐𝑐 = (^) √12 = 2√ 3
𝐹𝐹 1 = �− (^2) √3, 0� 𝐹𝐹 2 = �+2√3, 0�
Eccentricità:
𝑐𝑐 =
√^3
Vertici: 𝑉𝑉 1 = (+𝑎𝑎, 0) 𝑉𝑉 2 = (−𝑎𝑎, 0)
→ 𝑉𝑉 1 = (+4, 0)^ 𝑉𝑉 2 = (−4,0)
Trovo le equazioni degli asintoti:
𝑦𝑦 =
𝑎𝑎 𝑥𝑥^ =
2 𝑥𝑥^ 𝑦𝑦^ =^ −
𝑎𝑎 𝑥𝑥^ =^ −^
Disegno:
SCRIVERE L’EQUAZIONE DELL’IPERBOLE CONOSCENDO ALCUNI DATI
a. IPERBOLE CON I FUOCHI SULL’ASSEy
Scrivere l’equazione dell’iperbole conoscendo il semiasse trasversale 𝑏𝑏 = 5 e l’eccentricità 𝑐𝑐 = 3/5.
Applico la formula inversa dell’eccentricità:
𝑎𝑎 2 = 𝑏𝑏 2 (𝑐𝑐^2 − 1) = 25 �
Scrivo l’equazione dell’iperbole: 𝑥𝑥 2 − 16
a.1. Conosco vertice e fuoco
Scrivere l’equazione dell’iperbole conoscendo un vertice e un fuoco di coordinate rispettivamente (0, −3) e (0, 8).
Dalle coordinate del vertice 𝑉𝑉 = (0, −3) trovo il valore di b:
𝑏𝑏 = − 3
Applico la formula di sdoppiamento: 𝑥𝑥𝐶𝐶𝑥𝑥 𝑎𝑎 2
Semplicemente, inserisco i valori all’interno della formula e trovo la retta:
(−6)𝑥𝑥 4 +
- IPERBOLE EQUILATERA
Imposto il sistema per trovare i vertici:
�𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 == 𝑥𝑥𝑘𝑘
Imposto il sistema per trovare i vertici:
� (^) 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 =^ = −^ 𝑘𝑘𝑥𝑥
Riscrivo l’equazione per 𝑥𝑥 ≠ 0 : 𝑦𝑦 =
e rappresento graficamente l’iperbole, utilizzando la tabella x,y.
Riscrivo l’equazione per 𝑥𝑥 ≠ 0 : 𝑦𝑦 =
e rappresento graficamente l’iperbole, utilizzando la tabella x,y.
a. k POSITIVO
Vertici:
�
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥^
Rappresento l’iperbole graficamente:
b. k NEGATIVO
Vertici:
�𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 == −𝑥𝑥 −^4 → −𝑥𝑥 2 = − 4
Rappresento l’iperbole graficamente:
