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CORSO DI STATISTICA PER L’IMPRESA
ESERCITAZIONE DI RIEPILOGO DEL
22/10/14 E DEL 23/10/
Gaetano Grilli [email protected]
Esercizio 1
Le seguenti osservazioni si riferiscono al numero di esami che mancano alla
laurea rilevati su un collettivo di 30 studenti che frequentano il corso di
Statistica per l’impresa:
Si costruisca la distribuzione delle frequenze e si calcolino:
1. Media aritmetica
2. Mediana
3. Varianza
4. Deviazione Standard e Coefficiente di Variazione
Per costruire la distribuzione delle frequenze è utile ordinare le osservazioni
si procede quindi a determinare la distribuzione delle frequenze
Esami mancanti n j f j = n j / n p j 10 2 0,066 6,6 % 11 2 0,066 6,6 % 12 1 0,033 3,3 % 13 1 0,033 3,3 % 14 2 0,066 6,6 % 16 13 0,433 43,3 % 17 1 0,033 3,3 % 18 4 0,133 13,3 % 19 4 0,133 13,3 %
1. Avendo a disposizione l’elenco delle osservazioni, la media aritmetica si
ottiene come:
2. Per calcolare la mediana bisogna prima di tutto ordinare le osservazioni
dato che n=30 è pari, ci sono due unità centrali di posizione n/2 e (n/2)+
- n/2 = 30/2 = 15
- (n/2) + 1 = (30/2) + 1 = 16
x j n j f j x j n j x j f j
1. Conoscendo la distribuzione delle frequenze del carattere
2. Il valore modale è Moda = 16 poiché è la modalità del carattere che si
3. Si individuano mediana e quartili tramite le frequenze relative cumulate
Per il calcolo della varianza si costruisce la seguente tabella
- 2 1 0,008 2 0,
- 3 1 0,008 3 0,
- 4 6 0,048 24 0,
- 5 1 0,008 5 0,
- 6 4 0,032 24 0,
- 7 1 0,008 7 0,
- 9 3 0,024 27 0,
- 10 13 0,104 130 1,
- 11 4 0,032 44 0,
- 12 5 0,040 60 0,
- 13 6 0,048 78 0,
- 14 12 0,096 168 1,
- 15 14 0,112 210 1,
- 16 28 0,224 448 3,
- 17 6 0,048 102 0,
- 18 15 0,120 270 2,
- 19 5 0,040 95 0, - 2 0,008 0, x j f j Fj - 3 0,008 0, - 4 0,048 0, - 5 0,008 0, - 6 0,032 0, - 7 0,008 0, - 9 0,024 0, - 10 0,104 0, - 11 0,032 0, - 12 0,040 0, - 13 0,048 0, - 14 0,096 0, - 15 0,112 0, - 16 0,224 0, - 17 0,048 0, - 18 0,120 0, - 19 0,040 - Fj = 0,25 Q 1 = - Fj = 0,50 Me = - Fj = 0,75 Q 3 =
- 2 1 0,008 134,09 134,09 1, x j n j f j (x j – x )^2 (x j – x )^2 n j (x j – x )^2 f j
- 3 1 0,008 111,93 111,93 0,
- 4 6 0,048 91,77 550,62 4,
- 5 1 0,008 73,61 73,61 0,
- 6 4 0,032 57,45 229,8 1,
- 7 1 0,008 43,29 43,29 0,
- 9 3 0,024 20,97 62,91 0,
- 10 13 0,104 12,81 166,53 1,
- 11 4 0,032 6,65 26,6 0,
- 12 5 0,040 2,49 12,45 0,
- 13 6 0,048 0,33 1,98 0,
- 14 12 0,096 0,17 2,04 0,
- 15 14 0,112 2,01 28,14 0,
- 16 28 0,224 5,85 163,8 1,
- 17 6 0,048 11,69 70,14 0,
- 18 15 0,120 19,53 292,95 2,
- 19 5 0,040 29,37 146,85 1,
1. Conoscendo la distribuzione delle frequenze del carattere
Livello difficoltà (x j ) n j f j = n j / n x j n j x j f j 2 3 0,024 6 0, 3 42 0,336 126 1, 4 65 0,52 260 2, 5 15 0,12 75 0,
2. Il valore modale è Moda = 4 poiché è la modalità del carattere che si
presenta con maggiore frequenza
3. Per individuare la mediana si calcolano le frequenze cumulate
Livello difficoltà (x j )
n j f j N j F j
2 3 0,024 3 0, 3 42 0,336 45 0, 4 65 0,52 110 0, 5 15 0,12 125 1
tramite le frequenze assolute cumulate N j :
poiché n=125 è dispari, la posizione mediana è (n+1)/2 = 63
la modalità che vi corrisponde è Me = 4
tramite le frequenze relative cumulate F j :
la mediana è la modalità presentata dall’unità che divide il collettivo
in due parti di uguale numerosità F j = 0,
la modalità che vi corrisponde è Me = 4
4. Il calcolo della varianza se si conosce la distribuzione delle frequenze è
Difficoltà
(x j )
n j f j (x j – x )^2 (x j – x )^2 n j (x j – x )^2 f j
2 3 0,024 2,99 8,97 0, 3 42 0,336 0,53 22,26 0, 4 65 0,52 0,07 4,55 0, 5 15 0,12 1,61 24,15 0,
Esercizio 4
In tabella è riportata la distribuzione delle frequenze assolute del carattere
esami mancanti alla laurea rilevato sul collettivo degli studenti che
frequentano il corso di Statistica
Si calcolino:
1. Media aritmetica
2. Moda
3. Classe Mediana
4. Varianza, Deviazione Standard e Coefficiente di Variazione
Esami mancanti n j 2 –| 9 17 9 – |13 28 13 – |16 54 16 – | 19 26 n = 125
3. Per le distribuzioni divise in classi di modalità si individua la classe modale
classi equiampie: Max frequenza
Classe modale
classi non equiampie: Max densità di frequenza
Esami mancanti
n j ∆ j d j = n j / ∆ j
2 –| 9 17 7 2, 9 – |13 28 3 9, 13 – |16 54 2 27 16 – | 19 26 2 13
La classe modale è 13 – |16 che è la classe con la massima densità di
frequenza
4. Anche per il calcolo della varianza si usano i valori centrali delle classi
Difficoltà (x j )
n j f j (c j – x )^2 (c j – x )^2 n j (c j – x )^2 f j
2 –| 9 17 0,136 64,8 1101,6 8, 9 – |13 28 0,224 4,2 117,6 0, 13 – |16 54 0,432 2,1 113,4 0, 16 – | 19 26 0,208 19,8 514,8 4,
Esercizio 5
È stata analizzata la quantità di ferro (in mg) contenuta in 6 campioni di
terreno
Si calcoli il rapporto di concentrazione di Gini
Avendo a disposizione le singole osservazioni il rapporto di concentrazione di
Gini si calcola come
mg ferro (x i )
f i F i A i Q i F i – Q i
20 0,166 0,166 20 0,007 0, 108 0,166 0,333 128 0,047 0, 304 0,166 0,5 432 0,161 0, 390 0,166 0,666 822 0,306 0, 600 0,166 0,83 1422 0,530 0, 1260 0,166 1 2682 1 0 An =
(Fj+1 – Fj) (Qj+1 + Qj) (Fj+1 – Fj) (Qj+1 + Qj) 0,178 0,008 0, 0,214 0,071 0, 0,226 0,291 0, 0,071 0,522 0, 0,142 0,792 0, 0,169 1,498 0,
Rappresentando nel piano cartesiano le coppie di valori (Q i ; F i ) è possibile
ottenere la spezzata di concentrazione o curva di Lorenz
Considerando la distribuzione dei valori Q i ed F i dell’esercizio precedente
possiamo ottenere il grafico
Linea di equidistribuzione
Area di concentrazione
Curva di Lorenz
Esercizio 6
Un’industria di mobili produce un certo tipo di divano. La percentuale di
divani giacenti in magazzino a fine anno in nove città è
Si calcolino:
1. I corrispondenti valori standardizzati
1. Sapendo che la media è pari a 21,811 e che la deviazione standard è pari a
3,159 si calcolano i valori standardizzati come
x i y i 15,7 -1, 21,5 -0, 22,7 0, 21,8 -0, 20,5 -0, 24,2 0, 20,7 -0, 28,3 2, 20,9 -0,
Esercizio 8
Sono dati i prezzi in euro di due diversi tipi di olio da cucina dal 2003 al 2006
Per entrambe le serie storiche si calcolino:
1. Serie dei numeri indici dei prezzi a base fissa 2003
2. Serie dei numeri indici dei prezzi a base mobile
Anno 2003 2004 2005 2006 Olio A 3,2 € 3,5 € 3,6 € 4,6 € Olio B 4,1 € 4,3 € 4,8 € 5,8 €
1. Il calcolo dei numeri indici dei prezzi a base fissa 2003 è
Olio A
Olio B
2. Il calcolo dei numeri indici dei prezzi a base mobile è
Olio A
Olio B
Anno Olio A base fissa 2003
Olio B base fissa 2003
Olio A base mobile
Olio B base mobile
2003 100 100 2004 109,375 104,88 109,375 104, 2005 112,5 117,07 102,85 111, 2006 143,75 141,46 127,77 120,
- osservando la serie dei numeri indici a base fissa dell’olio A, è vero che
la variazione relativa triennale è maggiore del 50 %?
- osservando la serie dei numeri indici a base mobile dell’olio A, è vero
che la variazione relativa triennale è di circa il 27 %?
