fisica teorica, Appunti di Fisica

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Collana di Fisica e Astronomia

A cura di:

Giorgio Parisi

Michele Cini

Stefano Forte

Massimo Inguscio

Guido Montagna

Oreste Nicrosini

Franco Pacini

Luca Peliti

Alberto Rotondi

Michele Cini

Elementi di Fisica Teorica

MlCHELE ClNI

Dipartimento di Fisica Universita di Roma Tor Vergata

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© Springer-Verlag Italia, Milano 2006

ISBN 10 88-470-0424- ISBN 13 978-88-470-0424-

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VIII Prefazione

Anche se la trattazione e meno formale rispetto ai tradizionali corsi di Isti- tuzioni di Fisica Teorica, lo scopoe comunque quello di raggiungere una reale comprensione dei concetti fisici ed una working knowledge, cioe una capacita di risolvere autonomamente problemi. Per raggiungere lo scopo, pur con minore sforzo da parte degli studenti, occorrono degli accorgimenti che agevolano il lettore. Prima di tutto, i passaggi intermedi sono riportati in modo notevol- mente piu esteso di quanto non si faccia normalmente nei libri; non ci sono sviluppi teorici lasciati come esercizio ma tutto quello chee importante per la costruzione della teoria e spiegato esplicitamente; gli esercizi sono tutti svolti in dettaglio; inoltre ho avuto cura di porre in primo piano il significato fisico delle varie quantita e la motivazione che sta dietro alle varie trasformazioni matematiche. Ho incluso una appendice con richiami di risultati del’analisi matematica che gli studenti hanno gia incontrato, ma probabilmente deside- rano consultare per rinfrescare la memoria. Le appendici contengono anche alcuni dei calcoli piu lunghi, che potrebbero spezzare il filo logico dell’argo- mento; gli studenti pero sono invitati a considerarle parte integrante del testo. Certi strumenti matematici necessari sono sviluppati ed illustrati con esempi di grande interesse per la Fisica. Ho incluso problemi didattici, la maggior par- te per quanto ne so originali; sono problemi semplici, che servono a verificare la comprensione della teoria senza soverchi calcoli. Lo studio di questo manuale rendera piu accessibili ai nostri studenti inte- ressati i molti ottimi testi piu avanzati che sono disponibili per approfondire questa affascinante materia. Per esempio, come ulteriore lettura per la parte quantistica, sara utile consultare anche il libro David J. Griffiths, Introduzio- ne alla meccanica quantistica, Casa Editrice Ambrosiana (2005); questo libro contiene anche aspetti piu avanzati ed argomenti specifici che gli studenti incontreranno in corsi successivi. Ringrazio il collega Massimo Bianchi, che insegna meccanica quantistica nel Corso di laurea in Fisica, ed il Dr. Stefano Bellucci dei LNF-INFN per aver letto la bozza di questo manuale dandomi molti consigli preziosi.

Michele Cini Roma Settembre 2005

Indice

1

Teorie fisiche, costanti empiriche e formulazioni

matematiche

Salv. E vero che’l sistema Copernicano mette perturbazione nell’universo d’Aristo-tile: ma noi trattiamo dell’universo nostro, vero e reale. Quando poi la di- sparita d’essenza tra la Terra e i corpi celesti la vuol quest’autore inferire dall’incorruttibilita di quelli e corruttibilita di questa,in via d’Aristotile, dalla qual disparita concluda il moto dover esser del sole e delle fisse e l’immobilita della Terra, va vagando nel paralogismo, supponendo quel che e in quistione: perch´e Aristotile inferisce l’incorruttibilita dei corpi celesti dal moto, del quale si disputa se sia loro o della Terra. Della vanita poi di queste retoriche illa- zioni, se n’e parlato a bastanza. Da G. Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi tolemaico e copernicano.

Seguendo il metodo di Galileo, la Fisica Teorica usa la Matematica come linguaggio naturale ed indispensabile per descrivere la realta. Sovente i fisici hanno sviluppato in proprio i metodi matematici necessari. Come la Mate- matica, la Fisica ha una profondita di pensiero che e sconosciuta a filosofi e retori; qui non si tratta di giochi di parole, ma di fatti verificabili, che nessuno puo aggiustare a piacimento. Pero la Fisica Teorica none Matematica: ha un suo autonomo metodo di indagine ed e ad un tempo sottile e concreta. Cio che distingue la Fisica e il fatto che l’esperimento non solo ha sempre l’ultima parola sulle questioni controverse, ma da senso a tutto quello che la teoria dice. Anche gli aspetti della teoria che sembrano piu astratti hanno un pieno significato operativo ed alla fine comportano delle conseguenze che ognuno puo toccare con mano. Cominciamo questo corso con alcune costanti, perch´e la Fisica `e una Scien-

2 1 Teorie fisiche, costanti empiriche e formulazioni matematiche

za quantitativa.^1 La tabella ci servir`a per consultazione, ma anche da ulteriore monito per distinguere bene la Fisica Teorica dalla Matematica. Nelle nostre teorie, questi valori entrano come costanti empiriche, e nessuno ancora ca- pisce perch´e abbiano questi valori; tuttavia, cambiandoli, otterremmo mondi del tutto diversi da quello in cui viviamo.

Nome Simbolo Valore UNIT A`

numero di Avogadro NA 6,022169 10^23 mol−^1 costante gravitazionale G 6,6732 10−^11 Nm^2 /Kg^2 costante di Boltzmann KB 1,380622 10−^23 J/^0 K costante Stefan-Boltzmann σ 5,66961 10−^8 W/m^2 ×^0 K^4 velocit`a della luce c 2,99792458 10^8 m/s raggio classico dell’ elettrone re = e 2 2 mc^2 2,819489 10

− (^15) m

massa elettrone me 9,109558 10−^31 Kg massa protone mp 1,672614 10−^27 Kg massa neutrone mn 1,674920 10−^27 Kg massa Terra MT 5.976 10^24 Kg costante di Planck h 6,626196 10−^34 J s

costante di struttura fine α = e 2 ¯hc 1 137 , 03602 numero puro, sistema Gauss costante di struttura fine α = e 2 2
0 hc 1 137 , 03602 numero puro, sistema SI quanto di flusso hc e 4 × 10 −^7 Gausscm^2 elettronvolt eV 1,6 10−^19 J momento magnetico protone μp 1,4106203 10−^26 J/T

Tabella 1.1. Alcune costanti della Fisica

La prima costante scoperta (da Newton) e misurata (da Cavendish, nel ’700) e stata G; poi l’introduzione della velocita della luce c durante lo svilup- po dell’elettromagnetismo (equazioni di Maxwell) ha portato dopo un lungo travaglio alla relativit`a; l’introduzione della costante di Boltzmann ha dato l’avvio alla Meccanica Statistica, ed alla comprensione microscopica delle leg- gi termodinamiche; l’introduzione della costante di Planck ha condotto in 25 anni alla Meccanica Quantistica. L’introduzione di queste grandezze ha se- gnato le grandi conquiste concettuali che talora vengono chiamate rivoluzioni scientifiche da chi vuol drammatizzare ed anche da chi pretende che la Scienza si contraddica come fanno altri che dibattono di fatti opinabili. Ma la teoria di Einstein non ha affatto confutato Galileo, e la Meccanica Quantistica non ha

(^1) Qui ed altrove uso sia le unita SI (Sistema Internazionale) che quelle di Gauss; il motivoe che bisogna prendere atto che il pur nobile tentativo di convincere tutti ad usare il Sistema Internazionale `e fallito, e la gente usa questi (ed altri) sistemi in modo intercambiabile; gli studenti non vanno lontano se non imparano ad usarli entrambi ed a fare le conversioni necessarie. L’ultima Appendice contiene le regole principali per farlo.

Parte I

Complementi di Fisica Classica

2

Meccanica analitica

Nella formulazione matematica teoria classica tro- veremo concetti chiave che sono necessari per le sue generalizzazioni (relativita, meccanica quan- tistica, etc.). La Fisica Teoricae una disci- plina vastissima ma profondamente unitaria, e indubbiamente comincia da qui.

2.1 La F = ma di Galileo e Newton

Rivoluzionando le dottrine degli antichi, Galileo^1 stabil`ı verso l’anno 1600 la legge fondamentale

m−→a =

F ,

che determina l’accelerazione −→a di un punto materiale di massa m soggetto ad una forza

F. Newton^2 poi la formalizzo nella nota equazione differenziale, l’equazione del moto. In una dimensione, l’equazione di Newtone

(^1) Galileo Galilei (Pisa 1564- Arcetri 1642) fu il padre della Scienza moderna; pro- fessore di Matematica a Pisa dal 1589, si trasfer`ı a Padova e di nuovo a Pisa nel

1611. Costruito il primo telescopio, fu anche il padre dell’Astronomia moderna e scrisse il Sidereus Nuncius nel 1610. L’osservazione dei Pianeti Medicei e delle macchie solari lo mise in odore di eresia. Fondo la meccanica nei Discorsi e di- mostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, attinenti alla meccanica ed ai meccanismi locali, Leiden (1636). La pubblicazione all’estero fu dovuta alle persecuzioni che patı in patria da parte della Chiesa; non finı sul rogo, ma agli ar- resti di Arcetri perch´e fu prudente, accetto di abiurare, ed ebbe buone conoscenze nella gerarchia cattolica, in primis Papa Urbano VIII Barberini. (^2) Isaac Newton (Woolsthorpe 1642-London 1727) fu professore a Cambridge dal 1669 quando aveva gia inventato il calcolo, anche se il suo De Methodis Serierum et Fluxionume del 1671. L’opera fondamentale per la meccanica e Philosophiae naturalis principia mathematica, Iussu societatis regiae, London (1687). Succes- sivamente scoprı la Legge di Gravitazione Universale, fece ricerche in ottica, e

2.1 La F = ma di Galileo e Newton 9

con i che corre sulle particelle e α sulle componenti di −→r (^) i. Pero per specificare la posizione di un punto materiale possiamo usare ad esempio 3 lunghezze, 2 lunghezze e un angolo o una lunghezza e 2 ango- li; allora le equazioni da scrivere saranno differenti. Piu in generale, c’e una equazione per ogni grado di liberta: si chiamano cosı tutte le grandezze che sono necessarie per specificare lo stato istantaneo di un sistema. Poich´e c’e molto di arbitrario nella scelta del sistema di riferimento ed del tipo di coor- dinate (cartesiane, sferiche, etc.) esiste una notevole liberta nell’impostazione del problema. Questa liberta di scelta ha radici profonde nella struttura ma- tematica della teoria, che la meccanica analitica rivela ed utilizza in modo mirabile, generando potenti metodi di soluzione, come vedremo. Oltre all’energia E, altri integrali del moto possono venire dalla conserva- zione del momento, e del momento angolare. Possiamo immaginare un sistema con 70 gradi di liberta, che ha 70 integrali del moto. Un tale sistemae inte- grabile, e la soluzione e ridotta alle quadrature. Pero ci sono anche sistemi di 70 gradi di liberta che conservano solo E; quelli semplici sono solo casi limite. Quindi in generale la soluzione none facile; i metodi della meccanica analitica sono stati inventati come ausili matematici per scrivere le equazioni in forma tale che fosse poi possibile risolverle. La meccanica analitica consente di applicare con efficacia ed eleganza le leggi di Galileo e Newton a una varieta di problemi; soprattutto, rivela una struttura matematica sottostante alle equazioni del moto che risulta molto piu generale della stessa meccanica classica. Cosı la meccanica analitica, a sorpresa, da scienza ausiliaria sie trasformata in Scienza Fondamentale. La teoria della Relativita e la meccanica quantistica sono generalizzazioni della meccanica classica fondate sulla meccanica analitica. I problemi dove compaiono vincoli hanno una difficolta extra: le forze non sono tutte note a priori. Per N = 1 punto materiale, ci vogliono 3 equazioni del moto. Ma se il punto compie con velocita v un’orbita circolare di raggio R noto, basta un angolo per stabilire dov’e; le coordinate cartesiane sono inadatte per tale problema, che quindi va riformulato in termini dell’angolo. L’accelerazione centripeta v

2 R e nota dai corsi elementari perch´e questoe un caso estremamente semplice. Se un punto e appeso ad un filo (pendolo sferico) bastano 2 angoli per localizzarlo, e per un pendolo piano basta un angolo solo; in compenso, il problema non assegna la tensione del filo, e quindi parte delle forzee incognita. Per N = 2 punti indipendenti ci vogliono 6 equazioni del moto. Suppo- niamo ora di avere un sistema di due masse m 1 , m 2 vincolate a rimanere a distanza r 0 agli estremi di un bastone rigido, ma di massa trascurabile, in- cernierato all’origine delle coordinate nel baricentro. Un siffatto sistema si chiama rotatore rigido in 3 dimensioni. Si ricordera che il baricentro di due massee il punto

−→ R

m 1 −→r 1 + m 2 −→r 2 m 1 + m 2

10 2 Meccanica analitica

In questo problema,

R = −→ 0 e quindi −→r 1 = − m m^12 −→r 2. Indicando con r 1 , r 2 le distanze immutabili delle due masse dall’origine, r 1 = m m^12 r 2. Inoltre r 1 + r 2 = r 0 , e risulta che r 1 = (^) mm 1 +^2 rm^02 , r 2 = (^) mm 1 +^1 rm^02. Come si trovano le equazioni del moto del rotatore rigido? Il sistema ha due gradi di libert`a, e possiamo scegliere gli angoli θ e φ che individuano la massa 1 in coordinate polari. Quindi non occorrono 6 equazioni, ne bastano

2. D’altra parte, per scrivere le 6 equazioni ci vorrebbero le forze agenti sulle due particelle, ma queste sono reazioni vincolari, non note a priori. Prendiamo quindi θ e φ come nuove coordinate ed impariamo a scrivere le equazioni del moto in questi termini. Il metodo generale per scrivere le equazioni del moto e dovuto a Giuseppe Luigi Lagrange (Torino 1736 - Parigi 1813), grande matematico italo-francese, e (indipendentemente) al grande Euler.^3 Ora affronteremo la teoria di Euler- Lagrange, supponendo che i vincoli siano lisci, cioe che non facciano lavoro durante il moto.

2.2 Formalismo lagrangiano

Vincoli e coordinate lagrangiane

N punti materiali in 3 dimensioni sono descritti dalle coordinate cartesiane

{x 1 , y 1 , z 1 , x 2... zN } ≡ {xiα}, 0 < i ≤ N, 1 ≤ α ≤ 3.

Consideriamo il caso importante in cui ci sono dei vincoli, come per esempio quelli che obbligano i punti a muoversi su certe superfici, o a mantenere fisse certe distanze; esempi ovvi sono il piano inclinato ed il pendolo. La forza sulla particella i si pu`o scomporre:

−→ F (^) i =

F

appl i +^

F

vinc i ,

dove il primo termine applicato e noto (possiamo pensare a molle, forze gra- vitazionali, campi elettrici, etc. assegnati dal problema), la reazione vincolare a priori no. Supponiamo che le forze applicate siano conservative, cioe che derivino da una energia potenziale V {x 1 , y 1 , z 1 , x 2... zN } secondo la legge

F (^) i,αappl = −

∂V

∂xi,α

Il segno − dice che la forza tende a far diminuire l’energia potenziale. Quan- to ai vincoli, supponiamo che siano lisci. Questo significa che dato uno spostamento infinitesimo della particella i-esima δ

R (^) i permesso dai vincoli (^3) Leonhard Euler (Basel ( Svizzera) 1707- S.Pietroburgo (Russia) 1783) fu proba- bilmente il pi`u grande matematico della storia contribuendo a tutti i campi dal- l’analisi alla geometria. Fra l’altro scrisse il libro Mechanica in cui sono illustrati i suoi risultati sull’argomento qui esposto.