2.1) La derivata di una costante D k = 0 2.2) La derivata della funzione y = x D (x) = 1 2.3) La derivata di una costante per una funzione D [k F 0 D 7f(x)] = k F 0 D 7f’(x) 2.3) La derivata della somma D[f(x) + g(x)] = f’(x) + g’(x) (esempio D[ x+2] = 1 + 0 = 1) 2.4) La derivata di un prodotto D[f(x) F 0 D 7g(x)] = f’(x) F 0 D 7g(x) + f(x) F 0 D 7g’(x) 2.5) La derivata di una potenza D[x n] = n F 0 D 7xn-1^ (esempio: D[3x 5 ] = 3 F 0 D 7 5 F 0 D 7x 4 = 15x 4 2.5) La derivata di un quoziente D 2.6) La derivata di funzione di funzione Data z = f(x) y = g(z) D[g(x)] = g’(z) F 0 D 7f’(x) [es.: D(2x 2 + 5) 3 = 3(2x 2 + 5) 2 (4x)]

Per calcolare la derivata in un punto x 0 , dopo aver calcolato la derivata con le regole sopra enunciate, basta sostituire il valore x 0 alla x (vedere gli esempi guida)

2) Le derivate di ordine superiore al primo

Esempio guida N° 1 Calcolare la derivata della funzione y= 5x 3 + 2x – 1 nel punto x 0 = 2 Svolgimento y’ = 5 F 0 D 73x^2 + 2 = 15x^2 + 2 y’(2) = 15 F 0 D 7 2 2 + 2 = 62 Risposta La derivata della funzione y= 5x 3 + 2x – 1 nel punto 2 è 62.

Esempio guida N° 2 Calcolare la derivata della funzione nel punto x 0 = 1 Svolgimento

Risposta La derivata della funzione nel punto x = 1 è

Esempio guida N° 3 Calcolare la derivata della funzione y = (2x 2 + 5) 3 nel punto x 0 = - Svolgimento y’ = 3(2x 2 + 5) 2 F 0 D 7(4x) y’(-1) = 3 F 0 D 7[2 F 0 D 7(-1)^2 + 5] 2 F 0 D 7[4 F 0 D 7(-1)] = 3 F 0 D 7 49 F 0 D 7(-4) = - Risposta La derivata della funzione y = (2x 2 + 5) 3 nel punto x 0 = -1 è –588. Der.

Esempio guida N° Determinare la derivata seconda della funzione y –3x 4 – 3x^2 + 2x + 5 nel punto x 0 =- Svolgimento Calcoliamo la derivata prima: y’ = -12x 3 – 6x + 2 Calcoliamo la derivata seconda y’’ = -36x^2 – 6

Calcoliamo la derivata seconda in – y’’(-1) = -36(-1)^2 – 6 = - Risposta La derivata seconda della funzione y –3x 4 – 3x^2 + 2x + 5 nel punto x 0 =-1 è -

Esempio guida N°

Determinare i punti stazionari della funzione Sappiamo che data una funzione y = f(x) e un suo punto c, se f’(c) = 0 allora x = c si dice punto stazionario. Quindi per rispondere alla domanda basta trovare gli zeri della derivata prima.

y’ = x 2 + 3x + 2 x 1 = - x^2 + 3x + 2 = 0

x2 = -

Risposta I punti stazionari sono x 1 = –1 e x 2 = –

Esercizi vari

Determinare il rapporto incrementale della funzione: y = x 2 – 4x+ 8 nel punto x 0 = -3 e per un incremento generico h;
Calcola la derivata della funzione y = x 2 - 1 nel punto x 0 = 3 (come limite del rapporto incrementale)
Calcola la derivata della funzione y = x 2 – 4x in un generico punto x 0 (come limite del rapporto incrementale)
Determinare la derivata prima delle seguenti funzioni (applicando le regole di derivazione)

a) y = 4x 3 +5x^2 ; b) y = -3x – 4x^5 ; c) ; d) y = (3x^3 – 3x^2 – 2) 3

Determinare la derivata prima e seconda della seguente funzione y = 4x 4 + 2x^3 – 5 (applicando le regole di

derivazione), nel punto x 0 =-

Determinare i punti stazionari della funzione y =x 4 + 4x