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Numeri Complessi: Formulario Completo
Teoria, Dimostrazioni e Grafici per Analisi Matematica I
Michele Damiano
1 gennaio 2026
1 Definizioni e Forme di Rappresentazione
Il sistema dei numeri complessi C estende i numeri reali R introducendo l’unità immaginaria i.
Un numero complesso z è una coppia ordinata (a, b) ∈ R^2 nel piano di Gauss.
1.1 Forma Algebrica
Ogni numero complesso z si scrive univocamente come:
Forma Algebrica
z = a + ib
Dove:
- a = R(z) è la Parte Reale.
- b = I(z) è la Parte Immaginaria.
- i è l’unità immaginaria tale che i^2 = − 1.
Analogia Vettoriale
Un numero complesso è come un vettore bussola : il modulo indica quanto è lunga la
freccia (intensità), mentre l’argomento indica in quale direzione punta (fase). Sommarli è
come comporre due spostamenti, mentre moltiplicarli è come combinare una rotazione e un cambiamento di scala.
1.2 Rappresentazione Grafica (Piano di Gauss)
Visivamente, un numero complesso è un vettore che parte dall’origine.
1.3 Forma Trigonometrica e Esponenziale
Forme Polari
z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρe
iθ
Dove ρ = |z| =
a^2 + b^2 è il Modulo e θ = arg(z) è l’ Argomento.
R(z)
I(z)
ρ = |z|
a
b
θ
z = a + ib
Figura 1: Relazione tra coordinate cartesiane (a, b) e polari (ρ, θ).
Teoria: Giustificazione della Formula di Eulero
La relazione eiθ^ = cos θ + i sin θ si giustifica tramite gli sviluppi di Taylor (Maclaurin) delle
funzioni esponenziale, seno e coseno. Lo sviluppo di ex^ per x = iθ è:
eiθ^ =
∑^ ∞
n=
(iθ)n
n!
= 1 + iθ +
(iθ)^2
2!
(iθ)^3
3!
(iθ)^4
4!
= 1 + iθ −
θ^2
2!
− i
θ^3
3!
θ^4
4!
Raggruppando i termini reali e immaginari:
e
iθ
θ^2
2!
θ^4
4!
θ −
θ^3
3!
θ^5
5!
= cos θ + i sin θ
2 Operazioni Fondamentali e Geometria
2.1 Somma e Differenza
Si sommano separatamente le parti reali e immaginarie:
z ± w = (a ± c) + i(b ± d)
2.2 Prodotto
- Algebrico: z · w = (ac − bd) + i(ad + bc).
- Esponenziale: z · w = ρrei(θ+φ). I moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano.
Derivazione della formula del quoziente
z
w
z · w¯
w · w¯
(a + ib)(c − id)
c^2 + d^2
(ac + bd) + i(bc − ad)
c^2 + d^2
ac + bd
c^2 + d^2
bc − ad
c^2 + d^2
In forma esponenziale: (^) wz =
ρ r e
i(θ−φ).
3 Potenze e Radici
3.1 Formula di De Moivre
Per ogni n ∈ N:
Formula di De Moivre
z
n = ρ
n (cos(nθ) + i sin(nθ))
Dimostrazione per Induzione
Base ( n = 1 ): z^1 = ρ(cos θ + i sin θ). Vera. Passo Induttivo: Supponiamo vera per n.
Calcoliamo per n + 1:
zn+1^ = zn^ · z
= [ρ
n (cos nθ + i sin nθ)] · [ρ(cos θ + i sin θ)]
= ρn+1[(cos nθ cos θ − sin nθ sin θ) + i(sin nθ cos θ + cos nθ sin θ)]
Applicando le formule di addizione (sottrazione) del coseno e somma del seno:
zn+1^ = ρn+1[cos(nθ + θ) + i sin(nθ + θ)]
= ρn+1[cos((n + 1)θ) + i sin((n + 1)θ)]
La tesi è dimostrata per ogni n ∈ N.
3.2 Radici n-esime
Un numero w = ρeiθ^6 = 0 ha esattamente n radici distinte in C.
Radici n-esime
zk = n
ρ · ei^
θ+2kπ n (^) , k = 0, 1 ,... , n − 1
z 0
z 2 z 1
z 3
z 4 z 5
Esempio: Radici seste (n = 6)
Figura 4: Le radici n-esime formano un poligono regolare.
4 Proprietà Fondamentali
4.1 Disuguaglianza Triangolare
|z + w| ≤ |z| + |w|
Dimostrazione algebrica
Vogliamo dimostrare |z + w|^2 ≤ (|z| + |w|)^2.
|z + w|^2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(¯z + ¯w)
= z ¯z + z w¯ + w¯z + w w¯
= |z|^2 + |w|^2 + (z w¯ + z w¯) (poiché w¯z = z w¯)
= |z|^2 + |w|^2 + 2R(z w¯)
Poiché R(α) ≤ |α|, allora 2 R(z w¯) ≤ 2 |z w¯| = 2|z||w|.
|z + w|^2 ≤ |z|^2 + |w|^2 + 2|z||w| = (|z| + |w|)^2
Estraendo la radice quadrata, la tesi è dimostrata.
|z|
|z + w| (^) |w|
Figura 5: Visualizzazione: un lato è sempre minore della somma degli altri due.
